2125 连续介质热力学(一) 概念、理论和公式提要连续介质热力学或热力学(thermo-mochanics)是连续介质力学和经典热力学的交叉或结合，是本世纪50年代开始发展起来的。

连续介质热力学为连续介质力学提供了更为坚实的理论基础。

5-1 基本概念(1) 能量贬值原理 孤立系统在自身变化过程中，有效作功能(有序能)不会增加，非作功能(无序能)不会减少，称为能量贬值原理。

有效作功能减少表示系统的能量品质蜕化，系统自身产生了耗散机制，过程不可逆，有能量耗散。

能量品质不变的过程为可逆过程。

(2) 熵 熵是反映不可逆过程的量，可看作是系统微观无序度的一种量度。

系统的熵发生变化来自两个方面：(a)根据能量贬值原理，系统在变化过程中，由于产生了耗散机制，无序能是有增无减的，与此对应的熵增记作0d )(≥i S ，称为熵产或熵生成，或内部熵增，且0d )(≥i S ；这表明在孤立系统中熵只能产生，不能消失，这是一个普遍的客观规律。

(b)系统在与外界进行能量交流时，非作功能发生迁移，与之相对应的熵增长率是可变动的，可增可减的，记r S d ，称为熵供、熵流或外部熵增。

系统的总熵增S d 为)()(d d d r i S S S += (5-1-1)且有)()(d d 0d r i S S S ≥≥，(5-1-2)上式称为Clausius-Duhem 不等式或熵不等式，或经典热力学第二定律。

熵是状态函数，)()(r i S S 和不是状态函数，且有θQS r d d )(= (5-1-3)0)(d >θθ，绝对温度是热力学温标是系统的热增量，Q 。

213(3) 状态变量 内变量确定或描述系统的状态所必需的(但不一定是充分的)参量总称为状态变量，其中彼此独立的状态变量称为基本状态变量，有时简称为状态变量。

基本状态变量是客观实体，具有可测量性。

其余的状态变量可表示为基本状态变量的函数，称为状态函数。

在热力学系统中，一般将ε(设为小变形)和绝对温度θ作为(基本)状态变量。

各状态变量之间的关系称为本构方程或状态方程。

对于不可逆过程，基本状态变量的现时值不足以确定或描述系统的现时状态，需要引入能以反映物质自身组织结构不可逆变化的一组参数。

称为内变量，记作 ，，，21=ααq 。

内变量不一定能观测、但是独立存在的。

内变量可以是张量，例如塑性应变张量，粘性应变张量等，也可以是标量，例如强化参量、相变程度、位错密度、损伤积累程度等。

这里存在一个公理：恒存在一个由基本状态变量和内变量组成的完整集合，这个集合的现时值可唯一确定系统当前的不可逆热-力学状态。

5-2 热力学第一定律及其推论 热力学第一定律可表示为Q L K Ue +=+)( (5-2-1) 式中⎰⎰==v u v u tU d d D D ρρ (5-2-2) ⎰⎰==v v t K d d 21D D v v vv ρρ (5-2-3) ⎰⎰-=s v Q d d hn ργ (5-2-4) ⎰⎰+=s v L e d d )(vTn fv ρ (5-2-5)K U、分别是系统的总内能和总动能的时间导数，Q 是外界对系统的供热率，)(e L 为施加系统的外功率；γ为单位时间由外界提供给单位质量的热量，h 为单位时间流经单位面积的热流矢，n 为系统边界的法向单位矢。

此处及今后都省去了积分区或R R ∂和。

214将式(5-2-2)~(5-2-5)代入(5-2-1)，并应用Green 公式，得到⎰⎰++=+∶T fv vv ργρρ(d )(v u v d )h vT ∇-∇+ε(5-2-6) 此处已用到小变形时ε ≈D 。

再应用动量守恒方程⎰⎰∇+=v v d )(d T f v ρρ ，式 (5-2-6)简化为⎰⎰=∶T (d v uρε v d )h ∇-+ργ (5-2-7) 其局部形式为∶T =uρε ∶T h =∇-+ργε *Q + (5-2-8) 上式是热力学第一定律的局部形式，式中h ∇-=ργ*Q(5-2-9) 是单位时间单位体积的热供。

按式(5-1-1)、(5-1-3)，有0)()()(≥+=i i r ss s s， (5-2-10) )()(*i r s s s Qρθρθρθ-== (5-2-11) 此处)()(r i s s s、、分别是单位质量的熵变率、熵产率、熵供率。

于是式(5-2-8)可写成∶T ε )(i s s u ρθρθρ+-= (5-2-12) 上式表明)(i sρθ具有功率的性质。

在不可逆过程中，(u u =ε)αθq 、、，(s s =εαααααθqQ q Q q 的内力，为对应于；记、、)为内力功率。

现设 )()()()(d q d q Q Q Q ααα+=+=，T T T (5-2-13)角标“q ”和“d ”分别表示“准保守”(可逆)和“耗散”(不可逆)部分。

将εε∶∂∂=uuααθθq q u u ∂∂+∂∂+ εε∶∂∂=ssααθθq q s ∂∂+∂∂+代入式(5-2-12)，得到=ε∶T ρεεθε ∶)(∂∂-∂∂su215)()()(i ss u q q s q uρθθθθθρθρααα+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+ (5-2-214) 上式对任何过程都成立，对于o =ε及0=αq (纯加热或冷却过程)的特殊情况，上式变为)()(0i ss uρθθθθθρ+∂∂-∂∂= 上式右侧θθρθ 为状态函数，与可正可负，括号中的量，而0)(≥i s无关。

