七年级数学竞赛系列讲座(15)容斥原理一、一、知识要点1、容斥原理在计数时，常常遇到这样的情况，作合并运算时会把重复的部分多算，需要减去；作排除运算时会把重复部分多减，需要加上，这就是容斥原理。

它的基本形式是： 记A 、B 是两个集合，属于集合A 的东西有A 个，属于集合B 的东西有B 个，既属于集合A 又属于集合B 的东西记为B A ，有B A 个；属于集合A 或属于集合B 的东西记为B A ，有B A 个，则有：B A =A +B -BA 容斥原理可以用一个直观的图形来解释。

如图，左圆表示集合A ，右圆表示集合B ，两圆的公共部分表示B A ，两圆合起来的部分表示B A ， 由图可知：B A =A +B -B A容斥原理又被称作包含排除原理或逐步淘汰原则。

二、二、例题精讲例1 在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数有多少个？分析：根据容斥原理，应是200减去能被2整除的整数个数，减去能被3整除的整数个数，还要加上既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数。

解：在1到200的整数中，能被2整除的整数个数为：2⨯1，2⨯2，…，2⨯100，共100个；在1到200的整数中，能被3整除的整数个数为：3⨯1，3⨯2，…，3⨯66，共66个； 在1到200的整数中，既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数为： 6⨯1，6⨯2，…，6⨯33，共33个；所以，在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数个数为：200-100-66+33=67(个)例2 求1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S 。

解：1到100的自然数中，所有自然数的和是：1+2+3+…+100=50501到100的自然数中，所有2的倍数的自然数和是：2⨯1+2⨯2+…+2⨯50=2⨯(1+2+3+…+50)= 2⨯1275=25501到100的自然数中，所有3的倍数的自然数和是：3⨯1+3⨯2+…+3⨯33=3⨯(1+2+3+…+33)= 3⨯561=16831到100的自然数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是6的倍数的自然数和是：6⨯1+6⨯2+…+6⨯16=6⨯(1+2+3+…+16)= 6⨯136=816所以，1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S=5050-2550-1683+816=1633例3求不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数。

分析：如图，用3个圆A 、B 、C 分别表示不大于500而能被2、3、5整除的自然数， B A 表示既能被2整除又能被3整除的自然数C A 表示既能被2整除又能被5整除的自然数C B 表示既能被3整除又能被5整除的自然数C B A 表示既能被2整除又能被3整除，还能被5整除的自然数由图可看出：属于A 、B 、C 之一的数的个数为： A +B +C -(B A +C A +C B )+C B A解：不大于500且能被2整除的自然数的个数是：250不大于500且能被3整除的自然数的个数是：166不大于500且能被5整除的自然数的个数是：100不大于500既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的自然数的个数是：83不大于500既能被2整除又能被5整除，即能被10整除的自然数的个数是：50不大于500既能被3整除又能被5整除，即能被15整除的自然数的个数是：33不大于500既能被2整除又能被3整除，还能被5整除，即能被30整除的自然数的个数是：16由容斥原理得：不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数是：250+166+100-(83+50+33)+16=366例4 求前200个正整数中，所有非2、非3、非5的倍数的数之和。

解：前200个正整数的和是：1+2+3+…+200=20100前200个正整数中，所有2的倍数的正整数和是：2⨯1+2⨯2+…+2⨯100=2⨯(1+2+3+…+100)= 2⨯5050=10100前200个正整数中，所有3的倍数的正整数和是：3⨯1+3⨯2+…+3⨯66=3⨯(1+2+3+…+66)= 6633前200个正整数中，所有5的倍数的正整数和是：5⨯1+5⨯2+…+5⨯40=5⨯(1+2+3+…+40)= 4100前200个正整数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是6的倍数的正整数和是：6⨯1+6⨯2+…+6⨯33=6⨯(1+2+3+…+33)= 3366前200个正整数中，所有既是2的倍数又是5的倍数，即是10的倍数的正整数和是：10⨯1+10⨯2+…+10⨯33=10⨯(1+2+3+…+20)= 2100前200个正整数中，所有既是3的倍数又是5的倍数，即是15的倍数的正整数和是：15⨯1+15⨯2+…+15⨯13=15⨯(1+2+3+…+13)= 1365前200个正整数中，所有既是2的倍数又是3的倍数还是5的倍数，即是30的倍数的正整数和是：30⨯1+30⨯2+…+30⨯6=30⨯(1+2+3+4+5+6)= 630所以，前200个正整数中，所有非2、非3、非5的倍数的数之和是AB CS=20100-(10100+6633+4100)+(3366+2100+1365)-630=630例5 某班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人求这个班的学生数。

