重点高中物理竞赛(静力学)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：23力、物体的平衡补充：杠杆平衡（即力矩平衡），对任意转动点都平衡。
一、力学中常见的三种力 1.重力、重心 ①重心的定义：ΛΛΛΛ++++=g m g m gx m gx m x 212211，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。
②重心与质心不一定重合。
如很长的、竖直放置的杆，重心和质心不重合。
如将质量均匀的细杆AC （AB =BC =1m ）的BC 部分对折,求重心。
以重心为转轴，两边的重力力矩平衡（不是重力相等）：（0.5-x ）2G =(x +0.25)2G,得x =0.125m （离B 点）. 或以A 点为转轴：0.5⨯2G +(1+0.5)2G=Gx ',得x '=0.875m ，离B 点x =1-x '=0.125m. 2.巴普斯定理：①质量分布均匀的平面薄板：垂直平面运动扫过的体积等于面积剩平面薄板重心通过和路程。
如质量分布均匀的半圆盘的质心离圆心的距离为x ， 绕直径旋转一周，2321234R x R πππ⋅=，得π34Rx =②质量分布均匀的、在同一平面内的曲线：垂直曲线所在平面运动扫过的面积等于曲线长度剩曲线的重心通过路程。
如质量分布均匀的半圆形金属丝的质心离圆心的距离为x ，绕直径旋转一周，R x R πππ⋅=242，得πRx 2=1. （1）半径R =30cm 的均匀圆板上挖出一个半径r =15cm的内切圆板，如图a 所示，求剩下部分的重心。
（2）如图b 所示是一个均匀三角形割去一个小三角形AB 'C '，而B 'C '//BC ，且∆AB 'C '的面积为原三角形面积的41，已知BC 边中线长度为L ，求剩下部分BCC 'B '的重心。
[答案：(1) 离圆心的距离6R ；(2)离底边中点的距离92L]解(1)分割法:在留下部分的右边对称处再挖去同样的一个圆,则它关于圆心对称,它的重心在圆心上,要求的重心就是这两块板的合重心,设板的面密度为η，重心离圆心的距离为x .有力矩平衡: ),2()2(])2(2[222x R R x R R -=-ηπηπ得6Rx ==5cm.4 填补法:在没挖去的圆上填上一块受”重力”方向向上的圆,相当于挖去部分的重力被抵消,其重心与挖去后的重心相同,同理可得6Rx =.能量守恒法:原圆板的重力势能等于留下部分的重力势能和挖去部分的重力势能之和,可得6Rx =.(2) ∆AB 'C '的面积为原三角形面积的1/4，质量为原三角形质量的41，中线长度应为原三角形中线长度的21。
设原三角形BC 边的中线长为L 。
原重心离BC 边的距离为3L，且在中线上。
类似于（1）的解法，可得重心离底边中点的距离92Lx =，且在原三角形的中线上。
思考：三根均匀杆AB 、BC 、CA 组成三角形，其重心在哪？（内心，要用解析几何） 2. 完全相同的4块砖，每块砖的长都为0.3m ，叠放在水平桌面上，如图所示。
求它的最大跨度（即桌边P 点离最上面一块砖右边的Q 点的水平距离）。
（答案：0.3125m ）解：165)4131211(2=++=ΛΛL L m m=0.3125m 3. 一薄壁圆柱形烧杯,半径为R ,质量为m ,重心位于中心线上,离杯底的高度为H ,今将水慢慢注入烧杯中,问烧杯连同杯中的水共同重心最低时水面离杯底的距离是多少？(设水的密度为ρ)（答案：ρπρπ2222R mHR m m h ++-=）解:开始注水时共同重心在水面之上,这时如果加水,就等于在共同重心下方加质量,所以重心将会随着水的注入而逐渐下降.当重心下降到水面时,重心最低,因为此时如果再加水,就是在共同重心上方加质量,重心就会升高.