数学概念学习中的理解
【摘要】数学理解的关键在于数学概念的理解，研究数学概念学习中的理解问题，有助于我们更好地认识数学学习的本质特征。

【关键词】数学概念；学习；理解
理解是数学学习过程的重要环节，也是掌握、运用数学知识，提高数学能力的关键，数学学习与教学中的理解问题研究受到广泛的重视。

一、概念界定
概念是人们对于客观对象认识到达理性阶段的产物，数学概念具有抽象性和普遍性，概念的内涵和外延会随着人们的实践和认识的发展而不断的发展。

数学概念学习中的理解要有一定的认知基础，是认知结构不断建构的过程，是信息的再组织过程，因而也是一个动态生成的过程。

理解是运用已有的知识揭露事物内在本质和外在形式之间的联系，从而认识事物的过程。

李士锜认为“学习一个数学概念、原理、法则，如果在心理上能组织起适当的有效的认知结构，并使之成为个人内部的知识网络的一部分，那么才说明是理解了”[1]。

数学概念理解是对数学概念内涵和外延的全面性把握，其特点主要有：数学概念内涵理解的多样性，数学概念外延理解的丰富性，数学概念表述理解的抽象性，数学概念符号理解的系统性，数学概念应用理解的多变性，数学概念定义理解的逻辑性[2]。

二、数学概念理解的作用
数学概念是数学知识系统的重要组成成分，也是学生学习数学的
重要基础。

学生数学学习程度的好坏，其根本在于数学概念的理解与掌握程度。

数学知识系统之间有很强的逻辑联系，概念与概念之间有着横向、纵向的多方面联系，构成概念网络。

学生通过数学概念的学习，不仅是学会一些数学知识，更重要的是形成对数学知识的理解，构建起新的认知结构，发展智力。

数学概念理解有以下作用：
①理解可以促进记忆。

如果把学习看成是一个建构的过程，那么当个人在处理对新概念进行建构了解后，就加强了知识联系的广度和深度，从而使新概念的记忆获得提高。

②理解能降低知识的记忆量。

理解的深入可以简化概念网络内部结构，概念之间的外部联系可以得到加强，因而整体的结构获得简化。

这样记忆的负担就得以减轻了。

③理解将推动迁移。

旧的概念作为新概念的认知基础，可以促进新概念的形成。

事实上，学生在利用旧概念理解新概念同时，也可以利用新概念的视角对旧概念
进行重新审视、重新分析，从而对旧概念获得新的认识。

④理解将影响信念。

学生若在数学概念学习中对某些概念不能很好的理解，长此以往将会丧失学习该门学科的兴趣。

学生在数学概念学习的理解过程中，会渐渐体会到数学是一个有着紧密内部联系的整体，这些联系需要通过学生自身的不断探索来建立，这同时也建立起比较正确的数学观及数学学习观等信念。

这些信念将会促使他们对数学内容、思想和方法的掌握和理解。

当学生对数学概念
的本质属性及联系理解后，他对数学及其应用就会产生兴趣，能促进学生产生正确的信念。

三、提高数学概念理解的措施
（1）通过经验总结
教师通过对教学的观察与经验总结，提出了一些概括性的教学意见，同时吸收借鉴一般教育学、教学论、心理学中关于数学理解的认识，二者相结合提升成为培养数学理解能力的依据，为“怎样教”提供指导，其特点是“应该这样做”，而没有说明“为什么这样做”的原因。

由于这些结论多是从经验中总结得出，从某些侧面反映了培养数学理解能力的规律。

因此，许多结论对数学教学确有指导性意义。

但是，这些研究中所用的心理学名词、原理嫁接痕迹明显，如“心理学十数学例子”。

由于使用的认识论、心理学理论、方法论的层次较低，使许多现象中蕴涵的规律未得以充分的揭示，或者发生不恰当的有时甚至是错说的解释。

（2）建立恰当的心理表征
数学概念是反映现实世界的数量关系和空间形式本质属性的思
维方式，是数学知识结构的基本构成元素。

对于一个数学概念，人们可以从不同侧面或选择不同的角度进行刻画，例如，对“正方形”这一概念可作以下刻画：有一个角是直角的菱形是正方形；邻边相等的长方形是正方形；四条边相等、四个角相等的四边形是正方形。

再如，“函数”这一数学概念，初中采用的是“变量说”，高中采用的是“对应说”，大学则采用“关系说”。

由此可见，不同的学习个
体对概念学习的各因素建构方式有别，导致对数学概念的理解也会与不同的心理反应，相对应的心理表征也是因人而异的。

心理学的现代研究表明，概念的“心理对应物”在大多数的情况下并非相应的形式定义，而是一种由多种成分组成的复合物。

即后者是指概念的心理表征。

概念要被学生内化，就不能仅从其形式定义出发进行机械灌输，而要围绕建立恰当的心理表征展开教学。

对数学概念的正确理解，关键在于能否使学习者在心中已有的认知基础上建立起相对于新概念而言的恰当的心理表征。

从数学概念的心理表征和数学概念理解的认知基础进行分析，探讨新概念的获得与旧概念理解的关系。

（3）策略的应用
在学习中可采用一些策略来加深理解的过程，学生在数学概念的学习中是因为对数学符号、数学语言的理解不到位而导致解题错误的现象比较常见，文[3]、[4]提出对概念词语的学习对概念理解的重要性，并从逻辑学、社会心理学对学生概念学习中的错误进行了分析。

并给出一些策略借以提高学生在数学概念学习中的理解能力：①教师在概念教学中提供与概念相适应的感性材料，正确处理数学概念抽象化和具体化的关系，让学生获得充分的感性认识，实现概念从抽象到具体的转化。

②概念理解，关键在于建立恰当的心理表征，可以考虑发挥多媒体技术在这一方面的作用。

③学生要注重概念的记忆，熟练掌握概念。

④注重联系和练习，重视应用和巩固，加深理解记忆，达到运用自如。

关于数学概念学习中理解问题的研究工作有一定的成果，但许多研究仍待进一步的发展。

从研究角度上看，既要研究数学概念理解的结果，也要分析数学理解的心理过程。

如果不具体分析学生是如何进行数学概念理解的，就不可能认识学生数学概念理解能力发展的全貌。

只有深入研究数学理解的过程，才能揭示出数学理解这种复杂心理现象的质上的特征。

但对于学生数学概念的理解水平如何评价的研究成果还很少。

我国数学理解的研究方法，思辩性色彩重，定性研究多，实验、实际应用研究少。

因此，应进一步加大高水平的实验、应用研究。

特别是计算机技术的发展，对各种研究方法在数学理解研究中所起的作用都产生了深刻的影响。

参考文献：
[1]李士锜. pme：数学教育心理学[m].上海：华东师范大学出版社，2001：64-87.
[2]王秀明，王家华，李忠海.寓“理解”于数学概念[j]，数学教育学报，2005，14（2）：26-28.
[3]李善良.数学概念学习中的错误分析[j]，数学教育学报，2002，11（3）：6-11.
[4]徐文彬.“数学概念学习中的错误分析”之分析.数学教育学报[j]，2004，13（1）：45-46.
作者简介：
孙辉：（1991-），女，甘肃省康乐县人，现为甘肃民族师范学院数学系2009级本科2班学生，研究方向：数学与应用数学。