《自动控制理论 （夏德钤）》习题答案详解第二章2-1 试求图2-T-1所示RC 网络的传递函数。

(a)11111111+=+⋅=Cs R R CsR Cs R z ，22R z =，则传递函数为： (b) 设流过1C 、2C 的电流分别为1I 、2I ，根据电路图列出电压方程： 并且有联立三式可消去)(1s I 与)(2s I ，则传递函数为：2-2 假设图2-T-2的运算放大器均为理想放大器，试写出以i u 为输入，o u 为输出的传递函数。

(a)由运算放大器虚短、虚断特性可知：dtduC dt du C R u i i 0+-=，0u u u i c -=， 对上式进行拉氏变换得到 故传递函数为(b)由运放虚短、虚断特性有：022=-+--R u R u u dt du Cc c i c ，0210=+R u R u c ，联立两式消去c u 得到 对该式进行拉氏变换得 故此传递函数为 (c)02/2/110=+-+R u R u u dt du Cc c c ，且21R uR u c i -=，联立两式可消去c u 得到 对该式进行拉氏变换得到 故此传递函数为2-3 试求图2-T-3中以电枢电压a u 为输入量，以电动机的转角θ为输出量的微分方程式和传递函数。

解：设激磁磁通f f i K =φ恒定2-4 一位置随动系统的原理图如图2-T-4所示。

电动机通过传动链带动负载及电位器的滑动触点一起移动，用电位器检测负载运动的位移，图中以c 表示电位器滑动触点的位置。

另一电位器用来给定负载运动的位移，此电位器的滑动触点的位置（图中以r 表示）即为该随动系统的参考输入。

两电位器滑动触点间的电压差e u 即是无惯性放大器（放大系数为a K ）的输入，放大器向直流电动机M 供电，电枢电压为u ，电流为I 。

电动机的角位移为θ。

解：()()()φφφπφm A m e a a a a m A C K s C C f R i s J R f L i Js iL C K s R s C +⎪⎭⎫⎝⎛++++=260232-5 图2-T-5所示电路中，二极管是一个非线性元件，其电流d i 与d u 间的关系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=-110026.06du d e i 。

假设电路中的Ω=310R ，静态工作点V u 39.20=，A i 301019.2-⨯=。

试求在工作点),(00i u 附近)(d d u f i =的线性化方程。

解：()2.0084.01019.23-=⨯--d d u i2-6 试写出图2-T-6所示系统的微分方程，并根据力—电压的相似量画出相似电路。

解：分别对物块1m 、2m 受力分析可列出如下方程： 代入dt dy v 11=、dtdy v 22=得 2-7 图2-T-7为插了一个温度计的槽。

槽内温度为i θ，温度计显示温度为θ。

试求传递函数)()(s s i ΘΘ（考虑温度计有贮存热的热容C 和限制热流的热阻R ）。

解：根据能量守恒定律可列出如下方程： 对上式进行拉氏变换得到 则传递函数为2-8 试简化图2-T-8所示的系统框图，并求系统的传递函数)()(s R s C 。

解：(a) 化简过程如下传递函数为(b) 化简过程如下传递函数为2-9 试简化图2-T-9所示系统的框图，并求系统的传递函数)()(s R s C 。

解：化简过程如下G 3 G 1H 1 _ G 2G 1R(s)C(s) + +++C(s) R(s) +_ G 1+G 2G 1+H 1 G 3R(s) C(s) G 1+G 2 C(s)R(s)H 3C(s)+ +_G 1G 4G 3H 1 G 2G 2H 2 1/G 1 _ + R(s) R(s)G 4+G 2G 3H 3+H 2/G 1+ _ C(s) C(s)R(s) + +0.70.4__ R(s) C(s)G 1G 2 G 3H 1+_ + _+ C(s)R(s)a) + G 1H 1G 2 G 4 H 3 G 3 H 2+ + ++__R(s) C(s)b)图2-T-8_+ 0.70.50.4+++_ R(s) C(s)系统的传递函数为2-10 绘出图2-T-10所示系统的信号流程图，并根据梅逊公式求出传递函数)()(s R s C 。

系统的传递函数为2-11 试绘出图2-T-11所示系统的信号流程图，并求传递函数)()(11s R s C 和)()(22s R s C （设0)(2=s R ）。

解：系统信号流程图如图所示。

题2-11 系统信号流程图 2-12 求图2-T-12所示系统的传递函数)()(s R s C 。

解：(a) 系统只有一个回环：cdh L =∑1， 在节点)(s R 和)(s C 之间有四条前向通道，分别为：abcdef P =1，abcdi P =2，agdef P =3，agdi P =4，相应的，有：14321=∆=∆=∆=∆则(b) 系统共有三个回环，因此，sC R s C R s C R L 2122111111---=∑， 两个互不接触的回环只有一组，因此，2212122112111s C C R R s C R s C R L =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=∑ 在节点)(s R 和)(s C 之间仅有一条前向通道：22112111111111s C C R sC R sC P =⋅⋅⋅⋅=，并且有11=∆，则 2-13 确定图2-T-13中系统的输出)(s C 。