重心最低时水面离杯底的距离为h 应满足:ρπR 2hg 2h+mgH =(πR 2h ρ+m )hg , 解得:ρπρπ2222R mHR m m h ++-=.2.弹力、弹簧的弹力（F =kx ,或F =-kx ）（1）两弹簧串联总伸长x ，F =？由x 1+x 2=x ,k 1x 1=k 2x 2，得2112k k x k x +=,所以kx k k xk k x k F =+===212122.（2）并联时F =(k 1+k 2)x .5(3)把劲度系数为k 的弹簧均分为10段，每段劲度系数k '=?(10k )4. 一个重为G 的小环，套在竖直放置的半径为R 的光滑大圆上。
一个劲度系数为k ，自然长度为L （L <2R ）的轻质弹簧,其上端固定在大圆环最高点,下端与小环相接,不考虑一切摩擦,小环静止时弹簧与竖直方向的夹角为:. （答案：G kR kL22cos 1--）提示:力的平行四边形为等腰三角形. 3.摩擦力（1）摩擦力的方向：①静摩擦力的方向：跟运动状态与外力有关。
②滑动摩擦力的方向：跟相对运动方向相反。
5. 如图所示,在倾角θ=300的粗糙斜面上放一物体,物体的重力为G ,现用与斜面底边平行的水平作用力F (F =G /2)推物体,物体恰好在斜面上作匀速直线运动,则物体与斜面的动摩擦因数为 . （答案：36） 6. 如图所示，一个质量m =20kg 的钢件，架在两根完全相同的、平行的直圆柱上。
钢件的重心与两柱等距。
两柱的轴线在同一水平面内。
圆柱的半径r =0.025m ，钢件与圆柱间的动摩擦因数μ=0.20。
两圆柱各绕自己的轴线作转向相反的转动，角速度ω=40rad/s ，若沿平行于柱轴的方向施力推着钢件作速度为v =0.050m/s 的匀速运动，求推力的大小。
设钢件左右受光滑导槽限制（图中未画出），不发生横向运动。
（答案：2.0N ）解：因滑动摩擦力的方向与相对滑动方向相反。
所以推力大小F =2f cos α=μmg cos α=2)/(1v r mgωμ+=2.0N 。
（2）摩擦角:f 和N 的合力叫全反力，全反力的方向跟弹力的方向的最大夹角（f 达到最大）叫摩擦角，摩擦角ϕ=tan -1f /N =tan -1μ。
摩擦角与摩擦力无关，对一定的接触面，ϕ是一定的。
6 7. 水平地面上有一质量为m 的物体,受斜向上的拉力F 作用而匀速移动,物体与地面间的动摩擦因数为μ,则为使拉力F 最小,F 与水平地面间的夹角多大?F 的最小值为多少?（答案：tan -1μ；21μμ+mg）解:先把f 和N 合成一个力T ,因f 和N 成正比,所以当F 发生变化时T 的大小也要发生变化,但方向不变,且β=tan -1N f=tan -1μ. 这样,就把四个力平衡问题变成了三个力平衡问题,如左图所示.根据平行四边形定则,当F 和T 垂直时F 最小,如右图所示.得F 与水平地面间的夹角α=β=tan -1μ, sin α=21μμ+，F 的最小值F min =mg sin α=21μμ+mg.另解：设F 与水平面成α角时F 最小,有F cos α-μ(mg -F sin α)=0,得αμαμsin cos +=mgF ,令μ=cot ϕ,,代入上式得)sin(sin αϕϕμ+=mg F =21μμ+mg。
8. 将质量为M 的小车沿倾角为α,动摩擦因数为μ的斜面匀速拉上,求拉力的方向与斜面夹角θ为多大时,拉力最小?最小的拉力为多大?（答案：tan -1μ；21cos sin μαμα++=Mg Mg ）解:小车受四个力作用处于平衡,先把摩擦力f 和支持力N 合成一个力R ,因f 和N 成正比,所以R 和N 的夹角β=tan -1μ,这样问题就转化成小车在三个力作用的平衡问题.小车受到的重力Mg 的大小和方向都保持不变,当拉力F 和R 垂直时,F 最小，θ=β=tan -1μ,最小值为：F min =Mg sin(α+β)=Mg sin(α+tan -1μ)21cos sin μαμα++=Mg Mg .二、物体的平衡1.三力平衡特点 (1)任意两个的合力与第三个力是一对平衡力(2)三力汇交原理：互不平行的三个力处于平衡，这三个力的作用线必交于一点。
