1
（16）
i =1
式（ ）和（ ）分别是在整个域内的位移和应力的半解析方法。
3．比例边界有限元法的优缺点
在结构计算力学中， 有限元法和边界元法由于自身的特点被更有效和广泛的运用并已非 常成熟， 有限元法当前几乎能够解决所有的结构力学问题， 而边界元法在一些特别的领域则 更加有效。 有限元法在材料属性和边界条件具有较大的灵活性。 但这种方法由于自身的缺陷 而在解决某些问题， 比如大领域或无边界域的动力分析， 裂缝发展和其它应力集中的问题时 效率很低 [1]。有限元法的主要缺点是这种方法不得不在整个计算域上进行离散，这就降低了 它解决问题的效率性。还有，如果采用传统的单元，有限元法对单元的结果求解收敛很慢。 由于边界元法只需在被研究问题的边界进行离散化， 所以更适于变弹性问题。 虽然边界元法 同有限元法一样在域类型方法上有一定的优点， 但它需要基础解来求解问题的控制偏微分方 程，而方程有时往往无解，即使有解也是非常的复杂，并且在求解过程中也需要较高的数学 知识来处理变量奇异积分。 另外边界元法不能产生对称刚度矩阵， 这样在同时结合使用有限 元法和边界元法时便增加了它的复杂性。 为了克服有限元法和边界元法的缺点， 边界比例有 限元法便作为了一种可选择的方法。 比例边界有限元法具有有限元法和边界有限元法共同的 优点， 并避免了后两者的缺点。 它在复杂问题上与有限元法常有的域内单调冗长的离散工作 相比则显示出一定的精确性和效率性。SBFEM有许多特别的属性为它的应用提供明显的优 点。SBFEM能够精确的处理应力奇异性和无边界域问题，而这两类问题恰恰是有限元法不 好解决的。另外，由于比例边界有限元必须要有比例中心，所以对于有平行侧面的问题由于 不好确定比例中心而不好求解。SBFEM与FEM和BEM的优缺点归纳如下表 1。
x = x0 + ξ x (η )
y = y0 + ξ y (η )
（4-a） （4-b）
这里，x( 和 y( 是定义在 x 和 y 方向边界变量的函数。 x 和 y 是以 为变量的函数。
ξ −轴
ξ =1
ξ −轴
比例边界 有限单元
ξ =1
η −轴
0< ξ < 1
0< ξ < 1
比例中心
ξ=0
比例中心
i =1
n
(12)
这里，指数 i 和向量 i 分别表示径向比例因子和位移模式函数，把结果带入方 程（）便成为二次型特征问题。
[λ2 [E 0 ] − λ[[E1 ]T − [E1 ]] − [E 2 ]]{ φ} = {0}
-3-
（13）

这个方程可以通过一般数学方法，产生2n置换方式。这里，n是边界离散后的节点数， 也是系数矩阵的大小。 边界问题可以很方便的通过 0 ≤ ≤ 1 来表示。在边界域内，只要负实数 在比例中 心引起了有限的位移，节点子集就可以通过[Φ1]确定。对于任何边界节点位移,u, 积分常数 是：
2.1 静弹性力学方程
-1-

对于二维弹性静力学问题，应变{ (x, y)}与应力{ux, y}的关系如下：
⎧ε x ⎫ ⎧∂ ∂x 0 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧u x ⎫ {ε ( x, y )} = ⎨ε y ⎬ = ⎨ 0 ∂ ∂y ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪∂ ∂y ∂ ∂x ⎪⎩u y ⎭ ⎭ ⎩γ xy ⎭ ⎩ = [ L ]{u ( x, y )}

比例边界有限元优缺点及其应用
袁军，李伟清
西南大学工学院土木工程系(400716)
E-mail：yuanjunfly@
摘 要： 本文对近几年由 John P. Wolf 和 Chongmin Song 提出来的一种基于有限元法 （finite element method,简称 FEM ）的无需基础解的边界有限元计算方法，即比例边界有限元法 (scaled boundary finite element method,简称 SBFEM)的介绍,并对比例边界有限元方法同有限 元和边界有限元分别进行比较,对其相对与有限元和边界有限元的优点和缺点做了一定的说 明,并同时对目前该方法的研究应用领域有一个较详尽的介绍。 关键词：比例边界有限元法，边界有限元法，有限元法，固体力学
-2-

