第八章 能量原理及其应用弹塑性力学问题实质上是边值问题，即求解满足一定边界条件的偏微分方程组。
然而只有对一些特殊的结构在特定加载条件下才能找到精确解，而对于一般的力学问题，如空间问题，泛定方程为含有15个未知量的6个偏微分方程，在给定边界条件时．求解是极其困难的，而且往往足小对能的。
因此，为了解决具体的工程结构力学问题，目前都广泛应用数值方法，如有限元法、无限元法、边界元法、无网格化法及样条元法等等。
这些解法的依据都是能量原理。
本章将讨论利用能量原理和极值原理求解弹塑性力学问题的近似解法。
本章共讨论五个能量原理。
首先是虚位移原理，由虚位移原理推导出最小势能原理，其次介绍虚应力原理，和由虚应力原理推导出最小余能原理。
另外，还简单介绍最大耗散能原理。
本章还讲述了根据上述的能量原理建立的有关弹性力学问题的数值解法。
8.1 基本概念1.1 物体变形的热力学过程由第四章知，物体在外界因素影响下的变形过程，严格来说都是一个热力学过程。
因此研究物体的状态，不仅要知道物体的变形状态，而且还要知道物体中每一点的温度。
如果物体在变形过程中，各点的温度与其周围介质的温度保持平衡，则称这一过程为等温过程；若在变形过程中，物体的温度没有改变，即既没有热量损失也没有热量增加，则称这一过程为绝热过程。
物体的瞬态高频振动，高速变形过程都可视为绝热过程。
令物体在变形过程中的动能为E ，应变能为U ，则在微小的t δ时间间隔内，物体从一种状态过渡到另一种状态时，根据热力学第一定律，总能量的变化为 Q W U E δδδδ+=+ (a) 其中，W δ为作用于物体上的体力和面力所完成的功；Q δ是物体由其周围介质所吸收(或向外发散)的热量，并以等量的功度量。
假定弹性变形过程是绝热的，则对于静力平衡问题有00==Q ，E δδ (b)将式(b)代入式(a)，则有W U δδ= (8.1-1)1.2 应变能由第四章的式(4.1-5b)知，在线弹性情况下，单位体积的应变能为ik ij ij ij ij d U εσεσε2100==⎰ (8.1-2)对于一维应力状态，在x x εσ-平面内，则0U 实际上就是应力应变曲线与x ε轴和'x x εε=所围成的面积(图8.1)，即⎰='0Xx x d U εεσ (8.1-3)其中'x ε是物体变形过程某一指定时刻的应变，应 图8.1 应变能与应变余能 变能0U 表示物体在变形过程中所储存的能量。
1.3 应变余能在图8.1中, 如果令'0U 表示应力应变曲线与x σ轴和'x x σσ=所围成的面积，即⎰=''xx x d U σσε (8.1-4)式中'x σ是物体变形过程某一指定时刻的应力。
称'0U 为单位体积的应变余能，简称余能，有时又称其为应力能。
由于'x σ和'x ε是物体变形过程中同一时刻的应力和应变，因此有'00''U U x x +=εσ由此可见，0U 与'0U 互补或互余对方为''x x εσ矩形的面积。
显然，在线弹性情况下有'00U U =，即余能与应变能在数值上相等。
尽管应变余能不像应变能那样具有明确的物理意义，但引入应变余能这一概念后，使讨论问题的范围扩大了。
8.2 虚位移原理与最小势能原理2.1 虚位移原理设有变形体在外力作用下处于平衡状态。
此处，外为包括体力分量X ，Y ，Z 及一部分表面的面力分量X ，Y ，Z 。
假如有一组位移分量u ，v ，w 既能满足用位移表示的平衡方程，又能满足位移边界条件以及用位移分量表示的应力边界条件。
现在设想在变形体几何约束所允许的条件下，给它一个任意的微小变化，即所谓虚位移或位移变分u δ，v δ，w δ，得到一组新的位移 w w w v v v u u u δδδ+=+=+=''',,(a)下面考察能量发生了什么变化。
这时，外力在虚位移上所做的功(称为虚功)为dS w Z v Y u X dV w Z v Y u X W S V⎰⎰⎰⎰⎰+++++=σδδδδδδδ)()( (8.2-1a)或dS u F dV u f W i S i i Vi δδδσ⎰⎰⎰⎰⎰+= (8.2-1b)式中，V 为变形体的全部体积，S 为变形体的全部表面积，其中给定外力的表面记为σS ，给定位移的表面记为露u S 。
但面积分仅对给定面力的那一部分表面进行，对于给定位移的那一部分表面，因无虚位移，故不必考虑。
应该指出，这里所说的虚位移—般并不是由实际外力所引起的，而是由其他因素所引起，或者是为了分析问题而假想的。
虚位移发生时，约束反力是不作功的，这是因为在约束力方向不可能产生位移。
物体产生虚位移的过程中，物体必然产生微小的虚变形，因此在变形体中就产生虚应变能，即⎰⎰⎰+++++=Vzx zx yz yz xy xy z z y y x x dV U )(δγτδγτδγτδεσδεσδεσδ (8.2-2a)或写为⎰⎰⎰=Vij ij dV U δεσδ (8.2-2b)假定变形体在虚位移的过程中，并没有温度和速度的改变，因而也就没有热能和动能的改变。
则按照能量守恒定律或热力学第一定律，应变能在虚位移上的增量U δ，应当等于外力在虚位移所做的虚功，于是有⎰⎰⎰+++++Vzx zx yz yz xy xy z z y y x xdV )(δγτδγτδγτδεσδεσδεσdS w Z v Y u X dV w Z v Y u X S V⎰⎰⎰⎰⎰+++++=σδδδδδδ)()( (8.2-3)式(8.2-3)即为虚位移原理的位移变分方程，也称为拉格朗日(Lagrange)变分方程，有时也称为虚功方程。
因此，虚位移原理可叙述为：在外力作用下处于平衡状态的可变形体，当给予物体微小虚位移时，外力在虚位移上所做虚功等于物体的虚应变能。
