气体动理论一、填空题1.(本题3分)某气体在温度为T = 273 K时，压强为p=1.0×10-2atm，密度ρ= 1.24×10-2 kg/m3，则该气体分子的方均根速率为____________。
(1 atm = 1.013×105 Pa)答案：495m/s2.(本题5分)某容器内分子密度为1026m-3，每个分子的质量为3×10-27kg，设其中1/6分子数以速率v=200m/s垂直向容器的一壁运动，而其余5/6分子或者离开此壁、或者平行此壁方向运动，且分子与容器壁的碰撞为完全弹性的。
则(1)每个分子作用于器壁的冲量ΔP=_____________；(2)每秒碰在器壁单位面积上的分子数n0=___________；(3)作用在器壁上的压强p=_____________；答案：1.2×10-24kgm/s×1028m-2s-14×103Pa3.(本题4分)储有氢气的容器以某速度v作定向运动，假设该容器突然停止，气体的全部定向运动动能都变为气体分子热运动的动能，此时容器中气体的温度上升0.7K，则容器作定向运动的速度v=____________m/s，容器中气体分子的平均动能增加了_____________J。
(普适气体常量R=8.31J·mol-1·K-1，波尔兹曼常k=1.38×10-23J·K-1，氢气分子可视为刚性分子。
)答案：：1212.4×10-234.(本题3分)体积和压强都相同的氦气和氢气(均视为刚性分子理想气体)，在某一温度T下混合，所有氢分子所具有的热运动动能在系统总热运动动能中所占的百分比为________。
答案：62.5%5.(本题4分)根据能量按自由度均分原理，设气体分子为刚性分子，分子自由度为i，则当温度为T时，(1)一个分子的平均动能为_______。
(2)一个摩尔氧气分子的转动动能总和为________。
答案：ikTRT6.(本题5分)图示的两条曲线分别表示氦、氢两种气体在相同温度T时分子按速率的分布，其中(1)曲线I 表示________气分子的速率分布曲线；曲线II 表示________气分子的速率分布曲线。
(2)画有阴影的小长条面积表示____________。
(3)分布曲线下所包围的面积表示__________。
答案：氧，氢速率在v →v +Δv 范围内的分子数占分子数的百分率。
速率在0→∞整个速率区间内的分子数的百分率的总和。
7.(本题3分)图中d A 为器壁上一面元，x 轴与d A 垂直。
已知分子数密度为n ，速率分布函数为()f v r ，则速度分量在v x ～v x +d v x ，v y ～v y +d v y ，v z ～v z +d v z 区间中的分子在d t 时间内与面元d A 相碰的分子数为__________。
答案：Nv x d t d A ()f v r d v x d v y d v z8.(本题5分)用总分子数N 、气体分子速率v 和速度分布函数f (v )表示下列各量：(1)速率大于v 0的分子数=_________；(2)速率大于v0的那些分子的平均速率=_________；(3)多次观察某一分子的速率，发现其速率大于v0的概率=__________。
答案：9.(本题5分)图示的曲线分别表示了氢气和氦气在同一温度下的分子速率的分布情况。
由图可知，氦气分子的最概然速率为______________，氢气分子的最概然速率为_______________。
答案：1000m/s×1000m/s10.(本题4分)氮气在标准状态下的分子平均碰撞频率为5.42×108s-1，分子平均自由程为6×10-6 cm，若温度不变，气压降为0.1atm，则分子的平均碰撞频率变为_____________；平均自由程变为_________________。
答案：5.42×107s -16×10-5 cm11.(本题3分)质量为6.2×10-14g 的某种粒子是浮于27℃的气体中，观察到它们的方均根速率为1.4cm/s ，则该种粒子的平均速率为__________。
(设粒子遵守麦克斯韦速度分布律)答案：1.29×10-2m/s12. 氮气罐容积为50L ，由于用掉部分氮气，压强由71.01310Pa ⨯减为64.05210Pa ⨯，同时罐内氮气温度由30℃降为20℃.求：（1）罐中原有氮气的质量；（2）用掉氮气的质量；（3）用掉的氮气在51.01310Pa ⨯和20℃时应占有的体积.参考解答解题分析由理想气体的状态方程可以计算出气体的质量.在第三问中，同样由理想气体的状态方程反过来从气体的质量求出气体所占的体积.解题过程（1）已知2350L 5.010m V -==⨯，71.01310Pa p =⨯，300.15K T =，22.810kg/mol M -=⨯，得罐中原有氮气的质量为2722.810 1.01310 5.010kg 5.63kg 8.31303.15MpV m RT --⨯⨯⨯⨯⨯===⨯（2）用掉部分氮气之后，64.05210Pa p '=⨯，293.15K T '=.得罐中剩余氮气的质量为2622.810 4.05210 5.010kg 2.31kg 8.31293.15Mp V m RT --'⨯⨯⨯⨯⨯'===⨯ 用掉氮气的质量为(5.63 2.31)kg 3.32kg m m m '∆=-=-=.（3）用掉的氮气在51.01310Pa ⨯和20℃时所占的体积33523.328.31293.15m 2.85m 1.01310 2.810mRT V pM -∆⨯⨯===⨯⨯⨯13.二八自行车车轮的直径为71.12cm ，内胎截面的直径为3.0cm.在-3℃的天气里向空胎内打气.打气筒长为30cm ，截面半径为1.5cm.打了20下，气打足了，这时车胎内气体的温度为7℃，试估算车胎内气体的压强.参考解答解题分析将已知条件代入理想气体状态方程计算即可.解题过程打气筒，V 1＝20×30.0cm ×π(1.5cm)2，T 1＝－3℃，p 1＝1.013×105Pa ，车胎内，V 2＝71.12cm ×π(1.5cm)2，T 2＝7℃.51221212.810Pa V T p p V T ==⨯ 14.已知大气压强随高度变化的规律为：/0e Mgh RT p p -=.其中M 是分子质量.证明：分子数密度随高度按指数规律减小.设大气的温度不随高度改变.大气的主要成分是氮气和氧气.那么大气氮气分子数密度与氧气分子数密度的比值随高度如何变化？参考解答解题分析压强随高度变化服从玻尔兹曼分布，将理想气体的压强公式代入压强随高度变化的表达式即可.解题过程将理想气体的状态方程写成这样的形式：B p nk T =其中n 是分子数密度。
