SARS 的传播分析模型摘要SARS 疫情的爆发给我国国民经济发展和日常生活秩序都产生了严重的影响。

尽早的控制疫情蔓延，科学准确的预测疫情的发展趋势以指导疫情处理措施的安排，稳定群众心理都有重要的实际意义。

文中对2003年SARS 的相关统计数据进行分析处理，根据疫情高峰前期感染人数增长率0>r 和后期0<r 两种情况分别建立模型，同时对有关SARS 疫情的相关数据进行拟合，分别得出两个阶段的疫情发展趋势曲线方程66.10835.1311962.22++-=t t x 和5.2165363.57+-=t x ，对疫情的趋势进行了清晰的描述，并对疫情发展的相关数据进行预测，如假设政府推迟α天采取隔离等疫情防治措施，受感染的人数将为： 66.108)(35.131)(1962.22++⋅++⋅-ααt t ；比实际增加：αα⋅+⋅++⋅-35.1311962.2)(1962.222t t ；而如果提前α天进行隔离处理，受感染人数将相应减少：αα⋅+-⋅+⋅-35.131)(1962.21962.222t t ；通过对相应模型的分析可以看出在疫情时期，早发现早汇报，早隔离早治疗能很好的阻滞疫情的蔓延，减少感染人群的基数，缩短疫情周期；然而推迟对发病情况的处理则会加速疫情发展，延长疫情时间。

第三问的模型及其求解利用了灰色预测模型以及函数拟合模型对北京旅游业受到SARS 的影响度进行预测。

利用灰色预测模型对2003年2月至8月间没有SARS 的情况下旅游人数进行预测，并通过与实际旅游人数的统计值进行比较，得出这7个月间旅游人数减少了71.145万人。

对于8月后期，由于SARS 疫情有所减轻，旅游人数开始逐渐回升，这种情况下采用函数拟合模型对旅游人数进行预测，并求出每个月对应的恢复系数ρ，得出实际值比预测值减少0344.17万人。

综合以上分析得出，SARS 期间，北京因此减少的外来旅游人数共162.7444万人。

关键词：SARS 发展预测 灰色预测 函数拟合 多项式拟合一、问题重述SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。

SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。

题目要求我们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。

（2）建立自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，以及这样做会遇到的困难，并对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。

附件2提供的数据供参考。

（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。

附件3提供的数据供参考。

二、问题分析2003年SARS疫情的爆发给我国带来了非常严重的影响，国民经济发展和日常生活秩序都产生了一定的波动。

科学准确的预测疫情的发展趋势对于政府安排疫情处理措施，稳定群众心理都有重要的实际意义。

文中已给出一个疫情初始阶段的预测分析模型，即malthus模型，并要求分析其合理性和适用性。

在对该模型进行分析之前必须要了解其适用的范围和要求，之后再结合SARS发展的不同阶段对模型进行分析检验，得出对模型的评价和改进意见。

在问题1的基础之上建立新的模型，为了更准确合理，模型中需要考虑更多的实际因素并作为模型的变量来处理。

材料中给出了SARS疫情的相关数据，为了更好的对疫情进行预测，建立合适的模型，首先需要对数据进行分析并挖掘出其中的隐含信息，在此基础上建立的模型才能有更高的准确率和可信度。

针对问题3，对经济某方面影响，题中给了对外来旅游人数的影响，故可选择该项作为SARS对经济的影响方面来研究。

考察附件给出的数据，有1997年1月到2003年8月的北京市外来旅游人口数，经过分析，我们得知大概在2004年1月的时候恢复到正常水平。

所以我们只需要计算从2003年2月开始到2004年1月预测北京市外来旅游人口数与在SARS影响下的真实数据之间的差值即为该方面的损失。

具体思路是：首先利用灰色预测模型，对给出的数据，通过MATLAB编程的方法求出预测数据。

然后选取2003年2月到2004年1月之间的数据作为研究对象，由于材料中给出了2到8月分的数据了，此时分为两部分计算，一部分2003年2月到8月预测值与真实值的差，另一部通过函数拟合模型预测2003年9月到2004年1月的实际值，然后用灰色预测模型的数值与其相减得到这期间的损失。

两部分损失加起来即为在SARS 影响期间外来旅游人口损失值。

三、模型假设1、疫区人口稳定，即不考虑出生、死亡、迁入、迁出及其他因素引起的情况；2、每个人具有相同的传染期，并在传染期内不会死亡；3、在此模型中所涉及到的时间t 均以天为计量单位；4、确诊病人被隔离后不再具有传染性；5、确诊病人死亡的原因均认为由SARS 造成；6、病人经治愈后具有长期免疫力。

四、符号说明1、r ：传染率；2、x ：累积病人数；3、t ： 时间；4、σ：均方差；5、α：推迟隔离处理的天数6、i x ：实际值；7、i xˆ：理论（预测）值； 8、i S ：减少的旅游人数； 9、i ρ：旅游人数恢复率。

五、模型建立5.1 问题1的求解 5.1.1 模型一中参数K ：平均每病人每天可传染的人数（K 一般为小数）， L ：平均每个病人可以直接感染他人的时间（单位：天）， t ：时间 (单位天)，0N ：初始时刻的病例数。