现详细证明如下：若在虚位移原理的变分方程(8.2-3)中，因给定位移的部分表面u S 上0=i u δ，而在给定面力的部分表面σS 上，边界条件i j ij F n =σ成立。
则式(8.2-3)中右边对σS 的积分可以写为对整个物体表面S 的积分，即有⎰⎰⎰⎰+=+=Si j ij i Vi i S i i Vi dS u n dV u f dS u F dV u f W δσδδδδσ(8.2-4)运用高斯散度定理，将上式对体积积分化为面积分，有dS wn vm ul dV z w y v x u S z y x V z y x ⎰⎰⎰⎰⎰++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂)()()()(δσδσδσδσδσδσ (8.2-5) 其中n m l ,,为外边界法线方向单位矢量ｎ的方向余弦，即,cos(x l =ｎ)， ,cos(y m =ｎ)， ,cos(z n =ｎ)注意到⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂S x V x V V x x udS l dV x u udV x dV x u δσδσδσδσ)()( 以及⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂S xy V xy xy V xy dS u m v l dV u y v x dV u y v x )(δδτδτδτδδτ 其余的类似，因此由以上两式可得⎰⎰=Si j ij j Vi ij dS u n dV u δσδσ,)( (8.2-6)式中n m l n j ,,=。
将式(8.2-6)代入式(8.2-4)，有⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=++=+=Vj i ij i Vi j ij Vj i ij i j ij i V i j Vi ij i Vi dVu dV u f dV u u dV u f dVu dV u f W ,),(),,(,)(δσδσδσδσδδσδδ (b)当物体处于平衡状态时，因为0,=+i j ij f σ所以式(b)中笫一项积分为零。
又因),,(21,i j j i ij ji ij u u δδδεσσ+==所以有ij ij j i ij u δεσδσ=,于是由式(b)得⎰=Vij ij dV W δεσδ将上式与式(8.2-2b)比较可知，有U W δδ=以上证明说明，当给予系统微小虚位移时，外力所作虚功与物体的虚应变能相等是物体处于平衡状态的必要条件。
另外，由应变位移关系以及先变分后微分与先微分后变分等价可知⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=ΛΛ),()()(),(u y v x x v y u u x x u xyx δδδδγδδδε (c) 将式(c)代入(8.2-2a)，经分部积分和利用格林公式，可得到如同下列形式的三个关系式⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂-=∂∂-∂∂=∂∂=V xS x V x x V V xVx x udVxudS l dV xu dV u x dV u x dV δσδσσδδσδσδεσ)()()( (d)以及下列形式的三个关系式dVu y v x dS u m v l dV u y v x dV V xyxy S xy V V xy xy xy ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂+∂∂-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=)()()()()(δτδτδδτδδτδγτ (e)将式(d)、(e) 所表示构六个关系式代人(8.2-2)式，则得[]dVw z y x vzy x u z y x dS w n m l v n m l u n m l dVU z zy zx yz y yx xzxy x V Sz zy zx yz y yx xz xy x Vzx zx yz yz xy xy z z y y x x ])()()([)()()()(δσττδτστδττσδσττδτστδττσδγτδγτδγτδεσδεσδεσδ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-++++++++=+++++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (f)将式(f)代入式(8.2-3)，并加以整理，得])()()[(])()()[(=-+++-+++-++-+∂∂+∂∂+∂∂++∂∂+∂∂+∂∂++∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰dS w Z n m l v Y n m l u X n m l dV w Z zy z vY z y x u X z y x z zy zx yz y yx S xz xy x z zy zx V yz y yx xzxy x δσττδτστδττσδσττδτστδττσ因为虚位移w v u δδδ,,各自独立，而且是完全任意的，因此上列积分式中括弧内的系数均等于零，这样我们得到三个平衡方程和三个静力边界条件。