i
xq、yq、zq为节点q的坐标
(1)
xp、yp、zp为节点q的坐标 T0i 为索段i内的初始张力 L0i为索段初始长度
17
荷载态时节点q的平衡方程
Ti 为索段i内的张力 li 为荷载态索段长度
初始态
Pyq
荷载态
q
T0i
l0i
p
⎫ ⎡Ti ⎤ ∑⎢ l (xp + up − xq −uq )⎥ + Pxq = 0⎪ ⎣i ⎦ ⎪ i ⎪ ⎡Ti ⎤ ⎪ ∑⎢ l (yp + vp − yq − vq )⎥ + Pyq = 0⎬ ⎣i ⎦ ⎪ i ⎪ ⎡Ti ⎤ ∑⎢ l (zp + wp − zq − wq )⎥ + Pzq = 0⎪ ⎪ ⎣i ⎦ ⎭
2
qz = 常量 = q f
d 2z q =− 2 dx H
q 2 z=− x + C1 x + C2 2H
代入边界条件 （x=0, z=0）; （x=l, z=0）; （x=l/2, z=f ）
ql C1 = 2H
ql 2 H= 8f
索内的水平张力
C2 = 0
4 fx(l − x) z= l2
索曲线方程
0
⎡ 1 ⎛ dz ⎞ 2 ⎤ ds = ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ dx ⎢ ⎣ 2 ⎝ dx ⎠ ⎥ ⎦
1 ⎡⎛ dz ⎞ ⎛ dz0 ⎞ ⎤ Δs = ∫ ⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ dx 2l⎢ ⎣⎝ dx ⎠ ⎝ dx ⎠ ⎥ ⎦
2 2
⎡ dz0 dw 1 ⎛ dw ⎞ 2 ⎤ Δs = ∫ ⎢ ⋅ + ⎜ ⎟ ⎥ dx l ⎢ ⎣ dx dx 2 ⎝ dx ⎠ ⎥ ⎦
5.4 悬索结构计算理论
Analysis Theory of Cable Structures
主讲人：武 岳
哈尔滨工业大学
0
一、单索解析理论
1、基本假设
1) 单向受力特性； 2) 弹性工作状态。
1 — 松弛阶段，构造性伸长 2 — 弹性阶段，弹性伸长 3 — 极限状态，塑性伸长
高强钢索的拉伸曲线 消除构造性伸长后 的应力-应变曲线 无明显屈服台阶
5
Case 2 荷载沿索长均布
ds ⎛ dz ⎞ qz = q = q 1+ ⎜ ⎟ dx ⎝ dx ⎠
2
2
q
d 2z ⎛ dz ⎞ H 2 + q 1+ ⎜ ⎟ = 0 dx ⎝ dx ⎠
qds = qz dx
H ql qx ql z = [cosh( ) − cosh( − )] q H 2H 2H
f =
H ql [cosh( ) − 1] q 2H
悬链线与抛物线的比较
6
Case 3 qz按任意规律分布
索的平衡曲线
简支梁弯矩图
d 2z H 2 + qz = 0 dx
悬索 梁 左端，z = 0 M = 0 右端，z = 0 M = 0
Hz ( x ) = M ( x )
d 2M + qz = 0 2 dx
(6)
li = l0i 1 + 2ai + bi
1 1 = (1 + 2ai + bi ) li l0i
− 1 2
1 1⎛ 1 3 2 3 5 3 ⎞ = ⎜1 − ai − bi + ai + ai bi − ai + LL ⎟ 2 2 2 2 li l0i ⎝ ⎠
(7)
21
★ 物理条件
Ti − T0i li − l0i = l0i EAi
平衡方程
14
【例】设有承受均布荷载的抛物线索，已知：A=0.674cm2， E=17000kN/cm2，即EA=11460kN；又l=8m，H0=10kN， q0=0.2kN/m，q=0.5kN/m。求索水平张力H以及索在始态和 终态时的跨中垂度。 【解】将已知数据代入
2 ⎞ EAl 2 ⎛ q 2 q0 H − H0 = ⎜ 2− 2⎟ 24 ⎝ H H0 ⎠
1 1 2⎞ ⎛ Ti ≈ T0i + EAi ⎜ ai + bi − ai ⎟ 2 2 ⎠ ⎝
(8)
22
★ 悬索体系节点位移法的基本方程
将式(8)和(7)代入平衡方程(2)，并考虑式(1)，经整理后得
索微分单元的长度为
⎛ dz ⎞ ds = dx 2 + dz 2 = 1 + ⎜ ⎟ dx ⎝ dx ⎠
整根索的长度可由上式积分求得
2
取前两项，得索长近似计 算公式为：
s = ∫ ds z ⎞ 1 + ⎜ ⎟ dx ⎝ dx ⎠
2 4
2
⎡ 1 ⎛ dz ⎞ 2 ⎤ s = ∫ ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ dx 0 ⎢ ⎣ 2 ⎝ dx ⎠ ⎥ ⎦
在小垂度问题中，dz0/dx与1比较是微量，可以忽略
H − H0 Δs = l EA
联立几何关系和物理关系
H − H0 ⎡ dz dw 1 dw 2 ⎤ l = ∫⎢ 0 ⋅ + ( ) ⎥ dx EA dx dx 2 dx ⎦ l ⎣
索的变形 协调方程
13
5、单索问题解法

