知识梳理
b c b d bd a d a c ac
2.分式的乘方法则：
( a )n b
an bn
.
3.分式的加减法则： (1)同分母分式的加减法则：
a b ab . cc c (2)异分母分式的加减法则： a c ad bc ad bc . b d bd bd bd
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注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有 的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
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约分的基本步骤
(1)若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公 约数，并约去相同字母的最低次幂；
(2)若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因 式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．
6.分式的通分：
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4
求第一次每支铅笔的进价是多少元？
解：设第一次每支铅笔进价为x元，根据题意列方程，得
解得 x=4.
600 x
600 5x
30.
4
经检验，故x=4原分式方程的解.
答：第一次每支铅笔的进价为4元.
考点讲练
考点5 本章数学思想和解题方法
主元法
例7
已知：2a b 3
a 2b 14
，求
a2 a2
b2 b2
考点讲练
练习9.已知
x y
2 3
，求
的值. x2
x2 y2 2xy
y2
xy 2x2
y2 2xy
解：由
x y
2 ，得
3
x2y 3
，
x2
x2 y2 2xy
y2
xy 2x2
y2 2xy
(x y)(x y) 2x(x y)
(x y)2 y(x y)
本题还可以由已 知条件设 x=2m,y=3m.
的3倍，则分式的值（ B ）
A.扩大为原来的3倍
C.缩小为原来的
1 3
B.不变
D.缩小为原来的
1 6
考点讲练
练习3.下列变形正确的是( C )
A. a a2 b b2
B. a b a2 b
a
a2
C. 2 x x 2 x 1 1 x
D.
6x2y 9 xy 2
2x 9y
考点讲练
例3
已知x=1
当_A__=_0_且__B__≠_0_时，分式 的值为零. 4.分式的基本性质：
b b m , b b m（m 0）. a am a am
分式的符号法则:
f f ，f f .
g
g g g
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5.分式的约分： （1）约分：
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与 分母的公因式约去，叫做分式的约分． （2）最简分式： 分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式
考点讲练
解题技巧：对于一个分式，如果给出其中字母的取 值，我们可以先将分式进行化简，再把字母取值代 入，即可求出分式的值.但对于某些分式的求值问 题，却没有直接给出字母的取值，而只是给出字母 满足的条件，这样的问题较复杂，需要根据具体情 况选择适当的方法.
考点讲练
练习4：
有一道题：“先化简，再求值:
高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程 是高铁的行驶路程的1.3倍．
(1)求普通列车的行驶路程；
解析：(1)根据高铁的行驶路程是400千米和普通列 车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相 乘即可；
解：(1)根据题意得400×1.3＝520(千米)． 答：普通列车的行驶路程是520千米；
x4
解：∵x2－5x+1=0, 得 x 5 1 0,即 x 1 5.
x
x
∴
x4
1 x4
(x2
1 x2
)2
2
[(x 1 )2 2]2 2 x
(25 2)2 2
527.
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考点3 分式方程的解法
例5 解下列分式方程：
(1) 1 1 0;(2) x 4 2 3 .
第五章 分式与分式方程
复习课
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1 分式
1.分式的概念：
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有
字母，那么称 为分式.其中A叫做分式的分子， B为分式的分母.
2.分式有意义的条件：
对于分式 ：当__B_≠_0___时分式有意义； 当__B_=__0__时无意义.
3.分式值为零的条件：
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2 ,y=1
2
，求(
x
1
y
x
1
) y
x2
2x 2xy
y2
值.
【解析】本题中给出字母的具体取值，因此要先化简
分式再代入求值.
解：原式=
2x g(x y)2 x y ,
(x y)(x y) 2x x y
把x= 1 2 ,y= 1 2 代入得 原式= 1 2 (1 2) 2 2 2.
1 2 1 2 2
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(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速 度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘 坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平 均速度．
解析：设普通列车的平均速度是x千米/时，根 据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3 小时，列出分式方程，然后求解即可．
考点讲练
解：设普通列车的平均速度是x千米/时，则 高铁的平均速度是2.5x千米/时，根据题意得
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练习6：解方程：x
x
2 2
1
16 x2
. 4
解：最简公分母为（x＋2）（x－2）， 去分母得（x－2）2－（x＋2）（x－2）=16，
整理得－4x＋8=16，解得x=－2， 经检验x=－2是增根，故原分式方程无解．
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专题4 分式方程的应用
例6 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知
考点1 分式的有关概念
例1
如果分式
x2 x
1 1
的值为0，那么x的值为
1
.
【解析】根据分式值为0的条件：分子为0而分母不为0，
列出关于x的方程，求出x的值，并检验当x的取值时分
式的分母的对应值是否为零.由题意可得：x2-1=0, 解
得x=±1.当x=-1时，x+1=0;当x=1时，x+1 ≠0.
【答案】1
25,
即a2
1 a2
23,
所以 a4 a2 1 a2 1 1 23 1 24
a2
a2
所以 a4
a2 a2
1
1 24
解题技巧：利用x和
1 x
互为倒数的关系，沟通已知
条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求
值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁．
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练习5.已知x2－5x+1=0,求出x4 1 的值.
则依题意列出正确的方程为（ C ）
A 90 90 3 . x x 1
C. 90 90 3 x x 1
B. 90 90 3 x 1 x
D. 90 90 3
x 1 x
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练习8. 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第
二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是
第一次进价的 5 倍，购进数量比第一次少了30支.
考点讲练
解题技巧：分式有意义的条件是分母不为0，分式 无意义的条件是分母的值为0；分式的值为0的条 件是：分子为0而分母不为0.
考点讲练
练习1.若分式 1 无意义，则 x 的值 －3 .
x3 练习2.如果分式 a 2 的值为零，则a的值
a2
为 2.
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考点2 分式的性质及有关计算
例2
x 如果把分式 x y 中的x和y的值都扩大为原来
(
x x
2 2
4x x2
) 4
1 x2
4
,
其中x 3 ”.小玲做题时把x 3 错抄成 x 3 ,
但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回
事?
解:
(x2 x2
x
4x 2
4
)
1 x2 4
(
x
2)2 x2
4
4
x
(
x
2
4)
x2 4x 4 4x (x2 4) x2 4 x2 4
x 1 x 1
x 1 x 1
【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的
解得到x的值，经检验即可确定出分式方程的解．
解：（1）去分母得x＋1＋x－1=0，解得x=0，
经检验x=0是分式方程的解；
（2）去分母得x－4=2x＋2－3，解得x=－3，
经检验x=－3是分式方程的解．
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解题技巧：解分式方程的基本思想是“转化思 想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分 式方程一定注意要验根．
Q ( 3)2 ( 3)2 3, ∴结果与x的符号无关
考点讲练
例4
已知a
1 a
5, 求a4
a2 a2
的值. 1
解析：本题若先求出a的值，再代入求值，显
然现在解不出a的值，如果将Fra bibliotek的分子、
分母颠倒过来，即求
的值，
再利用公式变形求值就简单多了．
考点讲练
解 ：
因为a +
1 a
5,所以
a
+
1 2 a
分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方 程的解，否则须舍去.
3.分式方程的应用 列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审:清题意，并设未知数；
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(2)找:相等关系；
(3)列:出方程；
(4)解:这个分式方程；
(5)验:根（包括两方面 :是否是分式方程的根；