串联结构

考虑一两独立单元的串联结构， 系统的可靠度为

潜在提高重要度度量法，串联系统中最 弱单元重要度最高
并联结构

系统可靠度

对于并联系统，利用潜在提高法，并联 结构的所有单元的重要度相同。
串联

独立的两个单元的串联系统， 系统可靠度为

并联

风险降低值法（RRW）

RRW为系统不可靠度与系统单元i被替换 为完美单元时系统不可靠度的比值。
式中： Ii ——第i个元、部件的重要度；
n ——系统所含元、部件的数量。
5

对单元i的关键路集向量 ，关键路集定义 为： 则单元i的关键路集集合个数为

Birnbaum结构重要性
例题

考虑2/3的表决系统
例题


利用最小割集或最小路集判定重要度



1 由单个基本事件组成的最小割集，该 基本事件的结构重要度最大。 2 仅在同一个最小割集中出现的基本事 件，而在其他最小割集中不再出现，则 所有基本事件的重要度相同。 3 若所有的最小割集的基本事件数目相 等，则在不同的最小割集中出现次数最 多的结构重要度大，出现次数相等者结 构重要度相同。
试求t=100h时各部件的概率重要度、 结构重要度和关键重要度。
X1
M
●
X2
X3
53
（1）概率重要度
其结构函数为：
Φ(X)=1-[(1-X1)(1-X2X3)]
系统故障的概率函数为：
g ( F ( t ) ) 1 [1 F 1 ( t ) ] [1 F 2 ( t ) F 3 ( t ) ]
E [X i (1i , X ) (1 X i ) (0i , X )] Fi(t )h(1i , F (t )) (1 Fi(t ))h(0i , F (t ))

g [F (t )] h(1i , F (t )) h(0 i , F (t )) Fi(t ) 可以看出单元i的概率重要度（Birnbaum） 与单元i的故障度无关
B
式中：
g i (t )
F i (t )
F s (t )
——概率重要度；
——元、部件不可靠度；
——系统不可靠度，
F s (t ) P (T t ) g [ F (t ) ]
例1 独立串联结构

两个独立单元1、2串联，可靠度分别为p1 和p2。假设 p1>p2, 则 于是第一个单元的概率重要度为：
g [ F ( t )] Fi ( t ) g [ F ( t )] Fi ( t ) g [ F {t )] I iCR ( t ) lim g i (t ) Fi ( t ) g [ F ( t )] Fi ( t ) F s (t ) Fi ( t ) 0 Fi ( t )
概率重要度和结构重要度的关系


设每个单元的可靠度为1/2时, 则随机向 量的每一个不同的路径概率为2^(n-1), 即 假定单元之间独立
潜在提高值法

一系统单元i换为一个完美的单元，系统 的可靠度如何提高？ 单元i引起的潜在提 高记为
单元i换成完美单元后可靠度与没换之前的 区别。 为直线的斜率，可以用公式描述如 下：
当我们运用Birnbaum度量法，并联系统最重要的单 元是可靠度最高的单元。要想提高串联系统的可靠 度，我们要提高系统中最强的单元。

根据枢轴分解

这就表明
是
的线性函数
Birnbaum第二种表示法

按照上面的枢轴分解
可见单元i的Birnbaum重要度仅与其他单元 的可靠度有关，而与单元i自己的可靠度无 关，这可以看成是Birnbaum重要度不足之 处。第i个底事件的概率重要度等于该底事 件发生时顶事件发生的概率与它不发生时 顶事件依然发生的概率之差。
例如，某故障树有四个最小割集
G1={X1，X2，X3} G２={X1，X3，X5} G３={X1，X5，X6} G４={X1，X4，X7} 据此判断X2，X4， X6，X7在四个割集中 都只出现一次，所以重要度相同 因为X3，X5均出现2次，重要度相同 X1出现4次，重要度最大 I(1)>I(3)=I(5)>I(2)=I(4)=I(6)=I(7)