(第三届华杯赛复赛试题)解：有4名学生在这三个项目都没有达到优秀，在每个单项上达到优秀的人数分别是17、18、15，因而，总人数是17+18+15+4=54。

但其中有人获得两项优秀，所以上面的计数产生了重复，重复人数应当减去，即总人数变为：54-6-6-5=37又考虑到获得三项优秀的人，他们一开始被重复计算了三次，但在后来又被重复减去了三次，所以最后还要将他们加进去。

即这个班学生数为：37+2=39。

例6 从1到1000000这一百万个自然数中，能被11整除而不能被13整除的数多还是能被13整除而不能被11整除的数多？(第20届全俄九年级试题)解：设1到1000000这一百万个自然数中，能被11整除而不能被13整除的数有m个，能被13整除而不能被11整除的数有n个，既能被11又能被13整除的数有p个。

而在1到1000000这一百万个自然数中，能被11整除数有90909个，∴m+p=90909 在1到1000000这一百万个自然数中，能被13整除数有76923个，∴n+p=76923 ∴m+p> n+p ∴m>n，即能被11整除而不能被13整除的数比能被13整除而不能被11整除的数多。

例7 50名学生面向老师站成一行，老师先让大家从左到右按1，2，3，…依次报数，再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数同学向后转，问此时还有多少同学面向老师？(1995年华杯赛试题)分析：首先没有转的同学仍面向老师，即报数既不是4的倍数，也不是6的倍数的同学仍面向老师，其次，报数既是4的倍数，也是6的倍数，即是12的倍数同学连续转了两次，仍面向老师。

解：报数是4的倍数的同学有12个，报数是6的倍数的同学有8个，报数是12的倍数的同学有4个，所以根据容斥原理得：报数既不是4的倍数，也不是6的倍数的同学有50-12-8+4=34个。

报数既是4的倍数，也是6的倍数，即是12的倍数同学有4个。

所以此时还应有34+4=38个同学面向老师。

评注：若将同学数50改成n，问此时还有多少同学面向老师？可以得出一个一般的结论：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12264nnnn例8 已知某校共有学生900名，其中男生528人，高中学生312人，团员670人，高中男生192人，男团员336人，高中团员247人，高中男团员175人，试问这些数据统计有无错误？解：用I表示全校学生，A表示该校男生，B表示该校高中学生，C表示团员，则有：I=900，A=528，B=312，C=670，且BA=192，CA=336，CB=247，CBA=175这样，初中女生的非团员数是：I -A-B-C+BA+CA+CB-CBA=900-528-312-670+192+336+247-175= -10<0因人数做到负数，所以数据统计有错误。

例9 从自然数序列：1，2，3，4，…中依次划去3的倍数和4的倍数，但其中5的倍数均保留。

划完后剩下的数依次组成一个新的序列：1，2，5，7，…求该序列中第2002个数。

分析：因为3，4，5的最小公倍数是60，所以可将自然数序列：1，2，3，4，…以60的倍数来分段，先考虑1到60的整数，其中3的倍数有20个，4的倍数有15个，既是3的倍数又是4的倍数的数有5个，则划去3的倍数和4的倍数还剩60-20-15+5=30个，又还要保留其中的5的倍数6个，这样还剩36个，即1到60的整数中，划完后剩下36个，由此推得，每60个一段中，划完后剩下36个。

因2002=36⨯55+22，说明2002是56段中的第22个数。

解：先考虑1到60的整数在1到60的整数中，3的倍数有20个，4的倍数有15个，既是3的倍数又是4的倍数的数有5个，所以划去3的倍数和4的倍数还剩60-20-15+5=30个。

又因为其中5的倍数有6个，需要保留，所以划完后剩下30+6=36个因为3，4，5的最小公倍数是60，所以每60个整数一段中，划完后均剩下36个。

因为2002=36⨯55+22，所以第2002个数是56段中的第22个数。

因为第一段中的第22个数是37，所以该序列中第2002个数是55⨯60+37=3337。

三、三、巩固练习选择题1、在1到40这四十个自然数中选一些数组成数集，使其中任何一个数不是另一个数的2倍，则这个数集最多有( )个数。

A、20B、26C、30D、402、甲、乙、丙、丁四人排成一排照相，甲不排在首位，丁不排在末位，有( )种不同的排法。

A、14B、13C、12D、113、从1到1000中，能被2，3，5之一整除的整数有( )个A、767B、734C、701D、6984、从1到200中，能被7整除但不能被14整除的整数有( )个A、12B、13C、14D、155、A、B、C是面积分别为150、170、230的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起的覆盖面积是350，且A与B、B与C、A与C的公共部分面积分别是100、70、90。

则A、B、C的公共部分面积是( )A、12B、13C、60D、156、50束鲜花中，有16束插放着月季花，有15束插放着马蹄莲，有21束插放着白兰花，有7束中既有月季花又有马蹄莲，有8束中既有马蹄莲又有白兰花，有10束中既有月季花又有白兰花，还有5束鲜花中，月季花、马蹄莲、白兰花都有。