m
x
· ·= – kx mx or · · mx + kx = 0
41
控制方程（续）
● 对于多自由度系统，控制方程为： · · M x + K x = 0
这里 [K] = 结构刚度矩阵(和静力学相同) [M] = 结构质量矩阵(它代表结构的惯性属性) [K] 和 [M] 必须是实阵、对称阵。
● 下一步为模型加载边界条件(约束模型)。 从数学上就是移除总矩
阵方程中与约束自由度相对应的行和列。
边界条件
[K] {u} = {F}
加载了边界条件的总方程
27
有限元法是怎样工作的 ?(续)
● 最后求解总矩阵方程得到未知的节点位移。 ● 通过节点位移再计算单元应变和应力。
变形图
应力云图
28
有限元法是怎样工作的 ?(续)
29
单元刚度矩阵的附加实例

受轴向力的杆单元刚度矩阵如下所示:
X=0
L F1 1 u1 A
u F1 E A - 1 –1 1 = ------ L –1 1 F2 u2
2 u2
F2
X
30
单元刚度矩阵的附加实例

受扭转的杆单元刚度矩阵如下所示:
● 记住:
系统自由度数目要满足描述系统在任意给定时刻 振动的要求。
42
质量矩阵
●
质量矩阵代表结构的惯性属性。Nastran提供2个选择定义结 构质量：
1. 集中质量矩阵(默认) Lumped Mass
仅存在非零对角元素
2. 耦合质量矩阵 Coupled Mass
存在非零非对角元素 （注意: 对于杆单元，只有平动自由度是耦合的。）
MSC Nastran/Patran Basic Training
— 线性静力学、模态分析
MSC Software 2012.04
1
课程主要内容
1. 2. 3. 4.
有限元分析的基本流程 静力学3
静力学分析演示案例
● Patran/Nastran有限元分析基本流程演示 ● 有限元分析：部件强度分析 -> 装配体强度分析 ● 先讲部件强度
● 刚性单元
● 热传递单元 ● 流固耦合单元 ● 接触单元 ● P单元 ● 通用用户定义单元
20
常用的NASTRAN 单元
0-D Elements CONM2 Scalar Elements CBUSH CELASi (i=1,2,3,4) 1-D Elements CROD CONROD CTUBE CBAR CBEAM CBEND 2-D Elements CQUAD4 CQUAD8 CTRIA3 CTRIA6 CQUADR CTRIAR CSHEAR 3-D Elements CHEXA CPENTA CTETRA Axisymmetric
模型
17
二维单元
● 二维板单元用于对比较薄的结构进行建模,如飞机机身
蒙皮或者汽车的车体
18
三维单元
● 三维实体单元用于对比较厚的构件进行建模,如下面所
示的活塞头:
19
NASTRAN 单元库
● Nastran单元库包含50多种单元
● 0维单元 ● 一维单元
● 二维单元
● 三维单元 ● 标量单元 ● 轴对称单元
X=0
L
T1
1
qx1 J
2
T2 qx2
X
q x1 T1 GJ 1 – 1 = ----- L –1 1 q x2 T2
[K]e
31
单元刚度矩阵的附加实例

受面内剪切和弯曲的梁单元的刚度矩阵如下所示:

Elements
CTRIAX6 CTRIAX CQUADX
Rigid Elements RBAR RBE2 RBE3 RSSCON
21
有限元基本知识
有限元方法是怎样工作的？
22
有限元法是怎样工作的 ?
● 基本方法
− 通过将原有模型分为简单形状的单元,将给定问题离散化。
Y
X Z
− 单元之间通过节点连接。
{u}
32
例子: 两杆组合

下面例子展示了单元刚度矩阵的组合,解决整个结构问题。
33
例子: 两杆组合(续)

通过相应位置的叠加组合两个单元刚度矩阵,得到的矩阵 称为总刚度矩阵。
K 1
k1 k 1
k1 k1
K 2
k2
k 2
k2 k2
35
例子: 两杆组合(续)