代入压强随高度变化的表达式，/0B B e Mgh RT p p k T k T-= 有/0e Mgh RT n n -=（1）因此如果大气的温度不随高度改变，则分子数密度随高度按指数规律减小.质量越小的分子数密度随高度下降得越慢。
氮气分子的分子量比氧气分子的分子量小，所以氮气分子比氧气分子质量小，氮气分子数密度随高度下降比氧气分子慢，所以随着高度的增加，氮气分子数密度与氧气分子数密度的比值也增大. 下面用数学表达式来表示，由（1）式，写出氮气分子数密度n N 与氧气分子数密度n O 随高度的变化N /N N0e M gh RT n n -=，O /O O0e M gh RT n n -=（2）它们的比值O N ()/N N0O O0e M M gh RT n n n n -=（3） 由于氧气分子的分子量M N 比氧气分子的分子量M O 小，这一比值随高度的增加而上升.15. N 个假想气体分子，其速率分布如图（当02v v >时分子数为0），求：（1）a ；（2）分子平均速率及方均根速率.参考解答 解题分析分布函数曲线下的总面积就是总分子数N ，由此可定出a 的数值.然后就可以根据图的曲线分段写出分布函数.最后由分布函数求出与速率有关的统计平均值.解题过程（1）曲线OABC 下的面积为总分子数N .由归一化条件1OA BC AB N N N N N N++=，0000321,2225av av av N a N N N v ++==.f2（2）先写出)(x f 函数形式00000003102513()222322a vv v v a f v a v v v v v a v v v ⎧≤≤⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪≤≤⎪⎩ 平均速率00000/23/222000/23/2004559()d d ()d d 2120v v v v v a v v vf v v v v a v v a v v v v ∞==+-+=⎰⎰⎰⎰ 方均根速率00000/23/22222222000/23/2004549()d d ()d d 240v v v v v a a av v v f v v v v v v v v a v v v v ∞==+-+=⎰⎰⎰⎰=16.求在标准状况下1.03cm 氮气中气体分子速率处于500~501m/s 之间的数目.参考解答解题分析利用麦克斯韦速率分布函数.求一段速率区间的总分子数是要用到积分的.但本题的速率区间相对于速率来说非常小，所以可以直接用速率区间相乘，而免于积分.解题过程解：已知273.15K T =，51.01310Pa p =⨯，23N 2810kg/mol M -=⨯故得223N 26N 23A 2810kg 4.6510kg 6.0210M m N --⨯===⨯⨯5325323B 1.01310m 2.710m 1.3810273.15p n k T ---⨯===⨯⨯⨯ 由麦克斯韦速率分布律可知2B 3222B ()4πe 2πmv k T n v m v v n k T -⎛⎫∆=∆ ⎪⎝⎭其中 500m/s v =，1m/s v ∆=将有关的数据代入上式得：31631.8510, 5.010cm n n n--∆=⨯∆=⨯ 17. 质量为10kg 的氮气，当压强为51.01310Pa,p =⨯，体积为7700cm 2，其分子的平均平动动能是多少？参考解答解题分析利用理想气体平均动能的表达式.不过现在温度未直接给出.所以要利用理想气体状态方程.解题过程解：已知23N 2810kg/mol M -=⨯，51.01310Pa p =⨯，337.710m V -=⨯，10kg m =故分子的平均平动动能为2353N 24B 23A 3332810 1.013107.710J 5.4410J 22210 6.02210M pV E k T mN ---⨯⨯⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯ 18. 一摩尔双原子理想气体（,m 52V C R =， 1.4γ=）的体积，绝热地膨胀到原来的2倍，122V V =.问：（1）前后平均自由程之比21?λλ=（2）碰撞频率为Z ，前后碰撞频率之比21?Z Z =参考解答解题分析既然是绝热膨胀，就可以利用绝热过程方程.求出终态的压强后，再利用平均自由程式的表达式λ=和碰撞频率的表达式λv Z =，即可求出所需的量.解题过程（1）理想气体进行绝热过程，有1122p V p V γγ=，121121()()2V p p p V γγ== 由理想气物态方程112212p V p V T T =，122212111211()()()2T p V V V T p V V V γγ-==⋅=和平均自由程式λ=， 得到122111211()()222T p T p γγλλ--==⋅= （2）碰撞频率λv Z =，其中v =221 1120.435Z V Z V λλ====19. 测定气体分子速率分布实验要求在高度真空的容器内进行.如果真空度较差，那么容器内允许的气体压强受到什么限制？参考解答解题分析要求气体分子在容器内的运动不受杂质影响，也就是气体分子的平均自由程要大于容器的线度.解题过程如果不是高度真空，容器内有杂质粒子，分子与杂质粒子碰撞会改变速率分布，使得测到的分布不准。