1 GX ( ) lim E[| X T ( ) |2 ] T 2T
故而 GX 的实函数 X ( ) G X ( )
由式3-12也可以看到， | X T ( ) | 是 的实函数，
2
故 G X ( ) 也必定为 的实函数。
2 m a 2 m2 2 m2 ... a0 G X ( ) G0 2 n b2 n 2 2 n 2 ... b0
则必定满足：
G0 0 ①由性质(1)要求： ②由性质(4)要求：式中分母无实根(即在实轴上无极点)，且 n m。
例3.1 判断下列函数中，哪些能是平稳过程的功率谱密度？
当
当

[ s (t )]2 dt 时， s(t)是 能量有限信号，

x 2 (t ) dt 时，X(t)是 能量无限信号。 X(t)能量在频
1 lim T 2T
域上的分布(能量谱)不存在，但是：

T
T
x 2 (t ) dt
X (t) 的平均功率是有限的，可以讨论X (t) 平均功率在频域上分布。
f 3 ( )
3.1.2 平稳过程的功率谱密度与自相关函数的关系 一、维纳—辛钦定理 对于一般随机过程X(t)： G X ( )



R X (t , t )e j d
若 X(t)是平稳过程 则有： R X (t , t ) R X ( )
R X (t , t ) R X ( ) R X ( )
2
即有：
1 [s(t )] dt 2
2
2 | S ( ) | d ←帕赛瓦尔定理
2

由于左边是：s(t)在时间 ( , ) 上的总能量＝ | S ( ) | 在整 2 个频域上的积分。因此 | S ( ) | ←表示 s(t) 在不同频率上总 能量的分布密度，称为：能量谱密度。
第三章 随机信号的频域分析
§3.1 实随机信号的功率谱密度 确定信号的频谱（回顾） 首先对确定性时间信号的傅立叶变换作一下简单回顾。 设s(t)是时间(0~T)上的“非周期”信号，其傅立叶变换存在的 条件是： ⑴. s(t)在 ( , ) 范围内满足狄利赫利条件。 (s(t)只有有限个极值点和有限个第一类间段点。) ⑵.
a .s
4、各态历经过程的功率谱密度 若过程 X(t) 的平均功率和 其样本函数的平均功率
a .s
1 P GX ( )d 2 － 1 P Gk ( )d k 2 －
由X(t)的各态历经性，P Pk 因此有
a.s
1 2 GX () Gk () lim X kT () T 2T
k 不同由于样本函数 xk (t)不同， Pk 也不同。
相对所有试验结果 来讲，所有样本的平均功率 Pk 的总体
P 就是一个随机变量。
2 1 T 2 1 P X (t )dt lim XT ( ) d lim T 2T －T T 4 T 其中X(t)是随机过程，XT () XT (, )是随机过程的截取函数的频谱
f 1 ( ) cos 3
1 f 2 ( ) ( 1) 2 2
2 1 f 3 ( ) 4 2 5 6
解：因为
2 4 f 4 ( ) 4 4 2 3
f 1 ( ) 0
f 2 ( )
f 4 ( )
所以只有
非偶 在实数轴上有极点， 满足平稳过程功率谱密度的性质。



| s (t ) |dt
（绝对可积）
或
2 | s ( t ) | dt （信号的总能量有限）

若s(t)满足上述条件，则其傅立叶变换对存在。
S ( ) s (t )e jt dt F [ s (t )].................. （正变换）
(3). 功率谱密度是 的偶函数
G X ( ) G X ( )
根据傅立叶变换的性质，当
xiT (t) 为 t 的实函数时，其频谱满足
X iT ( ) X iT ( ) X iT ( ) X iT ( ) 则随机过程截断后的频谱为 X T ( ) X T ( ) X T ( ) X T ( )
xkT (t )
xk (t ),| t | T xkT (t ) 0,| t | T
称 xkT (t ) 为 满足绝对可积条件， 其傅立叶变换存在。
T
0 T
t
x(t ) 的截断函数。当T为有限值时，截断函数 xkT (t )



