抽象函数的导数问题所谓抽象函数，即函数解析式未知的函数，这几年很流行抽象函数与导数结合的问题，此类问题一般有两种方法：（1） 根据条件设法确定函数的单调性；（2） 要根据题目给定的代数形式，构造函数，确定单调性，而构造什么样的函数，一方面要和已知条件含有()f x '的式子特征紧密相关，这要求我们必须非常熟悉两个函数的和、差、积、商的求导公式；另外一方面，由于此类问题往往是选填题，问题的结构往往有一定的暗示，所以务必要结和问题的结构，构造适合的抽象函数【求导的四则运算】法则1 [()()]''()'()f x g x f x g x ±=±.法则2 [()()]''()()'()()f x g x f x g x g x f x =+g .法则32()'()()()'()[]()()f x f xg x f x g x g x g x -'=. 例1、（2006江西卷）对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)'()0x f x -≥，则必有（ ） A.(0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C.(0)(2)2(1)f f f +≥ D .(0)(2)2(1)f f f +>分析：这个题目的条件(1)'()0x f x -≥，实际上不能构造函数，它其实是告诉我们这个函数的单调性，具体来说： 由(1)'()0x f x -≥得：（1）10x -≥且'()0f x ≥，于是在(1,)+∞上()f x 单调递增； （2）10x -≤且'()0f x ≤，于是(,1)-∞上()f x 单调递减；综上可知的最小值为(1)f ，(0)(1)f f ≥，(2)(1)f f ≥，得(0)(2)2(1)f f f +≥，选C 【典型构造】若条件是'()()'()()0f x g x g x f x +≥，可构造()()()F x f x g x =，则()F x 单调递增；若条件是'()()0f x f x +≥，可构造()()xF x e f x =，则()F x 单调递增；若条件是'()()0xf x f x +≥，可构造()()F x xf x =，则()F x 单调递增； 若条件是'()()0xf x nf x +≥，可构造()(nF x x f x=，则1'()['()()]0n F x x xf x nf x -=+≥，若10n x ->，则()F x 单调递增；例2、()f x 是R 上的可导函数，且'()+()0>f x f x ，21(0)1,(2)f f e==，求(1)f 的值 分析：构造()()x F x e f x =，则'()('()())0x F x e f x f x =+≥，所以()F x 单调递增或为常函数，而0(0)(0)1F e f ==，2(2)(2)1F e f ==，所以()1F x =，故1(1)(1)1F ef ==，得1(1)f e=例3、（07陕西理）()f x 是定义在(0)+∞，上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '-≤．对任意正数a b ，，若a b <，则必有（） A ．()()af b bf a ≤B ．()()bf a af b ≤C ．()()af a bf b ≤．()()bf b af a ≤分析：选项暗示我们，可能用得到的函数有两种可能，1()()f x g x x =或2()()g x xf x =，下面对他们分别求导，看看哪个能利用上已知条件：112()'()()()'()f x xf x f x g x g x x x -=⇒=，因为()f x ≥，()()0()()0xf x f x xf x f x ''+⇔≤-≤≤，得()0x f x '≤，则'()()0x f x f x -≤，故1'()0g x ≤，于是由a b <得()()f a f b a b≥，即()()af b bf a ≤，选A例3、定义在(0,)2π上的函数()f x ，导数为'()f x ，且()'()tan f x f x x <，则下式恒成立的是（）A.()()43ππ> B. (1)2()sin16f f π<C.()()64f ππ> ()()63f ππ<解：因为()'()tan f x f x x <，所以sin ()'()cos xf x f x x<，即'()s i n ()c o s 0f x x f x x ->，构造()()sin f x F x x =，则2'()sin ()cos '()0sin ()f x x f x xF x x -=>，所以()F x 单调递增，因63ππ<，所以()()63F F ππ<，即()()63sin sin 63f f ππππ<()()63f ππ<，选D 练习1、已知函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且在(0,)+∞上，'()f x x >，则不等式(2)()22f a f a a --≥-的解集为（）A. [1,)+∞B. (,1]-∞C. (,2]-∞D.[2,)+∞ 解析：构造21g()()2x f x x =-，则2211g()()()()()022x g x f x x f x x -+=---+-=，故g()x 为奇函数，且在(0,)+∞上，'()'()0g x f x x =->，故g()x 是增函数，而2211(2)()22(2)(2)[()]22f a f a a f a a f a a ---+=-----g(2)()ag a =--，故只需2a a -≥，得1a ≤，选B2、设(),()f x g x 在[,]a b 上可导，且'()'()f x g x >，则当a x b <<时，有（）.()()A f x g x >.()()B f x g x <.