施加边界条件
杆的右端固定,因此 u3 = 0。 实现的方法是删除总刚的第3行和第3列。
P k 1 0 k 1 0 0
k1 k1 k 2 k2
0 u1 k 2 u 2 u k2 3
0 0 0 0
44
质量矩阵（续）
● 耦合质量与集中质量对比
– 耦合质量通常情况比集中质量更加准确。 – 集中质量在动力学计算更加迅速。
● 对模型单元，用户选择耦合质量方法:
– PARAM,COUPMASS,1 选择耦合质量，针对所有的 BAR, ROD, 和 PLATE 单 元，这些包含弯曲刚度。 – 默认是集中质量。 – 集中质量仅包含对角线、平动分量（无转动分量）。
(u x, uy , uz ) (qx , q y, qz )
24
有限元法是怎样工作的 ?(续)
● 单元和周围节点之间的关系可以描述为:
[ k ]e { u }e = { f }e


单元刚度矩阵[ k ]e来源于几何外形,材料属性,和单元属性。
单元载荷向量{ f }e描述作用于单元上的载荷。 位移向量{ u }e在方程中为未知量。 描述了在外部载荷作用下节点是如 何运动的。
F {P}
Py1 6 3L –6 2 M z1 2EI 3L 2L –3L ------- = 3 Py2 – 6 – 3L 6 L 2 M z2 3L L –3L
[K]e
2 L – 3L 2 2L 3L
y1 qz1 y2 qz2
k1 -k1 0 -k1 (k1+ k2) -k2 0 -k2 k2
NxN
38
有限元法
● Nastran有限元法是位移法，即基本未知量是位移 ● 应力、应变等都是由位移量计算出来的
39
模态分析
40
控制方程
● 考虑单自由度系统SDOF，如下图：
k
这里：m = 质量 k = 刚度
● 系统自由振动方程(i.e. 没有外载荷和阻尼) 是:
默认情况下，Patran的后处理显示的是节点应力。 这些节点应力一般情况下由Patran根据Nastran单 元力计算而来。
10
workshops
● 起落架支柱线性静力分析
11
workshops
● 飞机翼肋线性静力分析
12
有限元基本知识
节点和单元
13
有限元模型的例子
节点
单元 有限元模型的例子
● 施加在几何上的约束和载荷最终都会由Patran转化为FEM上的
载荷
8
PATRAN-NASTRAN 工作流程和文件
Patran
前处理过程
① 导入/创建几何模型 ② 创建有限元网格 ③ 创建材料属性 ④ 创建单元属性 ⑤ 施加边界条件/载荷 最后提交分析模型 .bdf
MSC Nastran
求解器
K
23
有限元法是怎样工作的 ?(续)
● 每个节点能够在六个独立的方向运动:包括三个平移和
三个转动。 称为节点的自由度。
qy
uy qx ux qz uz
三个平移方向 (ux, uy, uz) 三个转动方向 (qx, qy, qz) {u} = 位移向量 = { ux uy uz qx qy qz }
Three translations Three rotations
(
)
总刚 [K]
34
例子: 两杆组合(续)

给结构施加外载荷
F1 = -P
F2 = 0
F3 = 0
P k 1 0 k 1 0 0
k1 k1 k 2 k2
0 u1 k 2 u 2 u k2 3
● 求解设置和分析：
– 选择求解类型
● 后处理器：
– 查看结果
7
关于B.C/Load的说明
● 约束和载荷可以施加在几何(Geometry)上，也可以施加在网格
节点或者单元(FEM)上。 ● 传统做法是将约束和载荷施加在FEM上。 ● 比较方便的做法是施加在几何上：
– 网格重划分不影响约束和载荷， – 好处：只要几何不变，约束和载荷就一直可以使用
● 有限元法总结
使用按照节点连接的离散单元的组合 表示连续体结构 组合所有载荷形成总载荷向量 {F}
从材料属性,单元属性和几何模型中 得出单元刚度矩阵
施加边界条件 约束模型
组合所有的单元刚度矩阵 形成总刚度矩阵 [K]
求解矩阵方程 [K] {u} = {F} 得到节点位移
由节点位移 计算单元应变和单元应力
43
质量矩阵（续）
● 杆单元质量矩阵例子
2 1 L 3 4
这里： r = 质量密度 A = 截面面积
● 集中质量矩阵
● 耦合质量矩阵
1 2 0 0 0 0 0 M = rAL 0 0 12 0 0 0