专题五 高考中的圆锥曲线问题
1． 已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2
9
＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |
＝_______.
2． 设AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，则|AB |的最小值为 ( )
A.p
2 B ．p C ．2p D ．无法确定
3． 若双曲线x 2a 2－y 2
3
＝1的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为
( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．6
4． 在抛物线y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是
( ) A ．(－2,1) B ．(1,2) C ．(2,1) D ．(－1,2)
5． 设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A 、B 两点，则OA →·OB →
等于( )
A.34 B ．－34 C ．3 D ．－3
题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题
例
1
(浙江改编)如图所示，在直角坐标系xOy 中，点P (1，1
2
)
到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为5
4
.点M (t,1)是C 上的
定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点Q (m ，n )在直线 OM 上．
(1)求曲线C 的方程及t 的值；
(2)记d ＝|AB |
1＋4m 2
，求d 的最大值．
思维升华 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
已知点A (－1,0)，B (1,0)，动点M 的轨迹曲线C 满足
∠AMB ＝2θ，|AM →
|·|
BM →
|cos 2θ＝3，过点B 的直线交曲线C 于P ，Q 两点．
(1)求|AM →|＋|BM →
|的值，并写出曲线C 的方程； (2)求△APQ 面积的最大值．
题型二 圆锥曲线中的定点、定值问题
例
2(福建)如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，证明：以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．
思维升华求定点及定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
(江西)椭圆C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的离心率e＝
3
2，a
＋b＝3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，A、B、D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，
直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2m－k为定值．
题型三圆锥曲线中的探索性问题
例3(广东)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的离心率e＝
2
3，且椭圆C上的点到点
Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程．
(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、
B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
思维升华(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．
已知椭圆C 1、抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中
心和C 2的顶点均为原点O
(1)求C 1，C 2的标准方程；
(2)是否存在直线l 满足条件：①过C 2的焦点F ；②与C 1交于不同的两点M ，N ，且满足OM →⊥ON →
？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
题型四 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
例4
(浙江)
如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2
a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0) 的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，
l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .
(1)求椭圆C 1的方程；
(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．
思维升华 对直线、圆及圆锥曲线的交汇问题，要认真审题，学会将问题拆分成基本问题，然后综合利用数形结合思想、化归与转化思想、方程的思想等来解决问题，这样可以渐渐增强自己解决综合问题的能力．
(重庆) 如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，
离心率e＝
2
2，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A′两点，|AA′|＝4.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P′，过P，P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P′Q，求圆Q的标准方程．
高分演练
1． 已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，
求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．l 不存在．
2. 如图，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3
2
，x 轴被曲
线C 2：y ＝x 2－b 截得的线段长等于C 1的长半轴长． (1)求C 1，C 2的方程；
(2)设C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A ，B ，两直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E . ①证明：MD ⊥ME ；
②记△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1，S 2.问：是否存在直线l ，使得S 1S 2＝17
32
？请说明理由．
3． 如图，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)交于
A 、
B 两点，O 为坐标原点，OA →＋OB →
＝(－4，－12)． (1)求直线l 的方程和抛物线C 的方程；
(2)若抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．
4. 如图，椭圆长轴的端点为A ，B ，O 为椭圆的中心，F 为椭圆
的右焦点，且AF →·FB →＝1，|OF →|＝1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使
点F 恰为△PQM 的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
5． 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 2
5
＝1的左，右顶点分别为A ，B ，右焦点为F .设过点T (t ，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m >0，y 1>0，y 2<0.
(1)设动点P 满足：|PF |2－|PB |2＝4，求点P 的轨迹；
(2)设x 1＝2，x 2＝13
，求点T 的坐标； (3)设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)．
6． (上海)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.
(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积．
(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ .
(3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．。