2.3 位移函数
域内的任一点的位移可以通过比例边界坐标系统表达成如下形式：
{u (ξ ,η )} = ∑ N i (η ){u i (ξ )} = [ N (η )]{u (ξ )}
i =1
n
（6）
等式（6）仅表示在边界的离散，相对与有限元法，现在的位移能够沿着比例中心和节 点的径向进行求解，而形函数 [ N (η )] 则通过周向的节点间计算解决。 把等式（5）和（6）带入等式（3） ，便得到在比例边界坐标系统的近似应力：
4．比例边界有限元方法目前的应用
在当代固体力学和许多其它的工程领域中，FEM和BEM为了对结构的力学受力情况进 行模拟分析而被广泛的运用，也出现了许多基于该方法的商业应用软件，如 ANSYS, ADINA,ABACUS等。而SBFEM最初是用来计算无边界介质的动力刚度矩阵[2]，然后John P. Wolf和Chongmin Song又使用此方法来对各向异性的多材料进行裂缝的静力学分析[3]，接着 他们又提出了SBFEM在应力奇异性问题和无边界域里比有限元法更有效率。由于SBFEM具 有对称刚度矩阵和质量矩阵，根据这一与有限元法相同的性质，Yan et.al 开始通过SBFEM 和FEM的结合对土壤结构界面进行动力学分析。 J.P. Doherty 和A.J. Deeks也结合使用FEM和 SBFEM两种方法在分析弹塑性无边界介质时获得了较高精度的结果和较快的计算速率[4]。 Steven R. Chidgzey 和 Andrew J. Deeks 利用 SBFEM 来求解线弹性裂缝尖端附近领域的
方程必须在域上的每一点上都得到满足。
（3）
2.2 比例边界坐标系统
在比例边界有限元方法中，包含有径向( )和圆周方向( )的坐标系统如图 2 所示，径 向坐标规定在比例中心（Scaling Center）处定义为零，而在边界上定义为单位值 1。圆周方 向坐标规定沿着边界逆时针方向的距离。 比例边界坐标系统和 Cartesian 坐标系统关系如下：
Williams 扩展系数， 包括应力密度因子， T-应力， 计算结果表明该方法在许多问题上是有效的[5]。
大连理工大学中国科学院院士林皋和他的博士生杜建国将比例边界有限元法应用于坝-库水 相互作用分析， 在库水不可压缩假定的前提下推导了坝面动水压力与附加质量矩阵的基本方 程。 二维重力坝和三维拱坝坝面动水压力的算例表明,与有限元法比较,SBFEM计算精度明显 提高,同时由于具有降维的特点,也降低了计算工作量[6]。J.L. Wegner, M.M. Yao 和 X. Zhang 对动力波-土壤结构界面利用比例边界有限元方法在时间域上进行了分析研究，数值计算得 出了正确的结果[7]。为了克服比例边界有限元不能解决拥有平行侧面域问题的固有缺点，最 近由Boning Li, Liang Cheng, Andrew J. Deeks 和 Bin Teng 提出了一种改进了的比例边界有 限元方法来克服其解决问题时的不足
η -轴
ξ =0
(x0, y0 )
侧面 (Side faces)
(a) 闭合边界
图 2 比例边界坐标系统
(b)不闭合边界
把等式（4）从Cartesian坐标系统转换为比例边界坐标系统 [1]，则表达式如下：
[ L] = [b1 (η )]
∂ 1 2 ∂ + [b (η )] ∂ξ ξ ∂η
（5）
这里，[b1( )] 和 [b2( )]是仅由边界的几何形状决定。
{σ (ξ ,η )} = [ D][ B1 (η )]{u (ξ )},ξ 1 + [ D][ B 2 (η )]{u (ξ )}
（7）
ξ
这里
[B1 (η)] = [b1 (η)][N (η)] [B 2 (η)] = [b 2 (η)][N (η)]
（8）
这些结果可以在虚功原理方程中用来解决径向的位移。
1．引言
当代，随着社会的进步，人类在工程领域的设计不断创新，新材料和新技术的不断采 用，从而使现代的工程日益庞大和复杂，在工程计算和设计过程中计算量日益趋大，因此， 计算的效率和精确性受到越来越多的研究者的注意。近年由 John P. Wolf 和 Chongmin Song 提出的一种新的半解析方法,比例边界有限元法（别名 consistent infinitesimal finite-element cell method） 正越来越多的引起许多从事连续固体力学的研究者的注意,这种方法是一种边界 有限元方法,但是他又基于有限单元,拥有有限元法和边界有限元法共同的优点。并且目前已 有很多研究者使用此方法在动力学和静力学方面对某些特别工程领域的具体问题进行了研 究,根据研究的结果显示比例边界有限元法相对于有限元法和边界元法更简单， 有效和精确， 得到了比较满意的计算结果。 但比例边界有限元法目前依然处在发展之中， 这一方法在结构 工程的很多领域还未涉及。SBFEM 与 FEM 和 BEM 的关系如图 1。
{c} = [Φ 1 ] −1{u}
则位移表达式重新写为：
（14）
n
{u (ξ ,η )} = [N (η ) ]∑ c iξ − λi {φ i }
i =1
（15）
应力表达式为：
{σ (ξ ,η)} = [D]∑[ciξ −λ −1[−λi [B1 (η)] + [B 2 (η)]]{φi }]
n
2.4 比例边界有限元方程
利用虚功原理来推导平衡方程， 当整个域从属于一系列边界张量{t}时,虚功原理描述如 下：
V T T ∫ {δε } {σ }dV = ∫ {δu} {t}ds S