二次函数综合1．（门头沟18期末26）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象如图所示．（1）求二次函数的表达式；（2）函数图象上有两点1(,)P x y ，2(,)Q x y ，且满足12x x <，结合函数图象回答问题；①当3y =时，直接写出21x x -的值；②当213x x -2≤≤，求y 的取值范围.26. （本小题满分7分）（1）选择坐标代入正确 ………………………………………………1分 得出表达式243y x x =-+………………………………………………3分（2）找到位置画出示意图 ① 214x x -=………………………………………………4分②由图象易得当y=0时212x x -=由于该函数图象的对称轴为2x =， 1(,)P x y ，2(,)Q x y ，在对称轴左右两侧对称分布，所以两点到对称轴的距离相等 所以，当213x x -=时即PQ =3 ∴MP = MN －PN =31222-=………………………………………………5分 ∴112x =代入243y x x =-+，解得54y =………………………………………6分 综上所述：504y ≤≤………………………………………7分2．（平谷18期末26）已知函数22y x mx =-的顶点为点D ．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）求函数22y x mx =-的图象与x 轴的交点坐标；（3）若函数22y x mx =-的图象在直线y=m 的上方，求m 的取值范围．26．解：（1）22y x mx =-()22x m m =-- (1)∴D （m ,2m -）． (2)（2）令y =0，得220x mx -=．解得1202x ,x m ==．∴函数的图象与x 轴的交点坐标（0,0）,（2m ,0）． (4)（3）方法一：∵函数22y x mx =-的图象在直线y=m 的上方，∴顶点D 在直线y=m 的上方． ·················································································· 5 ∴2m -＞m ． (6)即2m m +＜0．由y =2m m -的图象可知，m 的取值范围为：﹣1＜m ＜0． (7)方法二：∵函数22y x mx =-的图象在直线y=m 的上方，∴22x mx -＞m ． (5)∴当22x mx -=m 时，抛物线和直线有唯一交点．∴()()2=24m m ∆---=2440m m +=．解得120,1m m ==-． ................................................................................... 6 ∴m 的取值范围为：﹣1＜m ＜0． . (7)3．（丰台18期末26）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++经过点（2，3），对称轴为直线x =1.（1）求抛物线的表达式； （2）如果垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），其中01<x ，02>x ，与y 轴交于点C ，求BC -AC 的值；（3）将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x 轴上，原抛物线上一点P 平移后对应点为点Q ，如果OP =OQ ，直接写出点Q26. 解：（1）1,242 3.b bc ⎧=⎪⎨⎪-++=⎩ ……1分解得2,3.b c =⎧⎨=⎩. ……2分∴322++-=x x y . ……3分（2）如图，设l 与对称轴交于点M ，由抛物线的对称性可得，BM = AM. …… 3分∴BC -AC = BM+MC -AC = AM+MC -AC= AC+CM+MC -AC =2 CM =2. ……5分 其他方法相应给分.（3）点Q 的坐标为（12,2-）或（12,2-）．……7分4．（昌平18期末26）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=mx 2－2mx －3 (m ≠0)与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B 顶点为C 点． （1）求点A 和点B 的坐标； （2）若∠ACB =45°，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，垂直于轴的直线与抛物线交于点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2），与直线AB 交于点N （x 3，y 3），若x 3<x 1<x 2，结合函数的图象，直接写出x 1+x 2+x 3的取值范围为 .26．解：（1）∵抛物线y=mx 2－2mx －3 (m ≠0)与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为,3-（0）；…………………… 1分∵抛物线y=mx 2－2mx －3 (m ≠0)的对称轴为直线1x =，∴点B 的坐标为,0（1）．…………………… 2分（2）∵∠ACB =45°，∴点C 的坐标为,4-（1），…………………… 3分把点C 代入抛物线y=mx 2－2mx －3 得出1m =，∴抛物线的解析式为y=x 2－2x －3． …………………… 4分y（3）123523x x x <++< ……………………6分 5．（朝阳18期末27）已知抛物线l 1与l 2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l 1：2782--=ax ax y 交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），且AB ＝6；抛物线l 2与l 1交于点A 和点C （5，n ）.（1）求抛物线l 1，l 2的表达式；（2）当x 的取值范围是 时，抛物线l 1与l 2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；（3）直线MN ∥y 轴，交x 轴，l 1，l 2分别相交于点P （m ，0），M ，N ，当1≤m ≤7时，求线段MN 的最大值.6．