南京信息工程大学数理方程期终考试试卷 A 2008年 12月 任课教师 学生所在系 专业 年级 班级 学生姓名 学号
一、 填空题（共60分）
1. 方程44442242(,)u u u f x y x x y y
∂∂∂++=∂∂∂∂是 四 阶 线性 （“线性”或“非线性”） 非齐次 （“齐次”或“非齐次”）偏微分方程（3分）；
2. 方程222220u u a t x
∂∂-=∂∂的全部解可写为(,)u x y =()()f x at g x at ++-（,f g 是任意二阶连续可微函数） ；（3分）
3. 二维Laplace 方程22220u u u x y ∂∂∆=+=∂∂的基本解为(,)u x y
=12π（3分） 4. 若(,)i u x t 是非齐次波动方程22222(,)i u u a f x t t x ∂∂-=∂∂的解，则1
(,)i i i c u x t ∞=∑满足的微分方程是222221
(,)i i n u u a c f x t t x ∞=∂∂-=∂∂∑；（3分） 5. 方程2222223260u u u u u x x y y x y
∂∂∂∂∂+-++=∂∂∂∂∂∂的类型属于 双曲型或波动方程 ，其特征方程为3dy dx =或1dy dx
=-，特征曲线为 13y x c -=和 2y x c +=，可以将其化为标准型的自变量变换为3y x y x
ξη=-⎧⎨=+⎩，若要消去一阶导数项，可以通过函数变换
(,)(,)
u v e λξμηξηξη+=（其中,λμ待定）；（5分） 6. 定解问题2,0(,0)(),(,0)()
tt xx t u a u x t u x x u x x x ϕψ⎧=-∞<<∞>⎨==-∞<<∞⎩属于初值 问题（“初值”或“边值”），其解的表达式为(,)u x y =
11[()()]()22x at x at x at x at d a ϕϕψξξ+-++-+⎰；定解问题0u x u f x n ∆=∈Ω⎧⎪∂⎨=∈Γ⎪∂⎩属于
Dirichlet 边值问题（“Dirichlet ”或“Neumann ”），其中Γ为Ω的边界，若其存在古典解，则f 一定满足
fds ∂Ω⎰；（4分）
7. 若(,,)h h x t τ=满足初值问题2,0|0,|(,)tt xx t t h a h x t h h f x x t τττ==⎧=-∞<<∞>⎪⎨∂==-∞<<∞⎪∂⎩
，则0(,)(,,)t
w x t h x t d ττ=⎰满足的定解问题为 200(,),0|0,|0
tt xx t t t w a w f x t x t w w x ==⎧=+-∞<<∞>⎨==-∞<<∞⎩（4分） 8. 对于端点自由的半无界弦振动问题，通过偶延拓（“奇延拓”或“偶延拓”）
的方法，可以转化为无界弦振动问题；我们可以借助于三维波动方程初值问题解的Pisson 表达式来获得二维波动方程初值问题解的表达式，这种方法称为 降维法；（3分）
9. 用分离变量法求定解问题20,0(0,)0,(,)00
(,0)(),(,0)()0tt xx t u a u x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩
时，得到关于()X x 的特征值问题是"()()00(0)()0
X x X x x l X X l λ+=<<⎧⎨==⎩，由此可以得到相应
的特征值n λ=2(),1,2,n n l π=，特征函数()n X x = sin n x l π；用分离变量法求定解问题2120,0(0,)(),(,)()0
(,0)(),(,0)()0tt xx t u a u x l t u t t u l t t t u x x u x x x l μμϕψ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩
时，首先通过函数变换(,)(,)(,)u x t v x t w x t =+，将其转化为(,)v x t 的齐次边界条件的定解问题，则可选为(,)w x t = 211()()
()t t t x l μμμ-+；用分离变量法求解稳定的非齐次定解问题
20,0(0,)0,(,)2
0(,0)(),(,0)()0tt xx t u a u x x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ⎧=+<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩
时，通过函数代换(,)(,)()u x t v x t w x =+，可以将其转化为齐次方程，齐次边界条件的定解问题，
其中()w x = ；（8分）
10. 三维调和方程2222220u u u u x y z
∂∂∂∆=++=∂∂∂的解的积分表达式为0()u M = ，其中0M ∈Ω，Γ为Ω的边界，若区域Ω上的Green 函数记为0(,)G M M ，则（1）0(,)G M M dS n
Γ∂∂⎰⎰= ；(2)定解问题0|()x u x u f x ∈Γ∆=∈Ω⎧⎨=⎩的解的表
达式为0()u M = ，其中n 为边界Γ上的单位外法向量；（6分）
11. 作出四分之一平面(0,0)x y >>的Green 函数为 ；（3分） 12. 用Fourier 变换求解偏微分方程定解问题时，是通过Fourier 变换把解偏微分
方程的定解问题转化为含参数α的常微分方程的定解问题，则对KdV 方程的初值问题
2
0,06(,0)()t x xxx ah a x t x f x x ηηηη⎧++=-∞<<∞>⎪⎨⎪=-∞<<∞⎩
关于x 进行Fourier 变换后的形式为 ；（3分） 13. ()f x 的Fourier 变换定义为()F α= ，
()f x 与()g x 的卷积定义为()f g x *= ，若()(()),()(())F F f x G F g x αα==，则1(()())F F G αα-= ；（3分）
14. ||[]x F e -= ；1[]t F e α--= ；（4分）
15.
已知224[]ax a F e α--=
，则2[]ax bx c F e -++= ；221[]a t F e α--= ；
（4分） 二，用D ’Alembert 公式求解下列弦振动方程;（10分）
⎩⎨⎧∞<<∞-==>∞<<∞-=x x
x u x x u t x u a u t xx tt )0,(,sin )0,(0,2 三， （1）写出建立上半平面Green 函数的详细过程；
（2）用Green 函数法求解下列定解问题;（15分）
000|()xx yy y u u y u f x =+=>⎧⎨=⎩
四， 利用Fourier 变换求解下列定解问题；（15分）
22,0(,0)1t xx u c u x t u x x
x ⎧=-∞<<∞>⎨=+-∞<<∞⎩
222221
12
2122()(),1ln 2(,)30,03(0,)(),(,)()0(,0)(),(,0)()0(,)(,)(),1,2,s i i n tt xx t f x at g x at f g
u u a c f x t t x y x c y x c u a u x l t y x u t t u l t t t y x u x x u x x x l n u v e n l λξμηπξμμηϕψπξηξη∞=+++-∂∂-=∂∂-=+=⎧=<<>=-⎧⎪==≥⎨⎨=+⎩⎪==≤≤⎩
==∑200211in 11[()()]()22(,),0|0,|0()()
()x at x at tt xx t t t n x l
x at x at d a
w a w f x t x t fds w w x t t t x
l πϕϕψξξμμμ+-==∂Ω++-+⎧=+-∞<<∞>⎨==-∞<<∞⎩-+⎰⎰。