201 至2012 学年第二学期
高等数学AI（二）试卷B卷
出卷教师：适应班级：2011级计算机科学、土木工程、建筑管理工程、机电工程、
材料工程、电气工程
考试方式：闭卷本试卷考试分数占学生总评成绩的70%
复查总分总复查人
（本题 18 分）一、填空题
1．直线
221
312
x y z
+-+
==
-
与平面23380
x y z
++-=的交点为。

2．设22
ln()
z x xy y
=++，则
z z
x y
x y
∂∂
+=
∂∂。

3．二次积分
cos
2
00
(cos,sin)
d f r r rdr
π
θ
θθθ
⎰⎰可以写成。

4．幂级数23
2
(1)
3
n
n
n
n
x
n
∞
-
=
-
⋅
∑的收敛半径为。

5．设
1
z
y
u
x
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，则
(1,1,1)
du=。

6．设
,0
()
,0
2
x x
f x
x x
ππ
π
π
---<<
⎧
⎪
=⎨
+≤≤
⎪⎩
是以2π为周期的周期函数，则()
f x的傅立叶级数在0
x=处收敛
于。

（本题 12 分）二、单项选择题
1．在曲线23
,,
x t y t z t
==-=的所有切线中，与平面24
x y z
++=平行的直线
（）。

A 只有1条；
B 只有2条；
C 至少有3条；
D 不存在。

2．设22
:,01
z x y z
∑=+≤≤，则
∑
=（）。

A 2π；
B ；
C ； D
2
π。

《高等数学AI（二）》试卷第 1 页（共 4 页）
3．设级数
1
n
n
u
∞
=
∑收敛，则必收敛的级数是（）。

A
1
(1)n n
n
u
n
∞
=
-
∑； B 2
1
n
n
u
∞
=
∑； C 212
1
()
n n
n
u u
∞
+
=
-
∑； D 1
1
()
n n
n
u u
∞
+
=
+
∑。

4．设L是221
x y
+=的曲线，则2
2
L
y ds=
⎰（）。

A 2π；
B π； C
2
π
； D 4π。

（本题 48 分）三、计算题
1．设()()
x y
z yf xg
y x
=+，其中,f g具有二阶连续导数，求
22
2
z z
x y
x x y
∂∂
+
∂∂∂。

2．计算
D
，其中D由22222
0,,20(0)
y x y a x ax y a
≥+≥-+≤>所围成的区域。

3．计算ln(
I y x dy
=++
⎰，其中L是从点(0,0)
O沿曲线sin
y x
=到点
(,0)
Aπ的一段弧。

《高等数学AI（二）》试卷第 2 页（共 4 页）
学
院
名
称
专
业
班
级
姓
名
：
学
号
：
密
封
线
内
不
要
答
题
┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃
密
┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃
封
┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃
线
┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃
4．流体的速度(,2,2)v x xy z =-
，求流体从锥面)z z h =≤≤上侧流向下侧的流量。

5．设33z ax by cxy =++在点(1,1)处取得极值1-，（1）确定常数,a b 的值；（2）函数值(1,1)z 是极大值还是极小值？
3．求幂级数121(1)21
n n
n x n -∞
=--∑的收敛域及和函数。

《高等数学AI （二）》试卷 第 3 页 （ 共 4 页 ）
（本题 10 分）四、应用题 在锥面z =
与平面1z =所围的封闭曲面内作一长方体，使其体积最大，
求这个体积的最大值。

（本题 12 分）五、证明题
设22
22
221()arctan ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧-+≠⎪+=⎨⎪+=⎩
，证明(,)f x y 在点(0,0)可微。

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