， 2
【思考】 (1)等边△ABC中，向量 AB,BC 所成的角是60°吗？ 提示：向量 AB,B所C成的角是120°.
(2)向量夹角的范围与异面直线所成的角的范围相同 吗？ 提示：向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们 分别是[0，π]和
[0， ]. 2
2.向量的数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数 量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作 a·b，即a·b=|a||b|cos θ.
=
_______.
BA BC
【解析】如图，过A作AD⊥BC，垂足为D.
因为AB=AC，所以BD1= BC=2，
于是| |cos ∠ABC=| 2 |= | |= ×4=2.
2.选D.在菱形ABCD中，边长为2，∠BAD=60°，所以 =2×2×cos 60°=2，
又AB因A为D
所以
AE AB BE AB 1 AD, EF 1 BD 1（AD AB）,
2
2
2
AE EF （AB 1 AD）1（AD AB） 22
1（ 1 AD2 1 AB AD AB2） 1（ 1 4 1 2 4） 1 .
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
【思考】 (1)把“a·b”写成“ab”或“a×b”可以吗，为什么 ？ 提示：不可以，数量积是两个向量之间的乘法，在书 写时，一定要严格，必须写成“a·b”的形式.
(2)向量的数量积运算的结果仍是向量吗？ 提示：向量的数量积运算结果不是向量，是一个实数.
3.投影向量的概念
6.2 平面向量的运算 6.，O是平面上的任意一 点，作 OA =a，OB =b，则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做 向量a与b的夹角(如图所示).
(1)范围：向量a与b的夹角的范围是0≤θ≤π. (2)当θ=0时，a与b同向；当θ=π时，a与b反向. (3)如果a与b的夹角是 我们说a与b垂直，记作a⊥b.
22
2
22
2
2
3.设a与b的夹角为θ，则有
a·b=|a|·|b|cos θ=-12，
所以向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos θ=
=
向量b在向量a方向上的投影为|b|·
ab
cos θ= = =-4.
|b|
12＝ 12；
5
5
a b 12
|b|
3
答案：- 12 -4
5
【内化·悟】 如何解决几何图形中向量数量积的计算？ 提示：一般选择已知长度与夹角的向量作基底，用基 底表示要求数量积的向量，再计算.
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)两个向量的数量积是向量. ( ) (2)对于向量a，b，若a·b=0，则a=0或b=0. ( ) (3)(a±b)2=a2±2a·b+b2. ( )
提示：(1)×.两个向量的数量积没有方向，是实数，不 是向量. (2)×.a·b=0，还可能有a⊥b. (3)√.
【类题·通】 求平面向量数量积的方法 (1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b =|a||b|cos θ.求解时要注意灵活使用数量积的运算 律.
(2)若所求向量的模与夹角未知，应先选取已知模与夹 角的两个向量，表示出所求向量，再代入运算.
【习练·破】
1.已知等腰△ABC的底边BC长为4，则
【思维·引】
1.利用向量数量积的定义与运算律计算.
2.先分别用基向量 AB,AD 表示 AE, EF， 再利用向量数
量积的定义与运算律计算.
3.向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos
θ=
a b, |b|
向量b在向量a方向上的投影为|b|·cos
θ=
a b. |b|
【解析】 1.选B.因为|a|=1，a·b=-1， 所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2×1-(-1)=3.
(3)模长公式：a·a=|a|2或|a|=
ab
(4)夹角公式：cos θ=__a__b__. (5)|a·b|≤|a||b|.
a a＝ a2 .
【思考】 (1)对于任意向量a与b，“a⊥b⇔a·b=0”总成立吗？ 提示：当向量a与b中存在零向量时，总有a·b=0，但 是向量a与b不垂直.
(2)当“cos θ= a b ”为负值时，说明向量a与b的夹
A.12
B.-12
C.12
D.-12
3
3
【解析】选B.由题意，得a·(4b)=4(a·b)= 4|a||b|cos θ=4×2×3×cos 120°=-12.
类型一 向量数量积的计算及其几何意义
【典例】1.(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|=
1，a·b=-1，则a·(2a-b)= ( )
ab
角为钝角，对吗？
提示：不对，cos θ= 180°.
a b=-1时，向量a与b的夹角为
ab
5.向量数量积的运算律 (1)a·b=b·a(交换律). (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
【思考】 “若a·b=a·c，则b=c”成立吗？ 提示：不成立.
A.4
B.3
C.2
D.0
2.如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，
E，F分别为BC，CD的中点，则
=( )
AE EF
A. 1
B. 3
C. 3
2
2
2
D. 1 2
3.已知|a|=3，|b|=5，且a·b=-12，则a在b方向上的 投影为________，b在a方向上的投影为________.
如图所示：OA =a，OB =b，过B作BB1垂直于直线OA，
垂足为B1，则
叫做b在向量a上的投影向量，得
| OB1 |=|b||coOsB1θ|.
4.向量的数量积的性质 设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角. (1)垂直的条件：a⊥b⇔a·b=0. (2)当a与b同向时，a·b=|a||b|； 当a与b反向时，a·b=-|a||b|.
2.在△ABC中，BC=5，AC=8，∠C=60°，则
=
BC C(A )
A.20
B.-20
C.20
D.-20
3
3
【解析】选B. =| =-20. BC CA
( 1 ) 2
|| |cos 120°=5×8×
BC CA
3.若|a|=2，|b|=3，a，b的夹角θ为120°，则a·(4b)
的值为 ( )