中国人口增长的中短期和长期趋势预测数学模型【摘要】中国是人口大国，人口的预测问题始终是关系到社会和谐发展的关键因素之一。

首先，本文就近几年中国人口结构的变化情况进行“生存——生育”双因素分析，按照人口性别分类，考虑老龄化进程、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等因素，根据近几年城、镇、乡的统计数据，建立基于概率方法的Leslie矩阵，利用Matlab软件进行编程求解，对中国人口进行了中短期预测。

其次，在对人口进行长期预测时，引入净再生产率（NRR）和总和生育率（TFR）。

根据已知数据计算出1994—2005每年的NRR和TFR，通过曲线拟合预测出未来的TFR趋势。

而各年TFR的变化是由相应年各年龄女性生育率的变化引起的，各年龄女性生育率的变化比例即是TFR的变化比例，得到新的生育率，即得到了新的Leslie矩阵，计算出该Leslie矩阵的唯一的正的特征根λ，当λ接近于1时，则人口趋于稳定。

此时求得各年人口预测的新的Leslie矩阵，利用新的每年Leslie矩阵连乘，并乘于2005年各年龄人口数向量，则可预测中长期人口数量。

主要问题结论：1、对中国人口增长的中短期进行预测。

首先以2001年人口数据为基数，对2002年—2005年进行预测，并与真实年份（年）2002 2003 2004 2005 预测总人口数（万人）实际总人口数（万人）128453 129227 129988 130756 相对误差（%）虑各年份生育率的影响。

其次，由上表可知模型较为准确，可以2005年人口数据为基数，利用模型年份2006 2007 2008 2009 2010 预测总人口数（万人）年份2011 2012 2013 2014 2015 预测总人口数（万人）的变化得到每年各年龄女性生育率的变化，运用新的生育率得到该年的Leslie矩阵，计算出该Leslie矩阵的唯一的正的特征根λ，当2033年λ较为接近1时，则2033年后人口达到峰值趋向稳定，且此时NRR2033年=，亦接近于目前发达国家的NRR指标。

此时利用各年的Leslie矩阵以及Matlab软件计算可得长期人口预测值。

由此可知，中国继续推行计划生育政策，使 NRR接近，可使中国未来的人口数量保持稳定趋势。

【关键词】Leslie 矩阵，总和生育率，净再生产率。

一、问题的重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。

根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。

2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进一步的分析。

关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。

附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。

试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。

二、模型假设1)：不考虑迁移等社会因素，生存空间等自然资源的制约,意外灾难等因素对人口变化的影响；2)：假设社会稳定，死亡率与时间无关，特别2005年以后不发生变化； 3)：存活率、生育率仅与年龄段有关； 4）：一个育龄女性仅生育一个女婴，一个男性对应于一个男婴 5)：2001年至2005年每年的出生人口性别比例为均值（稳定值），即不随育龄女性的年龄的变化而变化； 6）：人口总和生育率不变； 7）：假设s i l 是区间(i ,i+s ]上的线性函数(0≤s ≤1)。

三、符号和名词说明1、名词说明（1）总和生育率（Total Fertility Rate ，TFR ）[2]：一定时期（如某一年）各年龄组妇女生育率的合计数，说明每名妇女按照某一年的各年龄组生育率度过育龄期，平均可能生育的子女数。

（2）净再生产率（Net Reproduction Rate ，NRR ）[2]：表示平均一个妇女一生中生育的人口数。

（3）人口老龄化：指人口中老年人比重日益上升的现象。

一般认为，如果人口中65岁及以上老年人口比重超过7%，或60岁及以上老年人口比重超过10%，那么该人口就属于老年型。

[1]符号 符号说明 i年龄c m R i t（z m R i t 、x m R i t ） t 年城市（城镇、乡村）i 岁男性比率 c f R i t（z f R i t 、x f R i t ） t 年城市（城镇、乡村）i 岁女性比率 c B f ti （z f B i t 、x f B i t ） t 年城市（城镇、乡村）i 岁女性生育率 c m S i t（z m S i t 、x m S i t ） t 年城市（城镇、乡村）i 岁男性人数总数c S f ti （z f S i t 、x f S i t ） t 年城市（城镇、乡村）i 岁女性人数总数 c m N t（z m N t 、xc m N t ） t 年城市（城镇、乡村）男性人口总数 c f N t（zf Nt 、xc f N t ） t 年城市（城镇、乡村）女性人口总数c m R t（z m R t 、xc m R t ） t 年城市（城镇、乡村）男性出生比率 c f R t（z f R t 、xc f R t ） t 年城市（城镇、乡村）女性出生比率t Nt 年总人口数 t Pt 年总和生育率i jq i 岁的人在i+j 岁之前死亡的概率 i jpi 岁的人至少活到i+j 岁的概率 i l基期人口中活至i 岁的人数四、模型建立问题一——预测中国中短期人口数量的模型建立与分析从所要解决的问题和对问题所做的假设出发，进行模型推导，建立预测模型。