5.1.2 模型一的建立()t K N t N )1(0+⋅=该模型表示时间t 时的传染病人数与人口基数0N 、每个病人每天可传染人数K 以及时间t 的关系。

5.1.3 模型一的分析通过对该模型表示的意义及其形式可以确定为malthus模型。

malthus模型用来模拟种群生长规律、肿瘤生长以及传染病发展趋势具有较好的效果。

但是这是建立在研究对象发展初期而言，当发展到一定阶段后，由于环境等因素变化，如果继续用该模型，得出的结果将越来越偏离实际。

从问题一中的模型建立过程可以看出，模型考虑到了一些具体实际，如根据传染病人在被发现前后对外界造成直接传染的期限值，在此期限后他失去传染作用，把到达L天的病人从可以引发直接传染的基数中去掉，即减少传染病人基数。

另外，模型还考虑了感染者在传染病发展的不同阶段其传染他人的平均概率K 会发生变化，即从开始至到高峰期间均采用同样的K值，高峰期后10天范围内对K值进行调整，最后将其保持不变。

模型中K的值应该是变动的，为了达到较好的效果，K值随着时间的推进而产生变化。

模型一建立后还通过利用给出的数据进行了计算结果的检测分析。

以香港的疫情计算分析为例，从2月15日第一例病例到3月17日开始公布正式数据，再到4月1日进入高峰期，估计出香港疫情从开始到高峰期大约经过45天，从高峰期回落到1/10以下大约要40天，再到基本结束疫情还要近一个月的时间。

模型得出的疫情发展趋势为有关部门应对疫情发展的不同阶段提供了依据和参考标准，有利于更好更及时的应对疫情，采取有力措施阻止疫情继续蔓延。

同时模型对疫情结束时间的预测也为稳定群众的心理起到了一定的作用。

然而模型仍存在一些缺陷，如模型没有考虑治愈之后不再感染患病或者不愈死亡的病人数量对总基数的影响；另外就是对K值和L值的选择不是非常的科学和符合实际。

事实上K值，即每个病人每天与健康人的接触率，是随着疫情的不断发展以及人们对疫情认知程度的不断加深而不断变化的，它的取值应该要更合理的衡量确定，L值表示传染病人在被发现前后对外界造成直接传染的期限值，它和K值一样在疫情的不同阶段会有很大的变化，特别是疫情初期到疫情高峰期的差异更明显。

通过以上分析，该模型适合在短时间内K值和L值变化不大的情况下对传染病人数进行预测分析，对于长期的预测则要通过更加复杂的模型进行解决。

5.2 问题2的求解问题二要求建立较问题一中模型更佳的模型，为此进行如下分析解决过程：材料中给出了不同时间累积病人数、治愈人数等相关信息，为了更好的发现数据之间的关系，在建立模型之前首先要对数据进行分析。

观察附件二的数据，可得出一组实际累积病例数，数据随时间变化如下：由图可知，在5月15日以及5月16日两天实际累计病人数达到最大，之后便逐渐减少。

进一步分析得出：在5月15日之前，传染率0r；在5月15日>之后，传染率0r。

通过以上分析，所以我们可以将时间分为两个阶段，并分<别建立以下两个模型对问题进行分析。

图一：累积病人数与时间的关系5.2.1 模型一：抛物线模型将4月20日到5月15日的实际累计病人数的数据，进行Excel 多项式拟合分析，所得结果如下图例二：图二：4月20日至5月15日累计病人数得到表达式为：66.10835.1311962.22++-=t t x 同时得到2R 值为0.9959，通过拟合得到的2R 值很接近1，因此模型一拟合的准确率较高，效果也较接近现实数据。

另外再对模型结果进行分析。

通过均方差计算公式：()25ˆ26121∑=-=i i ixxσ（其中是i x ˆ理论病例数，i x 是实际病例数）可得36.012121=σ。

通过该模型得到结果的均方差较小，再次说明模型的预测值与实际数据之间有较高的吻合度。

同时，利用得到的感染病人与时间的增长关系，可以得出，如果推迟α天采取隔离措施，受感染的人数将为： 66.108)(35.131)(1962.22++⋅++⋅-ααt t ；比实际增加：αα⋅+⋅++⋅-35.1311962.2)(1962.222t t 。

如果提前α天进行隔离处理，受感染人数将相应减少：αα⋅+-⋅+⋅-35.131)(1962.21962.222t t ；5.2.2 模型二：线性回归模型模型二是针对传染率0<r 建立的。

从所给数据及其与时间的关系可以看出，从5月16日开始，记5月16日为0=t 时刻，之后实际病例开始减少。

分析实际病例与时间的关系，发现病例数呈直线下降趋势。

故用一次线性方程进行拟合。

得到的结果如下图例三：图例三：5月16日之后累计病人数拟合后可得表达式为：5.2165363.57+-=t x同时得到991.02=R ，同样，得到的2R 值比较接近1，说明模型二的拟合准确率和数据拟合度都比较高。

再对模型二得出的结果进行方差分析，得到均方差46392.622=σ。