解：采用叠加原理，当仅有)(s R 作用时，121222111)()(H G G H G G G s R s C ++=， 当仅有)(1s D 作用时，121222121)()(H G G H G G s D s C ++=， 当仅有)(2s D 作用时，121222231)()(H G G H G G s D s C ++=-， +_Ks0.7R(s) C(s)C(s)R(s) G 1 H 1G 2 H 2G 4G 3 _ +++ ++ R(s) C(s)图2-T-10 + _C 1(s)+ G 1 G 6 G 4H 1G 3H 2G 2 G 5 + _ ++R 2(s) R 1(s) C 2(s) 图2-T-11R(s) _+ G 1G 2 H 1H 2+ + ++ + + __ D 1(s)D 3(s)D 2(s)C(s)图2-T-13当仅有)(3s D 作用时，12122121341)()(H G G H G H G G s D s C ++-=根据叠加原理得出第三章3-1 设系统的传递函数为求此系统的单位斜坡响应和稳态误差。

解：当输入为单位斜坡响应时，有t t r =)(，21)(s s R =所以有 分三种情况讨论 （1）当1>ζ时， （2）当10<<ζ时， （3）当1=ζ时， 设系统为单位反馈系统,有 系统对单位斜坡输入的稳态误差为3-2 试求下列单位反馈控制系统的位置、速度、加速度误差系数。

系统的开环传递函数为（1）)21)(1.01(50)(s s s G ++=（2）)5.01)(1.01()(s s s Ks G ++=（3）)102()41)(21()(22++++=s s s s s K s G （4）)2004()(2++=s s s Ks G解：（1）0)(lim ,0)(lim ,50)(lim 20======→→→s G s K s sG K s G K s a s v s p ；（2）0)(lim ,)(lim ,)(lim 20====∞==→→→s G s K K s sG K s G K s a s v s p ；（3）10)(lim ,)(lim ,)(lim 20K s G s K s sG K s G K s a s v s p ==∞==∞==→→→； （4）0)(lim ,200)(lim ,)(lim 200====∞==→→→s G s K Ks sG K s G K s a s v s p3-3 设单位反馈系统的开环传递函数为若输入信号如下，求系统的给定稳态误差级数。

（1）0)(R t r =，（2）t R R t r 10)(+=，（3）221021)(t R t R R t r ++= 解：首先求系统的给定误差传递函数 误差系数可求得如下（1）0)(R t r =，此时有0)()(,)(0===t r t r R t r s s s ，于是稳态误差级数为 ()0)(0==t r C t e s sr ，0≥t（2）t R R t r 10)(+=，此时有0)(,)(,)(110==+=t r R t r t R R t r s s s ，于是稳态误差级数为()1101.0)()(R t rC t r C t e s s sr =+= ，0≥t （3）221021)(t R t R R t r ++=，此时有t R R t rt R t R R t r s s 212210)(,21)(+=++= ，2)(R t r s = ，于是稳态误差级数为())(1.0)(!2)()(21210t R R t r C t rC t r C t e s s s sr +=++= ，0≥t 3-4 设单位反馈系统的开环传递函数为若输入为t t r 5sin )(=，求此系统的给定稳态误差级数。

解：首先求系统的给定误差传递函数 误差系数可求得如下 以及则稳态误差级数为3-6 系统的框图如图3-T-1a 所示，试计算在单位斜坡输入下的稳态误差的终值。

如在输入端加入一比例微分环节（参见图3-T-1b ），试证明当适当选取a 值后，系统跟踪斜坡输入的稳态误差可以消除。

解：系统在单位斜坡输入下的稳态误差为：nsre ωζ2=，加入比例—微分环节后 可见取naωζ2=，可使0=sre3-7 单位反馈二阶系统，已知其开环传递函数为从实验方法求得其零初始状态下的阶跃响应如图3-T-2所示。

经测量知，096.0=p M ，s t p 2.0=。

试确定传递函数中的参量ζ及n ω。

解：由图可以判断出10<<ζ，因此有 代入096.0=pM ，2.0=p t 可求出⎩⎨⎧==588.19598.0nωζ 3-8 反馈控制系统的框图如图3-T-3所示，要求 （1）由单位阶跃函数输入引起的系统稳态误差为零。

（2）整个系统的特征方程为046423=+++s s s 求三阶开环传递函数)(s G ，使得同时满足上述要求。

解：设开环传递函数为根据条件（1）0)(11lim 32213322130=+++++++=+=→Kk s k s k s k s k s k s s G e s sr 可知：03=k ； C(s)b)R(s)图3-T-1+_ R(s) C(s)a)+_ G(s)R(s) C(s)+_图3-T-3根据条件（2）0464)(23=+++=s s s s D 可知：41=k ，62=k ，4=K 。