温州中学提前招生数学考试模拟卷
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1、设x =
，则代数式(1)(2)(3)x x x x +++的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2
2、对于任意实数,,,a b c d ，定义有序实数对(,)a b 与(,)c d 之间的运算“△”为：
(,)(,)(,)a b c d ac bd ad bc ∆=++。

如果对于任意实数,u v ，都有(,)(,)(,)u v x y u v ∆=，那
么(,)x y 为（ ）。

A ．(0,1)
B ．(1,0)
C ．(1,0)-
D ．(0,1)- 3、已知,A B 是两个锐角，且满足2
2
5sin cos 4A B t +=，2223
cos sin 4
A B t +=，则实数t 所有可能值的和为（ ）
A ．8
3- B ．53- C ．1 D ．113
4、设 3
3332017
1
......312111s ++++=
，则4S 的整数部分等于（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
5．方程2
2
2334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 （ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
6．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ ）
A ．
3 B ．3 C ．3
D ．3 7．已知实数,a b 满足221a b +=，则44
a a
b b ++的最小值为 （ ）
A ．18-
B ．0
C ．1
D ．
98
8．若方程2
2320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足2323
11224()x x x x +=-+，则
实数p 的所有可能的值之和为 （ ）
A ．0
B ．34-
C ．1-
D ．54
-
二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分） 9．已知互不相等的实数,,a b c 满足111
a b c t b c a
+
=+=+=，则t =_________． 10．使得521m ⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 ．
11．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BC
AP
＝ ． 12．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，2224
3131319
a b c a a b b c c ++=------，
则222a b c ++＝ ．
13、两条直角边长分别是整数,a b （其中2017b ），斜边长是1b +的直角三角形的个数为＿＿＿＿。

14、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8。

同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是＿＿＿＿。

15、如图，双曲线2
(0)y x x
=
>与矩形OABC 的边CB ，BA 分别交于点E ，F 且AF ＝BF ，连接EF ，则△OEF 的面积为＿＿＿＿＿；
16、设四位数abcd 满足3
3
3
3
110a b c d c d ++++=+，则这样的四位数的个数为＿＿＿。

三、解答题（共4题，17、18每题15分，19、20每题20分，共70分）
17、如图，△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2AC 。

点P 在△ABC 内，且P A
，PB ＝5，PC ＝2，求△ABC 的面积。

A
C
P
B
18、已知抛物线2
16
y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，P A 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3
(0,)2
-，若AM //BC ，求抛物线的解析
式.
17、如图，P A 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，AD ⊥OP 于点D .证明：2AD BD CD =⋅．
19、若从1，2，3，…，n中任取5个两两互素的不同的整数1a，2a，3a，4a，5a，其中总有一个整数是素数，求n的最大值。

参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

）
二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分）
9 1± 10 1
12
233
13 31 14
9
1
15
2
3
16 5 三、解答题（共4题，17、18每题15分，19、20每题20分，共70分） 17、解：如图，作△ABQ ，使得：∠QAB ＝∠P AC ，∠ABQ ＝∠ACP ，
则△ABQ ∽△ ACP ，由于AB ＝2AC ，∴相似比为
2
于是，AQ ＝2 AP ＝23，BQ ＝2CP ＝4
∠QAP ＝∠QAB ＋∠BAP ＝∠P AC ＋∠BAP ＝∠BAC ＝60° 由AQ ：AP ＝2：1知，∠APQ ＝900 于是，PQ ＝3AP ＝3
∴BP 2＝25＝BQ 2＋PQ 2 从而∠BQP ＝900 作AM ⊥BQ 于M ，由∠BQA ＝1200，知 ∠AQM ＝600，QM ＝3，AM ＝3，于是，
∴AB 2
＝BM 2
＋AM 2
＝(4＋3) 2
＋32
＝28＋83 故S △ABC ＝21
AB •ACsin 600＝
83AB 2＝2
376+
18、解 易求得点P 2
3
(3,)2
b b
c +，点C (0,)c .
设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为
(3,)b m .
A
C
P
B Q
M
显然，12,x x 是一元二次方程2
106
x bx c -
++=的两根，所
以13x b =
，23x b =，又AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE
分
因为P A 为⊙D 的切线，所以P A ⊥AD ，又AE ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅
，即
223
()||2
b c m =+⋅，
又易知0m <，所以可得6m =-. ……………………10分
又由DA ＝DC 得2
2
DA DC =
，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）.
又因为AM //BC ，所以OA OM
OB OC =
3||
2|6|
-=-. 把6c =-代入解得52b =（另一解5
2
b =-舍去）. 因此，抛物线的解析式为215
662
y x x =-+-. …………15分
19、证明：连接OA ，OB ，OC .
∵OA ⊥AP ，AD ⊥OP ，∴由射影定理可得2
PA PD PO =⋅，2
AD PD OD =⋅. ………5分 又由切割线定理可得2
PA P B PC =⋅，∴PB PC PD PO ⋅=⋅， ∴D 、B 、C 、O 四点共圆，………10分
∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PBD ∽△COD ， ………15分 ∴PD BD CD OD
=，∴ 2
AD PD OD BD CD =⋅=⋅. ………………20分
20、解：若n ≥49，取整数1，22，32，52，72，这五个整数是五个两两互素的不同的整数，但没有
一个整数是素数，∴n ≤48，在1，2，3，┉┉，48中任取5个两两互素的不同的整数1a ，2a ，
3a ，4a ，5a ，
若1a ，2a ，3a ，4a ，5a 都不是素数，则1a ，2a ，3a ，4a ，5a 中至少有四个数是合数，不妨假设1a ，2a ，3a ，4a 为合数，
设1a ，2a ，3a ，4a 的最小的素因数分别为p 1，p 2，p 3，p 4 由于1a ，2a ，3a ，4a 两两互素，∴p 1，p 2，p 3，p 4两两不同 设p 是p 1，p 2，p 3，p 4中的最大数，则p ≥7
因为1a ，2a ，3a ，4a 为合数，所以1a ，2a ，3a ，4a 中一定存在一个 a j ≥p 2≥72＝49，与n ≥49矛盾，于是1a ，2a ，3a ，4a ，5a 中一定有一个是素数 综上所述，正整数n 的最大值为48。