假设一群新生婴儿的死亡年龄为I,则其生存函数为0)()(≥>=i i I P i s （1）（1）表示新生婴儿能活到i 岁（即i 岁以后死亡）的概率。

则易知s （0）=1， 其实际意义是，我们讨论的婴儿是以100%的概率保证在出生时活着的。

由条件概率可知，新生婴儿在i 岁时仍活着的条件下，于年龄i 与i+j 岁之间死亡的条件概率是 0)()(1)()()()()()|(≥+-=+-=>+≤<=>+≤<j i s j i s i s j i s i s i I P j i I i P i I j i I i P所以即有，0)()(1≥+-=j i s j i s q i j（2）0)()(1≥+=-=j i s j i s q p i j i j可知 )()(00i IP l i s l l i >⋅=⋅=所以对于（2）式可变形为 01)()(100≥-=⋅+⋅-=+j l l i s l j i s l q ij i i j（3） 由此01≥=-=+j l l q p ij i i j ij由假设知 s i l +是区间(i ,i+s ]上的线性函数(0≤s ≤1)，则它的形式为bs a l s i +=+，为了使 s i l +连续，令s=0时，a l i =；s=1时，b a l i +=+1，从而有a lb i -=+1，于是可得 i i i i i si l s l s l l s l l ⋅-+⋅=-=++-+)1()(11所以结合（3）式可得101)1()1()1(1111≤≤⋅-=-+⋅=-+⋅=⋅-⋅==++++s q s s p s s l ls l l s l s l l p i i ii i i i i s i is例如，据此并根据所给数据可求得2001年城市女性0岁的人至少活到岁的概率为05.0p =010.5-1q ⋅=，其他同理。

由于每年男女出生人口比例有所不同，所以按照性别不同分成两组进行求解预测。

首先考虑女性，根据所给2001年城市的相关数据预测2002年城市女性人口数量。

很容易想到，2001年女性人口来自于两个因素：一是生存因素，即2001年的女性经过一年后到2002年仍然生存的人口数；二是生育—生存因素，即2001年到2002年间，女性生育的女婴到2002年存活的人口数。

对于因素一，2001年城市i 岁女性人口总数为c f 2001Si ，城市i 岁女性人口至少存活一年，即至少活到i+1岁的概率为i 1p ，则2002年城市女性人口中由2001年经过一年后仍然生存的人口数为 c f 2001i 1Si p ⋅。

对于因素二，应考虑两种情况，首先说明我们这里认为i 岁女性从2001年到2002年的年龄均为平均年龄，即（i+）。

所以一种情况是城市i 岁女性在2001年生育并活过一年的女婴数，另一情况是2001年城市i 岁女性活过半岁后在2002年生育的女婴数。

假设各有一半的女性分别属于这两种情况。

我们先考虑第一种情况，因为我们知道2001年城市i 岁女性的生育率为c 2001Bi ，城市女性出生比例为c f 2001R ，故可得2001年城市i 岁女性生育女婴的概率为c f 2001c 2001R Bi ⋅，又有女性人口数为c f2001Si 21，则2001年城市出生的i 岁女婴数为c f2001c f 2001c 2001Si R Bi 21⋅⋅，则2001年城市出生并活过一年的女婴数为c f200101c f 2001c 2001Si p R Bi 21⋅⋅⋅，记作g1。

接下来我们考虑因素二的第二种情况，我们知道属于此种情况的2001年城市i 岁女性的人口数为c f 2001Si 21⋅，由第一种情况中的推导方法可得到2002年城市i+1岁女性生育女婴的概率为c f 2002c 2002R 1Bi ⋅+⋅，则可得2001年城市i 岁女性活过半岁后在2002年生育的女婴数为c f 2002c 2002i 0.5c f 2001R 1Bi p Si 21⋅+⋅⋅⋅，记作g2。

所以就可以由此得到2002年城市i 岁女性人口总数为g1+g2，即c f 2001c f 2002c 2002i 0.501c f 2001c 2001Si ]R 1Bi p p R Bi [21⋅⋅+⋅+⋅⋅ 我们记A =]R 1Bi p p R Bi [21c f 2002c 2002i 0.501c f 2001c 2001⋅+⋅+⋅⋅故可导出如下矩阵 A=0q 0q 00q 00q 0000q 00]0 p R B49[21]R B16p p R B15[21005014911511410101c f 2001c 2001c f 2002c 2002150.501c f 2001c 2001+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅ 此矩阵即为leslie 矩阵。