()()()()C f x g a g x f a +>+.()()()()D f x g b g x f b +>+解析：构造函数，则易知单调递增，于是，，选C3、（2011高考辽宁）函数的定义域为R ,(1)2f -=，对任意x R ∈，'()2f x >，则()24f x x >+的解集为（）A. (1,1)-B.(1,)-+∞C.(,1)-∞-D.(,)-∞+∞解析：构造函数()()24F x f x x =--，则'()'()2220F x f x =->-=，所以()F x 在R()()()F x f x g x =-()F x ()()()F a F x F b <<()()()()f x g x f a g a ->-上单调递增，又因为(1)(1)2(1)40F f -=----=，则()24()24f x x f x x F x >+⇔-->⇔>，于是的1x >-，选B4、已知函数()f x 满足(1)1f =，导函数1'()2f x <，则不等式2()1f x x <+的解集为（） A. (1,1)- B. (,1)-∞- C. (,1)(1,)-∞-+∞ D.(1,)+∞解析：构造函数()2()1F x f x x =--，则1'()2'()12102F x f x =-<-= ，所以函数()F x 单调递减，而(1)0F =，2()1f x x <+等价于()0F x <，得1x >，选D;5、()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足()()0xf x f x '+>．对任意正数a b ，，若a b >，则必有（）（资料来源：长风数学工作室QQ 群6817428） A ．()()af b bf a >B ．()()af a bf b >C ．()()af a bf b <D ．()()af b bf a <解析：构造()()F x xf x =，可知()F x 递增，故选B ；6. (2009天津)设()f x 在R 上的导函数为'()f x ，且22()()f x xf x x'+>，则下面的不等式在R 上恒成立的有（） A ．()0f x >B ．()0f x <C ． ()f x x >D ．()f x x <解析：构造函数2()()F x x f x =，则'()[2()'()]F x x f x xf x =+，当0x =时，由22()()f x xf x x '+>，得(0)0f >； 当0x >时，22()()f x xf x x '+>，得2'()[2()'()]0F x x f x x f x x x =+>>，于是()F x 在(0,)+∞上单调递增，故2()()(0)0F x x f x F =>=，则()0f x >；当0x <时，22()()f x xf x x '+>，得2'()[2()'()]0F x x f x xf x x x =+<< ，则()F x 在(0,)+∞上单调递减，故2()()0F x x f x =>，则()0f x >；综上可知()0f x >选A7、()f x 在R 上的导函数为'()f x ，且'()()f x f x >，且0a >，则下面的不等式成立的有（）A ．()(0)a f a e f >B ．()(0)a f a e f <C ．()(0)f a f >D ．()(0)f a f <解析：构造()()x f x F x e =，'()()'()0xf x f x F x e-=>，则()F x 单调递增，则0()(0)()(0)a f a f F a F e e>⇔>，即()(0)a f a e f >，故选A 8、函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意的实数x ，都有2'()()f x f x >成立，则（） A ．()()af b bf a >B ．()()af a bf b >C ．()()af a bf b <D ．()()af b bf a <解析：构造12()()xf x F x e =，1122112221'()()2'()()2'()0()2x x x x f x e f x e f x f x F x e e --==>， 则()F x 单调递增，则(2ln2)(2ln3)F F <，即l n 2ln3(2l n2)(2l n 3)(2ln2)3(2ln 2)2(223f f f f f f e e <⇔<⇔<，故选B9、设函数()f x 满足()()22x e x f x xf x x '+=，()228e f =，则当0x >时，()f x （ ） A ．有极大值,无极小值B ．有极小值,无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析：由已知得()232()'x e x f x f x x -=，设2()2()x g x e x f x =-， 求导得22'()2'()4()e (2)x xxxe e g x e xf x xf x x x x =--=-=-，易得()g(2)0g x >=在0x >且2x ≠是恒成立，因此()232()'0x e x f x f x x ->=在0x >且2x ≠是恒成立，而'(2)0f =，说明 ()f x 在0x >时没有极大值也没有极小值选D10、若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（） A ．B ．C．D．【解析】由已知条件，构造函数，则，故函数在上单调递增，且，故，所以，，所以结论中一定错误的是C，选项D无法判断；构造函数，则，所以函数在上单调递增，且，所以，即，，选项A,B无法判断，故选C．11、设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．。