八、(本题满分 6 分)
试证明函数 f (x) (1 1 )x 在区间 (0, ) 内单调增加. x
九、(本题满分 7 分)
设有三维列向量
1 1 1 0
1
1
, 2
1
,3
1
,
,
1
1
1 2
问 取何值时,
(1) 可由1 ,2 ,3 线性表示,且表达式唯一? (2) 可由1 ,2 ,3 线性表示,且表达式不唯一? (3) 不能由1 ,2 ,3 线性表示?
(n
1, 2)
,则可知(B)不正确.
(3)【答案】(B).
【解析】由 为 A 的特征值可知,存在非零向量 X ,使得 AX X . 两端同时乘以 A* ,有 A*( X ) A* AX ,由公式 A* A A 得到 A* X A X .于是 A* X 1 A X . 按特征值定义知 1 A 是伴随矩阵 A* 的特征值.故应选(B).
十三、(本题满分 6 分)
假设随机变量 X 和 Y 在圆域 x2 y2 r 2 上服从联合均匀分布. (1) 求 X 和 Y 的相关系数 ;(2) 问 X 和 Y 是否独立?
十四、(本题满分 5 分)
设总体 X 的概率密度为
p(
x;
)
ax a 1e xa
,
x 0,
0,
x 0,
其中 0 是未知参数, a 0 是已知常数.试根据来自总体 X 的简单随机样本
任何事件 A 一定可以表示为两个互不相容事件 AB 与 AB 的和. 又因 AB ,从而
A B AB A ,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把 A 、B 互不相容
等同于 A 、 B 相互独立而错选(C).
A , B 不相容, P A , P B 均不为零,因此 P AB P 0 , P AB P A P B .
(1)【答案】(A)
【解析】由重要极限 lim(1 1)x e 可知,
x
x
极限
lim(1 1) x lim[1 ( 1)]x(1) e1 ,
x
x
x
x
lim(1 1)x lim(1 1) x(1) e1 .
x
Байду номын сангаас
x
x
x
而极限
lim (1
1)x
lim
ln(1 1 )x
ex
lim ln(1 1 ) x
十、(本题满分 6 分)
考虑二次型 f x12 4x22 4x32 2 x1x2 2x1x3 4x2 x3 .问 取何值时, f 为正定二
次型. 十一、(本题满分 6 分)
试证明 n 维列向量组1,2 ,, n 线性无关的充分必要条件是
1T1 1T2 1Tn
D
2T1
2T2
T
2n
则a
_______, b
_______, c
_______.
(3) 设 f x xex ,则 f n x 在点 x
_______处取极小值
_______.
(4)
设 A 和 B 为可逆矩阵,
X
0 B
A
0
为分块矩阵,则
X
1
_______.
(5) 设随机变量 X 的分布函数为
0,
F(x)
1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.把答案填在题中横线上.)
(1) 设 z esin xy , 则 dz
_______.
(2) 设曲线 f x x3 ax 与 g x bx2 c 都通过点 1,0 ,且在点 1,0 有公共切线,
an2
1 n2
,由
n1
1 n2
收敛及比较判别法可知 (1)n an2 绝对收敛.
n1
即(D)正确.
另外,设 an
1 2n
(n
1, 2)
,则可知
(A)
an
n1
n1
1 2n
1 2 n1
1, n
(C)
n1
an n1
1
2n
2 1
2
1
n n1 2
都不正确.
设
a2n1
0, a2n
1 4n
【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式 uv n n Cnku kv nk 可知, k 0
f
(n) (x)
Cn0 x(ex )(n)
C1nx (ex )(n 1)
C
2 n
x
(e
x
)(n
2)
C
n n
x
(n
)e
x
xex nex 0 0 (x n)ex .
对函数 g x f n x 求导,并令 g x 0 ,得
1
1 x
x
1
(B)
lim
x0
1
1 x
x
e
(C)
lim
x
1
1 x
x
e
(D)
lim
x
1
1 x
x
e
(2)
设 0 an
1 (n 1, 2,) 则下列级数中肯定收敛的是 n
(A) an n 1
(B) (1)n an n1
() ()
(C)
an
n 1
(D) (1)n an2 n1
(3) 设 A 为 n 阶可逆矩阵, 是 A 的一个特征根,则 A 的伴随矩阵 A* 的特征根之一是( )
(A) 1 A n
(B) 1 A
(C) A
(D) A n
(4) 设 A 和 B 是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是 ( )
(A) A 与 B 不相容
(C) P AB P A PB
(B) A 与 B 相容
(D) P A B P A
(5) 对于任意两个随机变量 X 和Y ,若 E( XY ) E( X ) E(Y ) ,则
X1, X 2 ,, X n ,求 的最大似然估计量 ˆ .
1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)
(1)【答案】 esin xy cos xy ydx xdy
【解析】方法一：先求出两个偏导数
z x
和
z y
,然后再写出全微分
dz
0,
nT1
nT2
T
nn
其中
T i
表示列向量 i
的转置,
i
1,
2,,
n
.
十二、(本题满分 5 分) 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与
其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以 X 表示该汽车首次遇到 红灯前已通过的路口的个数.求 X 的概率分布.
三、(本题满分 5 分)
【解析】方法一：这是 1 型未定式极限.
x 2x
lim e e n e lim e e x0
1 nx x
P{X 1} F (1) F (1 0) 0.4 ,
P{X 1} F (1) F (1 0) 0.8 0.4 0.4, P{X 3} F (3) F (3 0) 1 0.8 0.2.
因此 X 的概率分布为
x
1
1
3
P{X x} 0.4
0.4
0.2
二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)
0 B1
(4)【答案】
A1
0
【解析】利用分块矩阵,按可逆矩阵定义有
0
B
A 0
X X
1 3
X X
2 4
E 0
0
E
,
AX 3 E,
由对应元素或块相等,即
AX 4 BX1
0, 0,
BX 2 E.
从
A和
B
均为可逆矩阵知
X3
A1,
X4
0,
X1
0,
X2
B 1
.故应填
七、(本题满分 8 分)
某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为 p1 和 p2 ；销售量分别为 q1 和
q2 ；需求函数分别为 q1 24 0.2 p1 和 q2 10 0.05 p2 ,总成本函数为 C 35 40q1 q2 .
试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？
f 1 1 a 0
g 1 b c 0
,
又曲线 f x 与 g x 在点 1,0 有公切线,则 f 1 g 1 ,即
f 1
3x2 a
x1
3a
g 1
2bx
x1
2b
,
亦即 3 a 2b ,解之得 a 1 , b 1, c 1.
(3)【答案】 x n 1 ； en1
g x f (n1) (x) (x n 1)ex 0 ,
解之得驻点
x
n
1
,且
g g
(x) (x)
0, 0,
x x
(n (n
1), 1),
函数g 函数g
( (
x) x)
严格单调递减； 严格单调递增；
故 x n 1 是函数 g x f n x 的极小值点,极小值为
g(n 1) f (n)(n 1) (n 1 n)e n 1 e n 1 .
方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算 dz .
dz d esin xy esin xyd sin xy esin xy cos xydxy esin xy cos xy ydx xdy .