以承受均布荷载作用的悬索为例
⎛ 8 f 02 ⎞ s0 = l ⎜1 + 2 ⎟ 3l ⎠ ⎝
⎛ 8f 2 ⎞ s = l ⎜1 + 2 ⎟ 3l ⎠ ⎝
q0l 2 H0 = 8 f0
8 f 2 − f 02 Δs = l 3
H − H0 8 f 2 − f 02 l= 3 EA l
变形协调方程
ql 2 H= 8f
2 ⎞ EAl 2 ⎛ q 2 q0 H − H0 = ⎜ 2− 2⎟ 24 ⎝ H H0 ⎠
经数次迭代后，可得 H=18.98kN
二、索结构的有限元解法
有限元法是把索看成为一系列相互连接的索段， 索段之间以节点相连，采用基于离散理论的节点位移 法求解。在该方法中以节点位移作为基本未知量，而 以节点之间的索段为基本单元。

基本假设

索是理想柔性的，即它不能承受任何弯矩，也不能 受压； 索的受拉工作符合虎克定律; 有限元理论不受小垂度问题的限制，索的几何
12

考察物理关系
⎛ ΔH ds0 ⎞ ds0 ⎛ ΔT ⎞ Δs = ∫ ⎜ ⋅ dx ⎟ds0 = ∫ ⎜ ⎟ EA ⎠ EA dx ⎠ dx l ⎝ l ⎝
2 ⎡ ΔH ⎛ ds0 ⎞ ΔH ⎛ dz0 ⎞ ⎤ = ⎢1 + ⎜ ⎜ ⎟ dx = ⎟ ⎥dx ∫ ∫ EA l ⎝ dx ⎠ EA l ⎢ ⎣ ⎝ dx ⎠ ⎥ ⎦ 2
2 2 2
(4)
19
将式（4）根号内的项展开，并将式（3）代入， 经整理后可得：
li = l0i 1 + 2ai + bi
(5)
1 ai = 2 ⎡ x p − xq )( u p − uq ) + ( y p − yq )( v p − vq ) + ( z p − zq )( wp − wq ) ⎤ ( ⎣ ⎦ l0i
(3)
荷载态长度li
li = (x'p − xq' )2 + ( yp' − yq' )2 + (zp' − zq' )2 = (xp + up − xq −uq )2 + ( yp + vp − yq − vq )2 + (zp + wp − zq − wq )2 ⎡(xp − xq ) + (up −uq )⎦ ⎤ +⎣ ⎡( yp − yq ) + (vp − vq )⎦ ⎤ +[⋅⋅⋅⋅⋅] = ⎣
索曲线的形状与承 受同样荷载的简支梁 弯矩图完全相似。
7
M ( x) z ( x) = H
p beam x ① ② b ③ h T e M=T·e T
8
M = 0.5 p ( l- x ) x
二次抛物线 arch f ① cable H=M0/f H=M0/f f ② M=C·e C C e
3、索的长度计算
d ⎛ dz ⎞ ⎜H ⎟ + qz = 0 dx ⎝ dx ⎠
3
dH + qx = 0 dx
ΣX = 0
dH dx + qx dx = 0 dx
ΣZ = 0
d ⎛ dz ⎞ ⎜H ⎟ dx + qz dx = 0 dx ⎝ dx ⎠
d ⎛ dz ⎞ ⎜H ⎟ + qz = 0 dx ⎝ dx ⎠
9
★ 抛物线索
4 fx(l − x) z= 2 l
⎛ 8f 2 ⎞ s = l ⎜1 + 2 ⎟ 3l ⎠ ⎝
dz 4 f 8 f = − 2 x dx l l
• 考察索长变化与索垂度变化的关系
16 f ds = df 3l
3 l Δf = Δs 16 f
当 f/l = 0.1时 Δf = 1.875∆s
i
Pzq
Pxq
Ti li y
z x
(2)
uq、vq、wq为节点q产生的 三个方向的位移： up、vp、wp为节点q产生 的三个方向的位移：
18
关键是求 Ti 和 1/li
★ 单元长度计算
初始长度l0i
l0i =
(x
p
− xq ) + ( y p − y q ) + (z p − z q )
2 2
2
当垂跨比不大时，较小的索长变化将引起较显著的垂度变化。
10
4、索的变形协调方程

初始状态 （始态） 荷载状态 （终态）