（东城18期末26）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=mx 2﹣2mx+n （m ≠0）与x 轴交于点A, B ，点A 的坐标为（-2,0）． （1）写出抛物线的对称轴；（2）直线n m x y -4-21过点B ，且与抛物线的另一个交点为C ．①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式； ②点P 为抛物线对称轴上的动点，过点P 的两条直线l 1: y=x+a 和l 2 : y=-x+ b 组成图形G .当图形G 与线段BC 有公共点时，直接写出点P 的纵坐标t 的取值范围.7．（海淀18期末26）已知二次函数243y ax ax a =-+．（1）该二次函数图象的对称轴是x = ；（2）若该二次函数的图象开口向下，当14x ≤≤时，y 的最大值是2，求当14x ≤≤时，y 的最小值；（3）若对于该抛物线上的两点11() P x y ， ，22() Q x y ，，当1+1t x t ≤≤，25x ≥时，均满足12y y ≥，请结合图象，直接写出的最大值．26．解：（1）2． ………………1分 （2）∵ 该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线2x =， ∴ 当2x =时，y 取到在14x ≤≤上的最大值为2. ∴ 4832a a a -+=.∴ 2a =-，2286y x x =-+-. ………………3分 ∵ 当12x ≤≤时，y 随x 的增大而增大， ∴ 当1x =时，y 取到在12x ≤≤上的最小值0. ∵ 当24x ≤≤时，y 随x 的增大而减小， ∴ 当4x =时，y 取到在24x ≤≤上的最小值6-.∴ 当14x ≤≤时，y 的最小值为6-. ………………4分 （3）4. ………………6分8．（石景山18期末26）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线n mx x y ++-=2经过点)0,1(-A 和)3,0(B .（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与x 轴的正半轴交于点C ，连接BC ．设抛物线的顶点P 关于直线t y =的对称点为点Q ，若点Q 落在△OBC 的内部，求t 的取值范围．26．（本小题满分7分）解：（1）∵抛物线n mx x y ++-=2过点)01(，-A 和)30(，B . ∴⎩⎨⎧==+--31n n m解得：2=m∴抛物线的表达式为：322++-=x x y …………………………3分 （2）∵抛物线322++-=x x y∴抛物线的顶点)41(，P ，对称轴为直线1=x 令0=y 得：0322=++-x x ，解得：3,121=-=x x∴ 点C 的坐标为)03(，∵直线BC 经过点)30(，B 和C )03(， ∴3+-=x y BC∴直线1=x 与直线BC 的交点为)21(1，M 、与x 轴的交点)01(2，M 如图所示∴2<t <3 ……………………………………………………………7分9．（西城18期末25）已知抛物线G：221=-+-（a为常数）．y x ax a（1）当3a=时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；（2）若记抛物线G的顶点坐标为(,)P p q．①分别用含a的代数式表示p，q；②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在的图象上．A．一次函数B．反比例函数C．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H：22=-+（a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无y x ax N论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式=+（k，b为常数，k≠0）中，k= ，b= ．y kx b10．（西城18期末26）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：2 (0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，且顶点坐标为(0,1)B ．（1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设(,0)F t 为x 轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°得到抛物线1M ． ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为 ；②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．11．（怀柔18期末26）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与直线:相交于点A （,7）.（1）求m 、n 的值；（2）过点A 作AB ∥x 轴交抛物线于点B ，设抛物线与x 轴交于点C 、D (点C 在点D 的左侧)，求△BCD 的面积；3242---=m mx mx y n x y +-=22-（3）点E （t ,0）为x 轴上一个动点，过点E 作平行于y 轴的直线与直线和抛物线分别交于点P 、Q .当点P 在点Q 上方时，求线段PQ 的最大值.26.解：(1)m =1………………………………………………………………………………………1分 n =3………………………………………………………………………………………………2分 (2)由(1)知抛物线表达式为y =x 2-4x -5 令y =0得，x 2-4x -5=0.解得x 1=-1，x 2=5，……………………………………………………………………………3分抛物线y =x 2-4x -5与x 轴得两个交点C 、D 的坐标分别为C (-1，0)，D (5，0) CD =6.∵A (,7)，AB ∥x 轴交抛物线于点B ，根据抛物线的轴对称性，可知B (6，7)………4分 S △BCD =21.