因此上式要求0=∂∂-∂∂θθθsu 于是式(5-2-14)简化为=ε∶T ρ-∂∂εu(θεε ∶)∂∂s )()(i s q q s q u ρθθρααα+∂∂-∂∂+ (5-2-15) 上式中)(i sρθ是耗散功率，可将其写成 ∶)()(d i sT = ρθε 0)()()(21≥+=+d d q L L q Q αα (5-2-16) 将上式及式(5-2-13)代入式(5-2-15)，可以得到 ρ=)(q T -∂∂εu(θ)ε∂∂s (5-2-17)这解释了)(q T 为准保守应力的原由。

类似地定义)()(αααθρq sq u Q q ∂∂-∂∂= (5-2-18) )(q Q α称为准保守内力。

于是式(5-2-15)可写成εε∶∶)()()(d q T T T +=αααq Q Q d q )()()(++ 上式表明0)()()(=+=αααααqQ Q q Q d q (5-2-19) 我们考虑}{}{ααqQ 与正交的情况，则上式要求 )()(d q Q Q αα-= (5-2-20)引入单位质量的自由能ψs u θψ-= (5-2-21)216对上式求物质导数，得θθψs s u --= (5-2-22) 其中(ψψ=εαααψθθψεεψψθq q q ∂∂+∂∂+∂∂=∶，，，) (u u =ε=uq ，，，)αθεε∶∂∂uααθθq q u u ∂∂+∂∂+ 将上两式代入式(5-2-22)，并注意到式(5-2-17)、(5-2-18)及0=∂∂-∂∂θθθsu ，得到 ρεεψ ∶∂∂∶)(q q q T =∂∂+∂∂+θθψρψραα ε θραα s q Q q -+)( (5-2-23) 由上式易得ρ=)(q T εψ∂∂ijq ij εψρσ∂∂=)(， (5-2-24)θψ∂∂-=s (5-2-25) )()(d q Q q Q αααψρ-=∂∂= (5-2-26) 上式表明()()(ψψα=都有势和q q Q T ε)αθq ，，，这可说明“准保守力”一词的由来。

式(5-2-23)也可写成∶)(q T =ψρ ε θραα s q Q q -+)( (5-2-27) 将式(5-2-22)代入上式，又可得到∶)(q uT = ρε s q Q q ρθαα++)( (5-2-28) 上式表明，u 也可以是ε、θθ和的函数，亦即和s s 可分别作为基本状态变量和状态函数。

由式(5-2-28)又可得到217⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=)()()()(s q u u su q u Q u u q ij q ij q 、、，αααεθρερσερT (5-2-29)在等温)0()0(==αθq 及内变量不变的情况下，式(5-2-27)简化为 ∶)(q T =ψρ ε (5-2-30) 上式表明，在等温及内变量不变的情况下，自由能具有可恢复(可回收)的有序能的物理含义；由于)(q T 是准保守应力或可逆应力，所以有⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰0d d )()2()1()(εεψρ∶∶△q q TT (5-2-31) 因此自由能可作为系统所具有的有效作功能的一种量度。

类似地，在等熵)0(=s及内变量不变的情况下，由式(5-2-28)可得 ⎰)2()1()(d ∶△q u T ρε， ⎰=0d )(ε∶q T (5-2-32)单位体积的耗散功率，且有∶)()()(21d d d L L T =+ε ()(ϕαα=+q Q q ε，、、αθq ε0)≥αθq 、、 (5-2-33) 0≥ϕϕ位体积的耗散函数，且不是状态函数，称为单。

5-3 热力学第二定律按式(5-1-1)，系统的总熵率不小于总熵供率0)()(≥≥i r S S S， (5-3-1) 这是经典热力学第二定律或熵不等式，这是从能量贬值原理导出的，从而能量贬值原理又称为熵增加原理。

此处⎰⎰==v s v s tS d d D D ρρ (5-3-2) ⎰⎰==v s v s tS i i i d d D D )()()( ρρ (5-3-3)218⎰⎰⎰∇-∇+=-=v s v S r d ))((d d 2)(θθθθγρθρθγρh h hn (5-3-4) 根据0)()(≥-=r i S S S，可得热力学第二定律的总体形式 ⎰⎰≥∇-∇+-=0d ))((d 2)(v s v s i θθθθγρρρh h (5-3-5) 上式的局部形式为0)(2)(≥∇-∇+-=θθθθγρρρh h s si (5-3-6) 上式为热力学第二定律的局部形式。

应用式(5-2-8)消去h ∇+-ργ，得到∶∶T ==)(i sρθδε 0≥∇-+-θθρθρhs u (5-3-7) δ称为比耗散函数，是单位体积的耗散功率。

将式(5-2-22)代入上式消去u，得到 ∶T ==)(i sρθδε 0≥∇---θθθρψρh s (5-3-8) 再将式(5-2-27)代入消去)()()(d q d (q)Q Q ααψ-=+=，，及T T T ，得到∶)()(d i s T == ρθδε 0)(≥∇-+θθααh qQ d (5-3-9) 上式表明，能量耗散来源于：耗散应力)(d T 作功、内变量变化)0(≠αq及热交换等三个方面，其中前两项之和称为内禀耗散，记作Λ；第三项为热流耗散。