二面角1.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32 ，D 是 BC 的中点，且△ADC 是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。

解2.如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ， 求以BD 为棱，BDE 与BDC解：3. 如图：ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O 点，P 是平面ABCD 外一点，PO ⊥面ABCD ，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。

解：4.如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =0120，求二面角 A-BD-C 的余弦值。

解：ABAC5.已知正方体 AC'，M 、N 分别是BB'，DD'的中点，求截面 AMC'N 与面ABCD ，CC'D'D 所成的角。

解：6.如图 AC ⊥面BCD ，BD ⊥面ACD ，若AC =CD =1，∠ABC =30°，求二面角D AB C --的大小。

解：7. 三棱锥 A-BCD 中，∠BAC =∠BCD =90°，∠DBC =30°，AB =AC =6，AD =4，求二面角 A-BC-D 的度数。

解：9. 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠A ＝60°，D ’BDACBACMNB FEACDDOABCPC ⊥平面ABCD ，PC ＝a,E 是PA 的中点.(1)求证平面BDE ⊥平面ABCD.(2)求点E 到平面PBC 的距离.(3)求二面角A —EB —D 的平面角大小. 解析：10. 如图，已知正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为1，E 、F 分别在棱AB 、BC 上，G 在对角线BD1上，且AE ＝41，BF ＝21，D1G ∶GB ＝1∶2，求平面EFG 与底面ABCD 所成的二面角的大小.11. 如图，设ABC —A1B1C1是直三棱柱，E 、F 分别为AB 、A1B1的中点，且AB ＝2AA1＝2a,AC ＝BC ＝3a. (1)求证：AF ⊥A1C(2)求二面角C —AF —B 的大小12．如图1111D C B A ABCD -是长方体，AB=2，11==AD AA ，求二平面C AB 1与1111D C B A所成二面角的大小．13. 在正方体1111D C B A ABCD -中，1BB K ∈，1CC M ∈，且141BB BK =，143CC CM =.．求：平面AKM 与ABCD 所成角的大小．14. 如图，将边长为a 的正三角形ABC 按它的高AD 为折痕折成一个二面角C AD C --'． （1）若二面角C AD C --'是直二面角，求C C '的长； （2）求C A '与平面CD C '所成的角；（3）若二面角C AD C --'的平面角为120°，求二面角D C C A -'-的平面角的正切值．参考答案解：由已知条件，D是BC的中点∴ CD =BD =2 又△ADC是正三角形∴ AD =CD =BD =2∴ D是△ABC之外心又在BC上∴△ABC是以∠BAC为直角的三角形，∴ AB⊥AC，又 PC⊥面ABC∴ PA⊥AB (三垂线定理)∴∠PAC即为二面角 P-AB-C之平面角，易求∠PAC =30°2、解：∵ BS =BC，又DE垂直平分SC∴ BE⊥SC，SC⊥面BDE∴ BD⊥SC，又SA⊥面ABC∴ SA⊥BD，BD⊥面SAC∴ BD⊥DE，且BD⊥DC则∠EDC就是所要求的平面角DPCABEDBASC设 SA =AB =a ，则 BC =SB =2a 且 AC = 3 易证 △SAC ∽△DEC ∴ ∠CDE =∠SAC =60° 3、解：取OC 之中点N ，则 MN ∥PO ∵ PO ⊥面ABCD∴ MN ⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2， 过 N 作 NR ⊥BD 于 R ，连MR ， 则 ∠MRN 即为二面角 M-BD-C 的平面角 过 C 作 CE ⊥BD 于S 则 RN =21CE 在 Rt △BCD 中，∴ 58BD BC CD CE =⋅=∴ 54RN =25RN MN MRN tan ==∠ ∴ 25arctanMRN =∠ 4. 解：过 A 作 AE ⊥CB 的延长线于E ， 连结 DE ， ∵ 面ABC ⊥面BCD ∴ AE ⊥面BCD∴ E 点即为点A 在面BCD 内的射影∴ △EBD 为△ABD 在面BCD 内的射影设 AB =a 则AE =DE =ABsin60°=a 23 ∴ AD =41ABD cos 26=∠， A∴ sin ∠ABD =415 ∴ 22ABD a 815415a 21S =⨯=∆ 又 a 21BE = ∴ 2BDE a 83a 21a 2321S =⋅⋅=∆ ∴ 55S S cos ABD BDE ==θ∆∆ 5. 解：设边长为a ，易证 ANC'N 是菱形 且MN =a 2，A'C =a 3∴Ｓ□AMC'N = 2a 26'AC 21MN =⋅由于AMC'N 在面ABCD 上的射影即 为正方形ABCD∴ Ｓ□ABCD =2a ∴ 36a 26a cos 221==θ ∴ 36arccos1=θ 取CC'的中点M'，连结DM'则平行四边形DM'C'N 是四边形AMC'N 在CC'D'D 上的射影，Ｓ□DM'C'M =2a 21 ∴ 66a 26a21cos 222==θ ∴66arccos2=θ 6. 解：作DF ⊥AB 于F ，CE ⊥AB 于E ，ACAC∵ AC =CD =1 ∠ABC =30° ∴ AD =2，BC =3 ， AB =2， BD =2 在Rt △ABC 中， 23231AB BC AC CE =⨯=⋅=，同理 1222ABBDAD DF =⨯=⋅= ∴ 1DF BD BF 22=-=21CE AC AE 22=-= ∴ 212112EF =--= ∴ θ⋅-++=cos DF EF 2EF DF CE CD 2222∴ 33cos =θ 即所求角的大小为33arccos。

