数学模型主 题 举重比赛运动员成绩与体重的关系 专业、班 自动化1306班学 号姓 名联系电话指导教师 苏厚胜举重比赛运动员成绩与体重的关系摘要：利用1996年奥运会举重比赛冠军的成绩进行了成绩与体重之间关系的研究，利用统计学、高等数学的知识建立了线性，高阶多项式和低阶多项式三个模型。
使用Excel、MATLAB等软件进行拟合，其中低阶多项式模型最佳。
利用2008年北京奥运会实际赛果对模型进行了检验，效果较好。
结论可用于举重运动员比赛成绩的预测和评估。
关键词：Excel，MATLAB，数学模型，拟合.一．问题的提出在现代奥运会举重比赛中，比赛前运动员都要称体重，并且最后运动员的成绩只计算抓举和挺举的总成绩，如总成绩相同则赛前体重轻者列前。
一般情况下，最终获奖级别越高，体重越重，举起的重量也越大，那么可设想同一级别的运动员，体重越大的，举起的重量应该越大。
也就是说，运动员的体重与总成绩应该有着密切的关系。
下表是1996年亚特兰大奥运会竞赛的冠军成绩，试在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重的关系。
某届奥运会举重冠军成绩表二．问题假设1.举重运动员的总成绩是生理条件，心理因素等众多因素共同作用的结果。
2.本文的研究重点只考虑体重的因素，假设运动员其他条件相差不大。
3.无差别级运动员体重差异大，模型将不考虑108kg以上级别.三．问题分析将问题中所给的数据导入Excel中，观察散点图，可发现举重成绩是体重的增函数。
图1若认为举重成绩与体重呈近似线性关系，可使用Excel 进行线性拟合.图2是通过Excel 得出的关于实际成绩散点与线性拟合值对比图。
图2抓举、挺举、总成绩与体重线性拟合的结果分别为：2221.187273.242(0.9288);y 1.418789.362(0.9362);2.6153162.1(0.9516);y x R x R y x R看一下经验模型拟合数据与实际数据的比较，如表：050100150200250300350400450500020406080100120成绩—体重散点图y = 1.1872x + 73.242R² = 0.9288y = 1.4187x + 89.362R² = 0.9362y = 2.6153x + 162.1R² = 0.9516050100150200250300350400450500020406080100120从拟合效果看有可取之处。
但单纯把成绩看作体重的一次线性函数过于简单，从函数图来看，函数图呈凸状。
成绩随体重的增长率逐渐减小。
成绩函数y(x)应该具有更为复杂的形式。
四． 模型的建立与求解1. 高阶多项式模型由泰勒展开式，我们知道几乎所有函数都可以用一个有限项的多项式函数来拟合。
根据我们已经学习到的知识，我们知道，唯一的一条直线y=ax+b 能够通过两个给定的数据点。
按直线通过点（x1,y1）和（x2，y2）的条件确定a 和b，那么1122;;y a bx y a bx类似地，有唯一的一个最高阶为2的多项式2y a bx cx 能够通过三个不同的点.解下列线性方程组可确定a,b 和c211122222333;;;y a bx cx y a bx cx y a bx cx 以此类推，由N 个点可写出一个最高项为N-1的多项式，达到计算值与实际值完全重合的效果。
现在选取2,3,4,5,6,8,9这7个点做计算数据来拟合一个最高阶为6的多项式。
第1组和第7组数据作为检验模型准确度的数据。
令 123456;y a bx cx dx ex fx gx七个数据点要求常系数a,b,c,d,e,f,g 满足线性代数方程组：23456234562345623456234562307.5595959595959;335646464646464;357.5707070707070;367.5767676767676;392.5838383838383;420999999a b c d e f g a b c d e f g a b c d e f g a b c d e f g a b c d e f g a b c 345623456999999;430108108108108108108;d e f g a b c d e f g借助MATlAB 获得上述方程组的解-29.4168871592129; b = -379.1924794653903;c = 23.9685211965220;d = -0.5890935000542;e = 0.0071518715259;f = -0.0000429503502;g = 0.0000001020930;a现在看一下经验模型拟合数据与实际数据的比较，得到：图3由图表可以看出，除第一组数据，其他组的实际值与预测值基本吻合。
这一模型十分好的追踪了数据的趋势。
注意这一多项式虽然通过代入计算了的数据点（在计算机舍入误差的容忍限内），在区间端点的附近，多项式有严重的摆动。