xkT (t ) dt
T
T
xkT (t ) dt
即各态历经过程 X(t) 的功率谱密度 GX ( )与其样本函数的功率 谱密度 Gk ( ) 以概率1 相等。
5 、实随机过程功率谱密度的性质 功率谱密度是随机过程在频域中主要的统计特征。 (1). 功率谱密度为非负值 由定义式3-12
2 | X ( ) | 0 因为 T
G X ( ) 0
二、实随机信号的平均功率 随机过程的任意一个样本函数，都不满足傅立叶变换的绝对 可积条件，直接对随机过程进行傅立叶变换不可能。但是对其样 本函数作某些限制后，其傅立叶变换存在。 最简单的是应用截断函数。如右图所示： x 在 xk (t) x(t, k ) 中任意截取长为2T的一段
k (t )
2 x 若 x (t ) 代表一噪声电压（或电流），则 －T k (t )dt 表示噪 k
1 2 2 － xkT (t )dt －T xk (t )dt 2
T



X kT ( ) d
T
2
声的一个样本在时间（-T,T）内消耗在1欧姆电阻上的总能量。 若对此总能量在(-T,T)上求时间平均，并求极限
1 T 1 2 2 P E[P E[ X (t )]dt lim E[ XT ( ) ]d ] lim T 2T －T T 4 T
若对 P 取统计平均，得确定值：
P ←通常称为随机过程X(t)的平均功率。
三、功率谱密度 1 、实随机过程的功率谱密度 由于随机过程X(t)的平均功率：
2、平稳过程的平均功率



GX ( )d
2 E [ X (t )] R (0)与“t”无关， 若X(t)为平稳过程，其均方值
则其时间平均 P E[ X 2 (t )] R (0) R (0) 所以平稳过程的平均功率：
P R (0)
3、各态历经过程的平均功率 由于各态历经过程X(t)的每个样本函数的时间平均都以概率1 相 同，与 无关，则可推出：


1 s (t ) 2



S ( )e jt d F 1 [ S ( )]....... （反变换）
其中S(w)称为信号s(t)的频谱，它反映了s(t)中各种频率成分 的分布状况。 可以证明：对一般实信号s(t)，其频谱是w的复函数， 即
S ( ) S ( ) ，（“*”表示复共轭）。
由于s(t)是 (0~T)上的“非周期”信号， s ( t ) dt 绝对可积，所以频谱存在。


T
0
s ( t ) dt
而随机过程样本函数持续的时间是无限的，因为 t→∞， 若：




x (t ) dt ←非绝对可积
则样本函数的频谱不存在。此时随机过程的频谱不存在。
(4)、平稳过程功率谱密度绝对可积：




G X ( )d
证明：因为平稳过程有 R (0) E[ X 2 (t )]
1 且平稳过程有 P E[ X (t )] 2
2


GX ( )d
所以功率谱密度函数绝对可积。 (5)、若平稳过程的功率谱密度可以表示为 的有理函数形式
G ( ) R ( )e j d F R ( ) X X X 有： 1 j 1 RX ( ) G ( ) e d F GX ( ) X 2 因为X(t) 平稳 R X ( )，G X ( )是偶函数。 G ( ) 2 R ( ) cos d X X 0 则有： 1 R X ( ) 0 G X ( ) cos d
P lim
k T
T
－T
xk 2 (t )dt 2T
Pk 表示随机过程的样本函数 xk (t) 消耗在1欧姆电阻上的平均功率
2 1 lim X kT ( ) d T 4 T
Pk 称为随机过程样本函数 xk (t ) 的平均功率（时间平均） 。
由于对一次试验结果 k 来讲， 对应的样本函数xk (t ) 是个确定函 数，因此这个平均功率 Pk 仅是一个确定值。 对于不同 K，由于
1 P lim T 2T
1 －T X (t, )dt Tlim 2T
T 2 a. s

T
－T
xk 2 (t )dt Pk 常数
P E [ P ] E [ Pk ] Pk 即各态历经过程 X(t) 的平均功率 P 与其样本函数的平均功率 Pk
以概率1 相等。
1 1 2 GX ( ) lim E | X ( ) | lim E X T T ( ) X T ( ) T 2T T 2T 1 lim E X ( ) X T T ( ) G X ( ) T 2T
1 T 1 1 2 2 P lim E[ X (t )]dt lim E[ XT ( ) ]d T 2T T 2 T 2T 1 GX ( )d 2 是 GX ( ) 在整个频域上的积分，则被积函数 GX ( ) 表示随机过程