4 若故障树的各个最小割集所含基本事 件数目不等，则各基本事件的结构重要 度的大小，可按下列不同情况来确定：


若某几个基本事件在不同割集中重复出现 的次数相等，则在少事件的最小割集中出现 的基本事件结构重要度大，在多事件的最小 割集中出现的结构重要度小。 若遇到在少事件的最小割集中出现次数少 ，而在多事件的最小割集中出现次数多的基 本事件，或错综复杂的情况，可采用下式近 似比较。
g 2 (1 0 0 ) [1 F 1 (1 0 0 ) ] F 3 (1 0 0 ) 0 . 2 3 4 5
g 3 (1 0 0 ) [1 F 1 (1 0 0 ) ] F 2 (1 0 0 ) 0 . 1 6 4
显然，部件1最重要。
55
（2）结构重要度
该系统有三个部件，所以共有 2 3 8 种状态。
g [ F ( t )] F s ( t ) g 3 (t) [1 F1 ( t )] F 2 ( t ) F3 ( t ) F3 ( t )
54
g 1 (1 0 0 ) 1 F 2 (1 0 0 ) F 3 (1 0 0 ) 1 (1 e 0 . 0 0 21 0 0 )(1 e 0 . 0 0 31 0 0 ) 0 . 9 5 3
概率重要度
定义：第i个部件不可靠度的变化引起系统不可
靠度变化的程度。用数学公式表达为
概率重要 度越大的 底事件， 当其发生 的的概率 稍有变化 ，会引起 顶事件的 显著变化 ，可见这 种底事件 很重要。
25
g[F (t )] h[ p(t )] g i(t ) I (i | t ) Fi(t ) p i(t )

例子

某故障树共有5个最小割集
Ｐ1={X1，X3} Ｐ２={X1，X４} Ｐ３={X２，X３，X５} Ｐ４={X２，X4，X５} Ｐ５={X３，X６，X７} Ｘ１在最小割集（基本事件最少）出现２次 Ｘ２在包含３个基本事件的最小割集里出现２次 Ｉ(1)>I(2)=I(5) X3出现３次，Ｘ５出现两次





单元i引起的潜在提高值主要指用以完美 替代后系统可靠度发生的变化。在实际 工程应用中不可能把可靠度提高到1， 假设提高到一个新的水平 ， 可以获 得可信潜在提高值

表示用一可靠度为 后系统的可靠度。
替代
5.4 风险业绩法

已知单元i处于失效状态时系统不可靠的 相对增长率。


故障树角度
第二个单元的概率重要度为
当我们运用Birnbaum度量法，串联系统最重要的单 元是可靠度最低的单元。要想提高串联系统的可靠 度，我们要提高系统中最薄弱的单元。
例1 独立并联结构

两个独立单元1、2并联联，可靠度分别为 p1和p2。假设 p1>p2, 则 于是第一个单元的概率重要度为：
第二个单元的概率重要度为

故障树求出底事件的结构重要度
2. 找出x1=1，正常工作的集合12个，x1=0，工作的 集合5个 3. x1的结构重要度为（12-5)/16
概率重要度分析

概率重要度分析表示第i个事件发生的概 率变化引起顶事件发生概率变化的程度。 由于顶事件发生的概率函数是n个基本事件 发生概率的多重线性函数。 所以对第i个 基本事件发生的概率求一次偏导，即可得 该基本事件的概率重要度系数
例题
考虑单元3的Birnbaum的重要度 3正常工作时： 3不正常工作： 此时

Birnbaum重要度第三种写法

因为
,我们可以写为

因为考虑的是一致系统（单调关联系统）， 则 取值就1和0.因此
这就是说Brinbaum重要度就 单元i是关键路径向量。
就是时刻t时

通过枢轴分解，上式等价为
Fs(t ) g[F (t )] E (X )
可靠性理论
陈 昱
cyu@ 63600565

随着科学技术的发展，系统和设备的复杂程度 越来越高，设计工作不可能一次完成，从而对 系统，部件单元的可靠性分析越来越重要。对 于一个多部件的系统，我们对于设计，改进和 运行等方面会提出很多问题，例如
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关键重要度
其中： I iCR 为关键重要度； 是i元、部件故障引发系统故
F i (t) g i (t)
障的概率，此数值越大表明i元部件引发系统故障 的概率越大。因此，对系统进行检修时应首先检 查关键重要度大的元部件。
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例
故障树如图所示，
顶事件T
已知
1 0 . 0 0 1 / h , 2 0 . 0 0 2 / h , 3 0 . 0 0 3 / h . +
确定系统需要监测的部位
制定系统故障诊断时的核对清单等。
3
基本事件的结构重要度
不考虑基本事件发生的难易程度，或假 设各基本事件发生概率相同，仅从故障树的 结构上研究基本事件对顶事件的影响程度， 称为结构重要度分析。 只考虑当故障树中某个基本事件i的状 态由不发生变为发生，而其余基本事件的状 态保持不变时，顶事件状态也由不发生变为 发生的情况。此时
(1 i , X ) ( 0 i , X ) 1
此时基本事件Xi所对应的的பைடு நூலகம்集叫危险割集