7①确定墙壁或天花板对杆的弹力方向？②若墙壁与杆间动摩擦因数为μ，物体只能挂在什么范围？9. 如图所示,质量为M 的杆AB 静止在光滑的半球形容器中,设杆与水平方向的夹角为α.则容器面对杆A 点的作用力F 为多大?（答案：αtan Mg F =） 解：F 的作用线通过圆心B 点对杆的作用力N 与相垂直角度关系如图所示 根据正弦定理ααsin )90sin(0FMg =- 得αtan Mg F = 2.力矩和力矩平衡:M =FL(1)力矩的平衡条件:对任意点∑=0M∑=0M 也常用来受力分析，如三个完全相同的小球叠放在水平地面上处于静止状态,则下面的球受到几个力作用?对球心,根据力矩平衡可知，下面的球受到二个大小相等的摩擦力,共五个力作用 这是确定圆柱体受摩擦力的常用方法。
又如板与墙之间夹一球，两边的摩擦力大小相等，若μ相同，对球心有∑=0M 得板对球的弹力大，可判断沿墙滑动，沿板滚动。
10. 如图所示，质量为M 的立方块和质量为m 的圆柱体置于倾角为α的固定斜面上，立方体和圆柱体与斜面间的动摩擦因数都为μ，立方体与圆柱体之间摩擦不计。
求当平行于斜面的作用力F 多大时，立方体和圆柱体沿斜面向上匀速运动。
[答案：F =(Mg +mg )sin α+μmg cos α]解：对圆柱体，以圆心为转轴，根据力矩平衡可知，圆柱体与斜面间的摩擦力为零（这是确定摩擦力的常用方法）。
所以F =(Mg +mg )sin α+μmg cos α.注意：若M 和m 间有摩擦，则球受两个大小相等的摩擦力，先要分析哪一接触面先达到最大，即先滑动。
11. 将重为30N 的均匀球放在斜面上,球用绳子拉住,如图所示.绳AC与水平面平行，C 点为球的最高点斜面倾角为370.求： (1)绳子的张力.8 (2)斜面对球的摩擦力和弹力. [答案：（1）10N ；（2）10N ，30N]解：（1）取球与斜面的接触点为转轴：0)37cos (37sin 20=+-R R T mgR ，得T =10N; （2）取球心为转轴得，f =T =10N;取C 点为转轴：037sin )37cos (00=-+NR R R f ，得N =30N.12. 一根质量均匀的米尺AB 用细绳悬挂,现用重为米尺重量的5/3倍的砝码挂在尺上某点,这时两端细绳成如图所示,米尺呈水平状态,则此砝码距A 点的距离应为多少? （答案：0.1m ）解:米尺长用L 表示,重用G 表示,设砝码距A 点的距离为x , 对悬挂点,有力矩平衡:,354141G x L G L ⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯解得x=0.1m. 13. 两根细线悬挂在同一点,另一端分别系有带电小球A 、B ,静止时如图所示,已知绳长OB =2OA ,两球的质量关系是M A =2M B ,α=450,求θ. （答案：450）(对整体,根据对O 点的力矩平衡,θ=α=450)14. 水平路面上有一根弯成直角的铁条ABC ,AB 段和BC 段的长度相等,质量分别是M 1和M 2,通过系在角顶B 的绳子用平行于路面的力匀速地拉铁条,如图所示,求绳子必须与AB 成多大的角. （答案：211tan M M--=πθ）(根据摩擦力矩对B 点的力矩为零,得211tan M M--=πθ(2)二力杆：两端受力的杆，力的作用线一定沿杆(根据力矩平衡)。