第三章 数据分布特征的统计描述
思考与练习
一、选择题
1．有n 辆汽车在同一距离的公路上行驶的速度资料，确定汽车平均每小时行驶速度的平均数公式是：（ C ）
A ．
n x
∑ B ．∑∑f
xf C ．∑x n 1 D ．∑∑x
m m
2．权数对加权算术平均数的影响，取决于（ B ）
A. 权数所在组标志值的大小；
B. 权数的大小；
C. 各组单位数的多少；
D. 总体单位数的多少 3．是非标志不存在变异时，意味着：（ B ，C ）
A. 各标志值遇到同样的成数；
B. 所有单位都只具有某种属性
C. 所计算的方差为0；
D. 所计算的方差为0.25
4．能够综合反映总体各个单位标志值的差异，对总体标志变异程度作全面客观评定的指标有（ A ，C ）
A.方差
B.算术平均数
C.标准差
D.全距
二、判断题
1．甲乙两地，汽车去程时速20公里，回程时速30公里，其平均速度为25公里。
[答]错。
本题应采用调和平均法计算平均速度。
2．权数起作用的前提是各组的变量必须互有差异。
[答]对。
3．变量同减某个数再同除于另一数然后求其方差，其方差等于原方差乘于除数的平方。
[答]对。
4．与平均数相比，中位数比较不受极端值的影响。
[答]对。
三、计算题
1．甲乙两企业生产三种产品的单位成本和总成本资料如下表，试比较哪个企业的平均成本高，并分析其原因。
[解]
甲企业的平均成本210030001500660019.4118210030001500340
152030
++=
==++
乙企业的平均成本
3255150015006255
18.2895 325515001500342
152030
++
===
++
由上面的计算得知，甲企业的平均成本高于乙企业。
因为乙企业单位成本低的A产品生产的数量多，占总成本一半以上，即成本低的产品相对权数大，而甲企业生产单位成本低的A产品数量少，仅占总成本的31.8%（=2100/6600）。
由于权数的作用，乙企业的平均成本低于甲企业。
2．甲、乙两市场农产品价格及成交量资料如下表，试比较哪个市场的平均价格高，并分析其原因。
[解]
甲市场的平均价格
1.2
2.8 1.5 5.5
1.375 1.2
2.8 1.54
1.2 1.4 1.5
++
===
++
乙市场的平均价格
1.22 1.41 1.51 5.3
1.325
44
⨯+⨯+⨯
===
由上面的计算得知，甲市场农产品的平均价格高高于乙市场。
因为价格低的甲产品在甲市场成交额少，仅占21.8%（=1.2/5.5）；而在乙市场的成交额大，占45.3%（=2.4/5.3），由于权数的作用，甲市场的平均价格高于乙市场。
3．某企业工人平均月工资为1440元，月收入少于1280元的占一半，试估计众数，并对该企业工人工资的分布情况做一简要说明。
[解] 由题中可知，企业工人月工资的中位数=1280
所以众数≈1440-3×(1440-1280)=960
所以众数<中位数<平均数，则该企业的月工资分布为右（正）偏，说明该企业工人的月工资分布中出现极大值，即出现有人拿到高额的工资，导致月工资分布呈右偏。
4．某城市对3000户居民户均月消费支出进行调查，得到下表资料。
要求：
(1)计算居民户总平均月支出；
(2)计算居民户月均支出标准差和变异系数； (3)计算居民月均支出中位数和众数;
(4)分析平均数、中位数和众数之间的数量联系，并阐明分布的特征。
[解]（1）居民总平均月支出
525
01.0105002.095004.085006.07501
.065035.05502.045015.035006.025001.0150=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
（2）居民月均支出标准差
()()()()7492
.93888125052510505253505252505251502222≈=-++-+-+-Λ
（3）居民户数数列向上累计频数为2310，占总户数一半以上，中位数处于在这一组，即月均支出数列500~600中。
用下限公式计算：
8571
.5228571.225001001050
1260
15005002
1=+≈⨯-+
=⨯-+
=-∑e e
e e M M M M e d
f S f
L M
用上限公式计算：
8571
.5221429.776001001050
690
15006002
1=-≈⨯--
=⨯--
=+∑e e
e e M M M M e d
f S f
U M
频数最高的（户数最多）组就是众数所在之组，众数应处于居民月均支出分组500~600这一组，用下限公式计算：
()()
5
.53710030010506001050600
1050500)
()(111
=⨯-+--+
=⨯-+--+=+--o
o o o o o o o M M M M M M M M o d f f f f f f L M
用上限公式计算：
()()
5
.53710030010506001050300
1050600)
()(111
=⨯-+---
=⨯-+---=+-+o
o o o o o o o M M M M M M M M o d f f f f f f U M
5.某生产班组11个工人日生产零件数为：15，17，19，20，22，22，23，23，25，26，
30。
要求：(1)计算平均数和方差；(2)按照15～19、20～24、24以上分成三组，计算组内方差和组间方差；(3)验证总方差等于组间方差与组内方差平均数之和。
[解]（1）总平均数2211
30
1715=+++=
Λx ，
总方差()()()11
178
11
2230221722152
222
=-++-+-=
Λσ （2）组一（15~19）：15，17，19 ；171=x 组内方差：3
8
2
1=
σ 组二（20～24）：20，22，22，23，23 ；222=x ； 组内方差：5
6
2
2=
σ 组三：（24以上）：25，26，30 ；273=x ； 组内方差：3
14
2
3=σ ∴组间方差
()()()11
150113222752222322172
222
=⨯-+⨯-+⨯-=δ
（3）证明：
总方差2
16.18σ=，组间方差2
13.64δ=
组内方差的平均值11
28113
314
5563382=
⨯+⨯+⨯=i σ 22211
281115011178i σδσ+=+==
∴总方差=组间方差+组内方差的平均值。
原命题得证。
6．某管理局下属8家企业的产品销售数据如下表所示：.试比较其产品销售额和销售利
润的离散程度。
[解] 产品销售额的平均数=536.25，标准差=289.2204；
∴其标准差系数5393.025
.5362204
.289≈=
销售利润的平均数=32.5125，标准差=21.6004
∴其标准差系数6644.05125
.326004
.21≈=
根据标准差系数的计算结果，产品销售额的标准差系数较小，说明产品销售额离散程度较小，分布比较均匀。
7．某高校学生参加英语四级考试的优秀率和合格率分别为15%和90%，试计算优秀率和合格率分布的方差和标准差。
[解] 该题属于求0－1分布的方差和标准差 由题意得优秀率P 1＝15％，合格率P 2＝90％ ∴优秀率的方差和标准差
21111(1)0.150.850.12750.3571
P P σσ=-=⨯== ∴合格率的方差和标准差
22222(1)0.90.10.09
0.3
P P σσ=-=⨯==
8.某粮食作物的产量和播种面积资料如下，试测定其偏度和峰度。
[解]
2.7200
1440
==
=
∑∑f
xf x （百斤）
，2288.151.1200302===σ； 偏度00614.02288
.12008
.2233
3<-=-==σν
α 峰度06143.033857.2320030220094.10873244<-=-=-⎪⎭
⎫
⎝⎛=-=σν
β
负偏；低峰态。