……………………………………………………………………………………5分 (3) 据题意，可知P (t ，-2 t +3)，Q ( t ，t 2-4 t -5),由x 2-4x -5=-2x +3得直线y =-2x +3与抛物线y = x 2-4x -5的两个交点坐标分别为(-2,7)和(4,-5) ……………………………………………………………………………………………6分 ∵点P 在点Q 上方∴-2＜t ＜5, PQ = -t 2+2 t +8=-( t -2) 2+9 ∵a =-1PQ 的最大值为9.……………………………………………………………………………7分12．（密云18期末26）已知抛物线:221(0)y mx mx m m =-++≠.（1）求抛物线的顶点坐标.（2）若直线1l 经过（2，0）点且与x 轴垂直，直线2l 经过抛物线的顶点与坐标原点，且1l 与2l 的交点P 在抛物线上.求抛物线的表达式.（3）已知点A （0，2），点A 关于x 轴的对称点为点B.抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象写出m 的取值范围.∴∴2-∴∴∴26. （1）解：将221y mx mx m =-++ 配方得 2(1)1y m x =-+∴ 抛物线的顶点坐标为（1，1）. ………………………..3分 （2）由已知，2l 的表达式为y x =，1l 的表达式为2x = ∴交点(2,2)P代入221y mx mx m =-++，解得1m = . ………………………….5分 （3）当抛物线过（0，2）时，解得1m =结合图象可知，当抛物线开口向上且和线段AB 恰有一个公共点，则 01m <≤当抛物线过（0，-2），解得3m =-结合图象可知，当抛物线开口向下且和线段AB 恰有一个公共点，则 30m -≤<综上所述，m 的取值范围是 01m <≤ 或30m -≤< ………………….7分13．（大兴18期末26）已知一次函数1112=-y x ，二次函数224=-+y x mx （其中m ＞4）． （1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m 的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题：①若5=m ，求当10y >且2y ≤0时，自变量x 的取值范围；②如果满足10y >且2y ≤0时自变量x 的取值范围内有且只有一个整数，直接写出m 的取值范围．26．解：（1）∵224y x mx =-+，∴二次函数图象的顶点坐标为2(,4)24m m -+………………………………………………2分 （2）①当5m =时，2254y x x =-+．…………………………………………………………… 4分 如图, 因为10y >且2y ≤0，由图象,得 2＜x ≤4． ……………………………………………… 5分 ②133≤m ＜5 …………………………………………………7分14．（通州18期末23）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数()0122>+-=a ax ax y 的对称轴为b x =．点()m A ,2-在直线3+-=x y 上.（1）求m ，b 的值； （2）若点()23，D 在二次函数()0122>+-=a ax ax y 上，求a 的值； （3）当二次函数()0122>+-=a ax ax y 与直线3+-=x y 相交于两点时，设左侧的交点为()11,y x P ，若131-<<-x ，求a 的取值范围．15．（燕山18期末27）在平面直 角坐标系 xOy 中，反比例函数k y x=的图象经过点 A (1，4)，B (m ，n )．（1）求反比例函数ky x=的解析式；（2）若二次函数y ＝(x －1)2的图象经过点 B ，求代数式22314m m n mn--+-的值； （3）若反比例函数ky x=的图象与二次函数 y ＝a (x －1)2的图象只有一个交点，且该交点在直线y ＝x 的下方，结合函数图象，求a 的取值范围．27．解：(1)将A(1，4)代入函数y ＝kx ．k=4反比例函数y ＝k x 的解析式是xy 4= ……………………..…………….1′(2)二次函数y ＝(x －1)2的图象经过点 B(m ，n)， ∴n m =-2)1( 即122-=-n m m又B(m ，n)在反比例函数y ＝kx 上，∴mn=4,454)1(4)32(143222-=+---=+---mn n m m mn mn n m m ……………………..…………….4′(3)由反比例函数的解析式为y ＝4x .令y ＝x ，可得x 2＝4，解得x ＝±2.∴反比例函数y ＝4x 的图象与直线y ＝x 交于点(2，2)，(－2，－2)．如图，当二次函数y ＝a(x －1)2的图象经过点(2，2)时，可得a ＝2；当二次函数y ＝a(x －1)2的图象经过点(－2，－2)时，可得a ＝－29.∵二次函数y ＝a(x －1)2图象的顶点为(1，0)，∴由图象可知，符合题意的a 的取值范围是0<a<2或a<－29.……………………..…………….7′16．（顺义18期末28）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线219y x bx =+经过点A （-3，4）． （1）求b 的值；（2）过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点B ，在直线AB 上任取一点P ，作点A 关于直线OP 的对称点C ；①当点C 恰巧落在x 轴时，求直线OP 的表达式； ②连结BC ，求BC 的最小值．28．（1）∵抛物线219y x bx =+经过点A （-3，4） 令x =-3，代入219y x bx =+，则()14939b =⨯+⨯-，∴b =-3．………………………………………………………………………....2分（2）①…………………………………….....3分由对称性可知OA =OC ，AP =CP ， ∵AP ∥OC ，∴∠1=∠2，又∵∠AOP =∠2，∴∠AOP =∠1， ∴AP =AO ， ∵A （-3，4），∴AO =5，∴AP =5， ∴P 1（2，4），同理可得P 2（-8，4），∴O P 的表达式为2y x =或12y x =-． ………………………………….5分（各1分）…………………………………….....6分②以O 为圆心，OA 长为半径作⊙O ，连接BO ，交⊙O 于点C ∵B （12，4），∴OB =， ∴BC 的最小值为5． ………………………….7分。