x'
b
m m
b
a a
y'
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2.3 应变张量的性第质二章 应变状态理论
2 主应变与主应变方向
应变矩阵的特征问题 ij li li
应变张量的特征方程 3 I1 ' 2 I2 ' -I3 ' 0 l12 l22 l32 1
应变张量的不变量
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I1 ' x y ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz
弹塑性力学
第2章 应变状态理第论二章 应变状态理论
本章学习要点：
理解变形体内部任意一点处应变状态的基本概念 掌握计算物体内任一点、任意微分面上的主应变
及应变主方向的计算公式 理解Cauchy方程（几何方程）和Saint Venant方
程（变形协调方程）的物理意义，熟练掌握这两 个基本方程
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u
v
w
uC (u z dz, v z dz, w z dz)
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2.4 体积应变 第二章 应变状态理论
变形后
M、A 、B 、C各点的坐标
(x u, y v, z w)
(x dx u u dx, y v v dx, z w w dx)
x
x
x
(x u u dy, y dy v v dy, z w w dy)
ij eij mij eij
应变球张量：
m 0 0
0
m
0
0 0 m
m
1 3
(1
2
3 )
1 3
( x
y
z)
1 3
I1
'
平均正应变
应变偏张量：
ex
eij eyx
exy ey
exz eyz
x yx
m
xy y m
xz yz
ezx ezy ez zx
w x
xy
1 2
xy
yz
1 2
yz
zx
1 2
zx
ij
1 2 (ui, j
u j,i )
位移分量 应变分量
应变分量 位移分量
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2.3 应变张量的性第质二章 应变状态理论
1 坐标变换规律
z'
坐标系统发生旋转变换时， 同一点的应变张量服从：
i' j' l li'i j' j ij
y
y
y
(x u u dz, y v v dz, z dz w w dz)
z
z
z
M ' A' [(1 u )dx, v dx, w dx] x x x
M ' B ' [u dy, (1 v )dy, w dy]
y
y y
M 'C ' [u dz, v dz, (1 w)dz]
z z
z
2 几何方程（Cauchy方程）
考虑在Oxy平面上投影部分的变形
u u dy y
M点的位移矢量的x和y轴分量：
uM u(x, y, z), vM v(x, y, z)
v v dy y
xy dy
yx
y
x
dx
位移矢量在Oxy平面上的投影
A点的位移：
uA
u(x
dx,
y,
z)
u
u x
dx
vA
v(x
I2
'
x yx
xy y y zy
yz z z xz
zx x
x
y
y z
zx
)
1 4
(
2 xy
2 yz
2 zx
)
x xy xz
I3 ' yx y yz
xz zy z
15
2.3 应变张量的性第质二章 应变状态理论
2 主应变与主应变方向
主应变方向：过物体内任一点总存在3个互相垂直的方向，沿这 3个方向的微分线段在物体发生形状变化后，只是 各自改变了长度，而其相互之间的夹角始终保持 为直角 即：只有正应变分量，剪应变分量为零
表示刚体转动 反对称张量
0
v
1 ( u v ) 1 ( u w)
应 变 张 量
x
yx
zx
xy y zy
xz yz z
x 1 ( v 2 x 1 ( u 2 z
u ) y w ) x
2 y x u
y 1 ( w v ) 2 y z
2 z x
1 2
(
v z
2
2.1 位移场、转动第张二量章与应应变变状态张理量论
1 位移矢量
位移
刚体 位移
变形
物体各点发生位移后，仍保持各点间的 初始相对距离（刚体移动和转动）
物体各点发生位移后，改变了各点间的 初始相对距离（刚体位移和形状变化）
一点的位移矢量： u u(x, y, z)
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u u(x, y, z) v v(x, y, z) 位置坐标的单值连续函数 w w(x, y, z)
wB
w zxdx
zydy
zxdx
zydy
zdz
平动
转动 变形
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2.2 应变张量的物第理二解章释应、变几状态何理方论程
1 应变张量的物理解释
正应变：每一条棱边的相对伸长量 或缩短量
剪应变：两条棱边之间夹角的变化
x
M
'
A ' MA
MA
,
xy
2
A' M
'B'
y
M
' B ' MB MB
体积应变：单位体积的变化
V 'V V
x
y
z
I1 '
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2.5 应变协调方程第二章 应变状态理论
几何方程
x
u x
，
xy
v x
u y
y
v y
，
yz
w y
v z
z
w z
，
zx
u z
w x
位移分量ui 应变分量ij
可唯一确定
应变分量ij 位移分量ui
应变协调方程
数学上：应变分量ij非互不相关， 存在一定联系
wB
w
x
dx
y
dy
z
dz
u u u
x y z
ui, j
v x
v y
v
z
w w w
x y z
因刚体转动产生的相对位移 因变形产生的相对位移
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2.1 位移场、转动第张二量章与应应变变状态张理量论
2 转动张量与应变张量
ui, j
1 2
(ui, j
u j,i )
,
yz
2
C ' M
' B '
微分平行六面体的变形
z
M
'C ' MC MC
, zx
2
C ' M
'
A '
（不考虑变形后的刚体转动）
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2.2 应变张量的物第理二解章释应、变几状态何理方论程
2 几何方程（Cauchy方程）
建立正应变、剪应变与位移分量的关系，明确应变张量的物理性质 考虑小变形
物理上：相互独立的应变分量不能 保证物体的连续性
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2.5 应变协调方程第二章 应变状态理论
应变协调方程 —— 应变分量间的关系
思路：从几何方程中消去所有的位移分量
1 在xy平面内
x
u x
,y
v y
, xy
v x
u y
在yz平面内
y
v y
,z
w z
,
yz
w y
v z
在zx平面内
uB = (uB, vB, wB)
物体内无限邻近两点的位移
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2.1 位移场、转动第张二量章与应应变变状态张理量论
1 位移矢量
B点的位移矢量分量
按Tyler级数展开：
相对位移张量
uB
u
u x
dx
u y
dy
u z
dz
v v v
vB v x dx y dy z dz
w w w
zy
z m
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2.3 应变张量的性第质二章 应变状态理论
3 应变张量的分解
应变偏张量的主值： e1 1 m , e2 2 m , e3 3 m
应 变 偏
J1' ex ey ez e1 e2 e3 0
J2'
1 6
[(
x
y
)2
(
y
z
)2
( z
x
)2 ]
dx,
y,
z)
v
v x
dx
B点的位移：
u uB u(x, y dy, z) u y dy
v vB v(x, y dy, z) v y dy
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2.2 应变张量的物第理二解章释应、变几状态何理方论程
2 几何方程（Cauchy方程）
考虑在Oxy平面上投影部分的变形
u u dy y
m m
a a
b b