第一讲：力、物体的平衡补充：杠杆平衡（即力矩平衡），对任意转动点都平衡。

一、力学中常见的三种力1.重力、重心 重心的定义：ΛΛΛΛ++++=g m g m gx m gx m x 212211，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。

问题：半径R =30cm 的均匀圆板上挖出一个半径r =15cm 的内切圆板，如图a 所示，求剩下部分的重心。

2.弹力、弹簧的弹力（F =kx ,或F =-kx ）（1）两弹簧串联总伸长x ，F =？由x 1+x 2=x ,k 1x 1=k 2x 2，得2112k k x k x +=,所以kx k k x k k x k F =+===212122. （2）并联时F =(k 1+k 2)x .(3)把劲度系数为k 的弹簧均分为10段，每段劲度系数k '=?(10k )1. 一个重为G 的小环，套在竖直放置的半径为R 的光滑大圆上。

一个劲度系数为k ，自然长度为L （L <2R ）的轻质弹簧,其上端固定在大圆环最高点,下端与小环相接,不考虑一切摩擦,小环静止时弹簧与竖直方向的夹角为:. （答案：GkR kL 22cos 1--） 3.摩擦力（1）摩擦力的方向：①静摩擦力的方向：跟运动状态与外力有关。

②滑动摩擦力的方向：跟相对运动方向相反。

2. 如图所示,在倾角θ=300的粗糙斜面上放一物体,物体的重力为G ,现用与斜面底边平行的水平作用力F (F =G /2)推物体,物体恰好在斜面上作匀速直线运动,则物体与斜面的动摩擦因数为 . （答案：36）（2）摩擦角:f 和N 的合力叫全反力，全反力的方向跟弹力的方向的最大夹角（f 达到最大）叫摩擦角，摩擦角ϕ=tan -1f /N =tan -1μ。

摩擦角与摩擦力无关，对一定的接触面，ϕ是一定的。

水平地面上有一质量为m 的物体,受斜向上的拉力F 作用而匀速移动,物体与地面间的动摩擦因数为μ,则为使拉力F 最小,F 与水平地面间的夹角多大?F 的最小值为多少?二、物体的平衡1.三力平衡特点 (1)任意两个的合力与第三个力是一对平衡力(2)三力汇交原理：互不平行的三个力处于平衡，这三个力的作用线必交于一点。

①确定墙壁或天花板对杆的弹力方向？②若墙壁与杆间动摩擦因数为μ，物体只能挂在什么范围？3. 如图所示,质量为M 的杆AB 静止在光滑的半球形容器中,设杆与水平方向的夹角为α.则容器面对杆A 点的作用力F 为多大?2.力矩和力矩平衡:M =FL(1)力矩的平衡条件:对任意点∑=0M∑=0M也常用来受力分析，如三个完全相同的小球叠放在水平地面上处于静止状态,则下面的球受到几个力作用?对球心,根据力矩平衡可知，下面的球受到二个大小相等的摩擦力,共五个力作用这是确定圆柱体受摩擦力的常用方法。

又如板与墙之间夹一球，两边的摩擦力大小相等，若μ相同，对球心有∑=0M得板对球的弹力大，可判断沿墙滑动，沿板滚动。

4.将重为30N的均匀球放在斜面上,球用绳子拉住,如图所示.绳AC与水平面平行，C点为球的最高点斜面倾角为370.求：(1)绳子的张力.(2)斜面对球的摩擦力和弹力.5.一根质量均匀的米尺AB用细绳悬挂,现用重为米尺重量的5/3倍的砝码挂在尺上某点,这时两端细绳成如图所示,米尺呈水平状态,则此砝码距A点的距离应为多少? （答案：0.1m）6.两根细线悬挂在同一点,另一端分别系有带电小球A、B,静止时如图所示,已知绳长OB=2OA,两球的质量关系是M A=2M B,α=450,求θ.(2)二力杆：两端受力的杆，力的作用线一定沿杆(根据力矩平衡)。

7.如图所示，每侧梯长为L的折梯置于铅垂平面内，已知A、B两处与地面间的动摩擦因数分别为μA=0.2，μB=0.6，C点用光滑的铰链连接，不计梯重，求人最多能爬多高。

8.如图所示，一根细长棒上端A处用铰链与天花板相连，下端用铰链与另一细棒相连，两棒的长度相等，两棒限以图示的竖直平面内运动，且不计铰链处的摩擦，当在C端加一个适当的外力（在纸面内）可使两棒平衡在图示的位置处，即两棒间的夹角为90︒，且C端正好在A端的正下方。

