定积分知识点
定积分知识点
1.定积分的概念：一般地，设函数()f x 在区间[,
]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L
将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b a
x n
-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：
1
1
()()n
n
n i i i i b a
S f x f n
ξξ==-=∆=∑∑
如果x D 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()b
a S f x dx =⎰，
其中-⎰积分号，b －积分上限，a －积分下限，()f x －被积函数，x －积分变量，[,]a b －积分区间，()f x dx －被积式。

说明：（1）定积分()b
a f x dx ⎰是一
个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为()b
a
f x dx ⎰,而不是
n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()n
i i b a
f n
ξ=-∑
；④取极限：()
1
()lim n
b
i a
n i b a
f x dx f n
ξ→∞
=-=∑⎰
;（3）曲边图形面积：()b a S f x dx =⎰；变速运动路
程2
1
()t t S v t dt =⎰；变力做功()b
a
W F r dr =⎰
2．定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间[],
a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()b
a f x dx ⎰表示由直线
,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边
梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()b
a
f x dx ⎰的几何意义。

说明：一般情况下，定积分()b
a
f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形
以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在
x 轴下方的面积去负号。

分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。

考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆++∆L L 不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +<L
于是和式即为
()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆++∆--∆++-∆L L
()b
a f x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面
积）
3．定积分的性质 性质1()b
a kdx k
b a =-⎰；
性质2()()()b b
a
a
kf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数（定积分的线性性质）；
性质31212[()()]()()b b b
a
a
a
f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（定积分的线性性质）；
性质4()()()()b c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可
加性）
(1) ()()b
a
a
b
f x dx f x dx =-⎰⎰； (2) ()0a
a
f x dx =⎰；
说明：①推广：
1212[()()()]()()()b
b b b
m m a
a
a
a
f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰
⎰⎰⎰L L
②推广:12
1
()()()()k
b
c c b
a
a
c c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰L
4.微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：
⎰
-==b
a
b a a F b F x F dx x f )()(|)()(
（熟记'⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+11n x x n n （1-≠n ），()'=x x ln 1，()'-=x x cos sin ，()'=x x sin cos ，'⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=a a a x
x ln ，()'=x x e e ）
巩固训练题
一．选择题：
1． 5
0(24)x dx -⎰=（ ） A ．5 B. 4 C. 3 D. 2
2． 2
11ln xdx x ⎰
=（ ） A ．21
ln 22 B. ln 2 C. 2ln 2 D.ln 2 3． 若11
(2)3ln 2a x dx x
+=+⎰，且a ＞1，则a 的值为（ ）A ．6 B.4 C.3 D.2
4． 已知自由落体运动的速率v=gt ，则落体运动从t=0到t=t 0所走的路程为（ ）
A ．203gt
B ．2
0gt C ．202gt D ．206
gt
5.由抛物线x y =2
和直线
x =1所围成的图形的面积等于（ ）
A ．1
B ．
3
4
C ．
3
2
D ．31
6.如图，阴影部分的面积是（ )
A ．32
B ．329-
C ．332
D ．3
35
7.320|4|x dx -⎰=（ ）A ．321 B ．322 C ．323 D ．325 8． dx e e x x ⎰-+10)(=（ ）A ．e
e 1+ B ．2e C ．e 2 D ．e e 1-
9．曲线]2
3
,0[,cos π∈=x x y 与坐标轴围成的面积（ ）
第6题图
A ．4
B ．2
C ．
2
5
D ．3
10．230(2cos 1)2
x dx π
-⎰=（ ） A ．1
2
- C.12 二．填空题：
11.若20(345)a
x x dx +-⎰=a 3-2（a ＞1），则a=
12.曲线2x y =与直线2+=x y 所围成的图形的面积等于 13.由曲线22y x =-与直线y x =-所围成的平面图形的面积为
14.已知弹簧每拉长0. 02 米要用9. 8N 的力，则把弹簧拉长0. 1米所作的功为
15.2
-=
⎰
三．计算下列定积分的值
16.
⎰--3
12
)4(dx x x ； 17. dx x x ⎰+2
)sin (π
； 18. dx x ⎰π
π222
cos ;
19．4x ⎰; 20.(cos 5sin 2)d a
a x x x x --+⎰ 21. 12
2
32
(9)x x dx -⎰;
四．解答题：
22.设)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等的实根，且
22)(+='x x f ．
（1）求)(x f 的表达式．（2）若直线)10(<<-=t t x 把)(x f y =的图象与坐标轴所围成的图形的面积二等分，求t 的值．
23. 求曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积．
答案：AADCB ，CCDDD ；11.2；12.29;13.2
9
;14.变力函数为F = 490x ．于是所求的功为
2
0.10.10
490490()
2.45 2
x W xdx ===⎰
（J ）;15. 2π; 16. 20
3；17.2
18π+；18.2
14-π;
19. 提示：3
2221()32
x x x '+=;271
6;20. 提示：(sin 6cos 2)cos 5sin 2x x x x x x x '++=-+，
4a;
21. 提示：31
32322
2((9))(9)9
x x x '--=-，529;22. （1）12)(2++=x x x f ；（2）
3
2
11-=t ．
23. 首先求出函数x x x y 223++-=的零点：11-=x ，02=x ，23=x .又易判断出在
)0 , 1(- 内，图形在x 轴下方，在)2 , 0(内，图形在x 轴上方，所以所求面积为
dx x x x A ⎰
-++--
=0
1
23)2(dx x x x ⎰
++-+
2
23)2(12
37=。