--------函数的值域和最值
一、相关概念 1、值域：函数A x x f y ∈=
，)(，我们把函数值的集合}/)({A x x f ∈称为函数的值域。

2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。

事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。

因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。

二、基本函数的值域
1、 一次函数）（0≠+=a b kx y 的值域为R ；
2、 二次函数）（02
≠++=a c bx ax y ；]44(0);44[022a
b a
c ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时
教师：你还有哪些收获和感悟
调性。

例6 求函数y=1
1+-x x
e e ，2sin 11sin y θθ-=+，的值域
8、数形结合法。

例7求函数的值域|4||1|++-=x x y （方法一可用到图象法） 方法二：（单调性）
为减函数时32,4--=-≤x y x ;53)4(2=--⨯-≥∴y 为增函数时当32,1
+=≥x y x ;5312=+⨯≥∴y ;514=<<-，y x 时当所以此函数的值域为[)∞+
，5
题型Ⅰ求一元二次函数为背景的函数的值域
求函数2
2
()4422f x x ax a a =-+-+在[0, 2]上的最值 【分析与解答】： 2
2
()4()222
a f x x a =--+
(1)当a 2≤0，即a ≤0时，f (x )在上递增．∴ f (x )max ＝f (2)＝a 2－10a ＋(x )min ＝f (0)＝a 2
－2a ＋2.
(2)当a
2
≥2，即a ≥4时，f (x )在上递减．∴ f (x )max ＝f (0)＝a 2－2a ＋(x )min ＝f (2)＝a 2
－10a ＋18.
(3)当0≤a
2≤2时，即0≤a ≤4时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
a 2＝－2a ＋2.①当0≤a
2≤1时，即0≤a ≤2时，f (x )max ＝f (2)＝a 2
－10a
＋18；②当1≤a
2
≤2时，即2≤a ≤4时，f (x )max ＝a 2
－2a ＋2.
题型Ⅱ求以分式为背景的函数的值域
求函数2222
1
x x y x x -+=++ 的值域若是求(2,3)x ∈ 的值域呢
【分析与解答】
（1）方法一：222
2(1)33211
x x x x
y x x x x ++-==-++++ 转化成分子为一次，分母为二次的函数的值域，得[1,5]y ∈ ；
（2012四川文）函数的图象可能是（ ）
【解析】采用特殊值验证法. 函数恒过(1,0),只有C 选项符合.
【点评】函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易用.
（2012北京文）已知,.若或,
则的取值范围是________ .
【解析】首先看没有参数,从入手,显然时,,
时,,而对或成立即可,故只要时,(*)恒成立即可.当时,,不符合(*),所以舍去;当时,由得,并不对成立,舍去;当时,由,注意,故,所以,即,又,故,所以,又,故,综上,的取值范围是.
【点评】 本题考查学生函数的综合能力,涉及到二次函数的图像的开口,根的大小,涉及到指数函数,还涉及到简易逻辑中的“或”,还考查了分类讨论的思想,对进行讨论.
一、选择题：
1．下列各式中成立的一项
（ ） A ．7177)(m n m
n = B ．31243)3(-=- C ．43433)(y x y x +=+
D ． 3339= 2．化简)3
1()3)((656131212132
b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2
9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x
，则下列等式中不正确的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．)
()(y f x f y x f =-）（
建议时间：2-3分钟
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