（1）不管两棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向的范围内？说明道理（不要求推算）。

（2）如果AB棒的质量为m1，BC棒的质量为m2，求此外力的大小和方向。

3.物体的平衡条件：F=0；M=09. 质量为m 的均匀柔软绳,悬挂于同一高度的两固定点A 、B 之间,已知绳的悬挂点处的切线与水平面夹角为α,求绳的悬挂点处及绳的最低点处的张力.10. 如图所示,质量为m 的物体放在斜面上,它跟斜面之间的动摩擦因数为μ.则当斜面倾角α大于 时,无论水平推力F 多大,物体不可能沿斜面向上运动12.有一轻质木板AB 长为L ,A 端用铰链固定在竖直墙壁上,另一端用水平轻绳BC 拉住.板上依次放着1、2、3三上圆柱体,半径均为r ,重均为G .木板与墙的夹角为θ(如图所示).一切摩擦均不计,求BC 绳的张力.13.一架均匀梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在竖直的墙上，梯子与地面及梯子与墙间的静摩擦因数分别为μ1、μ2。

求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。

部分参考答案（答案：αtan Mg F =）解：F 的作用线通过圆心B 点对杆的作用力N 与相垂直角度关系如图所示 根据正弦定理ααsin )90sin(0F Mg=- 得αtan Mg F =解：若B 端开始滑动，AC 为二力杆，地面对A 端的作用力方向与竖直方向夹角为30︒，而A 点对应的摩擦角αA =tan -1μA =tan -10.2<30︒。

AC 杆不能衡。

若A 端开始滑动，AB 为二力杆，地面对B 端的作用力方向与竖直方向夹角为30︒，而B 点对应的摩擦角αB =tan -1μB =tan -10.6>30︒。

AB 杆能衡。

所以人必须从A 点沿梯上爬，此时B 端受到地面的作用力沿着BC 方向。

对整体，根据三力共点，人的重力作用线必通过F A 和F B 的交点。

设人的水平距离为s ，有几何关系（两边高相等）：s cot αA =(L -s )cot30︒，得s =0.26L ,最大高度H =3s =0.45L 。

[答案：（1）F 的方向与AC 夹角范围18︒.24'-45︒间；（2）212221810241m m m m g F ++=] 解（1）设F 的方向与AC 夹角为θ，如果当m 1质量很小时，AB 对BC 的作用力沿AB 方向，则F 的方向必交于AB 的中点，θ=45︒-tan -121=18︒.24'； 如果当m 2质量很小时，则F 的方向沿BC 方向，θ=45︒。

所以F 方向的范围是θ=18︒.24'-45︒间。

（2）以A 为转轴，对两棒有：θsin 245sin 2)(021L F L g m m ⨯=⨯+----① 以B 为转轴，对BC 有：)45sin(45sin 2002θ-⨯=⨯L F L g m ----② sin(45︒-θ)=sin45︒cos θ-cso45︒sin θ----③有①②③式得F 的大小：212221810241m m m m g F ++=； F 的方向与竖直线的夹角θ=122113tan m m m m ++-. 可见，m 1=0时，θ==-31tan 118︒.24'；m 2=0时，θ==-1tan 145︒.（答案：2cot ,sin 2ααmg mg ） 无论水平推力F 多大,物体不可能沿斜面向上运动，这种情况称为自锁。

如放在水平地面上的物体，跟水平面之间的动摩擦因数为μ.推力F 与水平面之间的夹角为α，则当α大于时，无论水平推力F 多大,物体不可能运动。

有F cos α=(mg +F sin α)μ，得αμαμsin cos -=mg F ,推不动：cos α-μsin α=0,cot α=μ. 或F cos α（增加的动力）≤F sin αμ（增加的阻力），得cot α≤μ.解:此题的解法很多,同学们可体会到取不同的研究对象,问题的难易程度不同.解法1:对圆柱体一个一个分析,分别计算出圆柱体的弹力,再对木板分析,有力矩平衡求出BC 绳的张力.比较麻烦.解法2:把三个球作为整体,可求出板对三个球的弹力,再对板有力矩平衡求出BC 绳的张力.但弹力的力臂比较难求.解法3:先对三个球分析,受墙壁的弹力N 1=3G cot θ.再把三个圆柱体和木板合为一整体,此整体受到墙壁的弹力N 1,BC 绳的拉力T ,重力3G ,A 点的作用力N (N 对A 点的力矩为零).对A 点,有力矩平衡)sin 2(31θr r G AD N TAC ++= 式中θθcos ,2tan /L AC r AD == 有上述四式可行)cos sin 21cos 11(3θθθ++-=L Gr T . （答案：121121tan μμμα-=-） 解法1：设梯子能平衡时与地面所成的最小夹角为α，则有f 1=μ1N 1, f 2=μ2N 2（同时达到最大，与上题有区别）水平方向：μ1N 1=N 2，竖直方向：μ2N 2+N 1=G ，得：G =μ2N 2+N 2/μ1------①取A 点为转轴：0cos sin cos 2222=--αμααN L LN G L -----② 解得12121tan μμμα-=，即121121tan μμμα-=-。

解法2：地对梯和墙对梯的二个全反力与重力必交于一点（如图的D 点）则有：tan ϕ1=μ1,tan ϕ2=μ2， 有几何关系：21tan 21cot 21222tan ϕϕα-=-=-==EB DE AH DH AH DE DH AC BC ， 可解得：121121tan μμμα-=-。