如作为检验数据的第一组数据的预测值与实际值相差39.5，这一点的估计甚至不如一次线性模型。
可见该模型某一个特定举重运动员的能力预测存在区间上的局限性。
下面将考虑低阶多项式模型来改进发现的这个不足。
2. 低阶多项式模型为了保留高阶多项式的优点和改进其缺点，我们构造一个低阶多项式，低阶多项式通常不会通过全部数据点。
那么，现在的问题是，如何确定低阶多项式的最高阶，第二根据何种准则来确定最佳拟合多项式的系数。
050100150200250300350400450500020406080100120总成绩体重首先介绍一下确定阶数的方法：回顾一下高等数学里高阶导数的知识，一个N 次项的N+1阶导数值为0. 导数的定义：0=lim x dy y dx x由于导数可以几何的解释为在x 点的斜率，但是除非x 很小，比例/y x 不可能是/dy dx 的一个很好的估计。
尽管如此，如果/dy dx 处处均为零，那么y 必须为零，这样我们能在所列出的相继函数值间计算均差11i ii iy y x x类似地，如果一阶导数仍是一个函数，可重复上述过程估计二阶导数。
也就是说，能通过计算一阶导数的相继估计值间的差分来近似二阶导数，以此类推，通过N 阶导数的相机估计值间的差分来近似N+1阶导数。
数据 一阶均差 二阶均差现在来计算成绩与体重数据的均差表： 体重 总成绩 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差 54 287.5 4.0000 0.1500 -0.0193 0.0008 59 307.5 5.5000 -0.1591 -0.0008 0.0007 64 335 3.7500 -0.1736 0.0168 -0.0012 70 357.5 1.6667 0.1465 -0.0143 0.0008 76 367.5 3.5714 -0.1548 0.0093 -0.0004 83 392.5 1.2500 0.0586 -0.0049 91 402.5 2.1875 -0.0633 99 420 1.1111 108 430考察表可以发现三阶均差与数据相比量值很小，并且正负号交替出现。
负号可能指示在数据中存在测量误差或者低阶多项式不能追踪的变化.负号对剩余的列的差分也有不利的影响.这儿我们可以决定使用一个二次式模型，理由是无法判断加进高阶项后能大大消减偏差，但加入高阶项增加了模型的复杂性、它对摆动的易感性以及对数据误差的敏感性。
在下面的模型中，x 表示运动员的体重，y 表示举重总成绩，a，b，c 是待定系数：2();y x a bx cx我们的是确定a、b 和c，产生最佳拟合数据的二次式模型。
这里将极小化偏差平方和求出二次形，即：21[()]m i i i i MinimizeS d a bx cx极小化的必要条件(0)s s s a b c，产生下列方程：2232342()();()()();()()();i i i i i i i i i i i i ma x b x c d x a x b x c x d x a x b x c x d代入表中的数据的方程组：9704578043300;704578044962332265287.5;57804496233244291158822324322.5;a b c a b c a b c 用MATLAB 计算线性方程组得64.0111,8.5093,0.0366a b c因此经验二次形模型给定为2 -64.0111 + 8.5093 - 0.0366y x x分析()y x 的拟合:用二次多项式光滑化举重成绩观察实际成绩与预测成绩的曲线图，两者几乎重合，且具有相同的趋势，这个低阶多项式模型很好的修正了高阶多项式的缺点。
低阶多项式模型可以说是目前我们获得的最好的一个模型，为了验证其是否具有普适性。
我们拿2008年北京奥运会的各重量级的举重成绩来进行验证。
用二次项模型拟合得到的数据是：用计算的极差值作这7组数据的极差图：050100150200250300350400450500020406080100120-10-5051015012345678极差图可以看出，成绩的预测值与运动员的实际成绩也具有相当高的吻合度。
可见低阶多项式模型对于根据运动员体重预测总成绩具有相当强的能力。
另外，根据极差图我们看出，除了第7组数据的极差为正值外，其余均为负值，而1996年的举重成绩的极差值正负负号交替出现，这一模型的另一层意义在于能够对两届运动会运动员的总体水平做出比较，通过数据明显可以看出96年奥运会运动员的总体水平要高于08年的奥运会。
另外，对于取得了较大的偏差值的第七位运动员，我们也可以在一定程度上认为第7位运动员是一位十分卓越的运动员。
低阶多项式模型对于成绩预测和评估都有十分重要的作用。
参考文献：【1】 姜启源.数学模型（第三版）.北京高等教育出版社，2003【2】 Frank R.Giordano等.数学建模（原书第四版译本）.机械工业出版社，2009。