7、解：由已知条件∠BAC =90°，AB =AC ， 设BC 的中点设为O ，则OA =OC =3BC =322333230tan BC DC 0=⨯== ∴ θ⋅-++=cos CD AO 2CD OC AO AD 2222解之得：21cos -=θ ∴ ο150=θ9、解析：(1)设O 是AC ，BD 的交点，连结EO. ∵ABCD 是菱形，∴O 是AC 、BD 的中点，B∵E 是PA 的中点，∴EO ∥PC ，又PC ⊥平面ABCD ， ∴EO ⊥平面ABCD ，EO ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABCD. (2)EO ∥PC ，PC ⊂平面PBC ，∴EO ∥平面PBC ，于是点O 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离. 作OF ⊥BC 于F ，∵EO ⊥平面ABCD ，EO ∥PC ，PC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面ABCD ，于是OF ⊥平面PBC ，OF 的长等于O 到平面PBC 的距离.由条件可知，OB ＝2a ,OF ＝2a×23＝43a ，则点E 到平面PBC 的距离为43a.(3)过O 作OG ⊥EB 于G ，连接AG ∵OE ⊥AC ，BD ⊥AC ∴AC ⊥平面BDE ∴AG ⊥EB(三垂线定理) ∴∠AGO 是二面角A —EB —D 的平面角∵OE ＝21PC ＝21a,OB ＝23a ∴EB ＝a.∴OG ＝EB OBOE ⋅＝43a 又AO ＝21a. ∴tan ∠AGO ＝OG AO ＝332∴∠AGO ＝arctan 332.评析 本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法，三垂线定理及逆定理的应用.10、设G 在底面ABCD 上的射影为H ，H ∈BD ，∵DD GH 1＝BD GB 1＝32∴GH ＝32作HM ⊥EF 于M ，连GM ，由三垂线定理知GM ⊥EF ，则∠GMH ＝θ就是平面BFG 与底面ABCD 所成的二面角的平面角，tan θ＝HM GH.下面求HM 的值.建立如图所示的直角坐标系，据题设可知.H(31，32)、E(41，0)、F(1，21)∴直线EF 的方程为0210--y ＝41141--x ， 即 4x-6y-1＝0.由点到直线的距离公式可得｜HM ｜＝22641326314+-⨯-⨯＝13611，∴tg θ＝32·11136＝11134，θ＝arctg 11134.说明 运用解析法来求HM 的值是本例的巧妙所在.11、分析 本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识.解 (1)∵AC ＝BC ，E 为AB 中点，∴CE ⊥AB又∵ABC —A1B1C1为直棱柱，∴CE ⊥面AA1BB连结EF ，由于AB ＝2AA1∴AA1FE 为正方形∴AF ⊥A1E ，从而AF ⊥A1C(2)设AF 与A1E 交于O ，连结CO ，由于AF ⊥A1E ，知AF ⊥面CEA1∴∠COE 即为二面角C —AF —B 的平面角∵AB ＝2AA1＝2a,AC ＝BC ＝3a∴CE ＝2a,OE ＝22a,∴tan ∠COE ＝aa222＝2.∴二面角C —AF —B 的大小是arctan2.12、解析：∵ 平面ABCD ∥平面1111D C B A ，∴ 平面C AB 1与平面1111D C B A 的交线l 为过点1B 且平行于AC 的直线．直线l 就是二平面C AB 1与1111D C B A 所成二面角的棱．又1AA ⊥平面1111D C B A ，过1A 作AH ⊥l 于H ，连结AH ．则1AHA ∠为二面角1A l A --的平面角．可求得25tan 1=∠AHA ．因此所求角的大小为25arctan 或25arctan π-14、解析： （1）若︒='∠90DC C ，∵ AC=a ，∴ a C D DC 21='=，∴ a C C 22='．（2）∵ C D AD '⊥，AD ⊥DC ，∴ AD ⊥平面C C D '．∴ D C A '∠为C A '与平面C C D '所成的角，在Rt △C AD '中，AC DC C D 21=='，∴ ︒='∠30C DA ，于是 ︒='∠60D C A ．（3）取C C '的中点E ，连结AE 、DE ，∵ DC C D ='，AC C A ='，∴ C C AE '⊥，C C DE '⊥，∴ ∠AED 为二面角D C C A -'-的平面角，∵︒='∠120DC C ，a CD D C 21=='，∴ aDE 41=，在Rt △AED 中，a AD 23=，∴ ．324123tan ===∠aaDE AD AED。