θ 13
=
arcsin
n3 n1
(4.1-4)
因为 n2 > n3 ，所以θ12 > θ13 。
4.1.2 空间辐射模 当入射角较小时，使得光在上下两个界面上都不发生全反射，如图 4-2 所 示。在这种情况下，光在传输过程中不断地有折射光进入上下包层，即光能量不 断地从上下包层中辐射出去，这种模式称为空间辐射模。因此若产生空间辐射模， 入射角θ1必须满足下述条件
n 3
10
8
n6 1 4
2
n 2
0
0
θ 1
2
4
6
θ 1
θ 2
8
10
图 4-3 衬底辐射模
4.1.4 导模 如果入射角θ1增大到使光在上下两个界面上都发生全反射时，此时上下包 层中不再有折射光，如图 4-4 所示。在这种情况下，光能量不再向包层中辐射， 光被限制在波导芯中以锯齿波的形式沿z方向传输，这种模式称为导模。因此若 产生导模，入射角θ1必须满足下述条件
θ1
<
θ13
=
arcsin
n3 n1
(4.1-5) 由上式还可得到
n1 sinθ1 < n3
(4.1-6) 我们定义 N = n1 sinθ1 为模式的有效折射率。引入有效折射率的概念后，产生空间 辐射模的条件又可写为
N < n3
(4.1-7) 令 k0 = 2π λ0 ，称k0为为真空中波数，λ0真空中光波长，并定义 β = k0 N 为模式的
对光波导特性的分析，应用两种理论，即射线光学理论和波动光学理论。 射线光学理论的优点是对平板波导的分析过程简单直观，对某些物理概念能给出 直观的物理意义，容易理解。缺点是对于结构复杂的多层波导射线光学理论不便 于应用，或只能得出粗糙的结果。一般而言，若想全面、正确地分析各种结构的 光波导的模式特性，还必须采用波动理论。
x
10
上包层
b8
6
波 导芯
4
2
00
0
下包层
2
4
ε =n2
3
3
ε =n2
1
1
y
ε =n2
2
2
6
8
10
x
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
ε =n2 ε =n2
3
3
2
2
8
10
ε(x)
ε =n2
1
1
图 4-1 三层平板波导的横截面图及相对介电常数分布，ε1 > ε2 ≥ ε3，当ε2 = ε3时 为对称三层平板波导，当ε2 ≠ ε3时为非对称三层平板波导。
12
= 2 arctan γ 3 γ1
= 2 arctan T3
(4.2-9) 4.2.2 TM 模的全反射相移 TM 模的反射系数公式为
r = E' = n1 cosθ2 − n2 cosθ1 E n1 cosθ2 + n2 cosθ1
(4.2-10) 光在下界面发生全反射时，上式(4.2-3)代入式(4.2-10)得到
4.2.1 TE 模的全反射相移 TE 模的反射系数公式为
r = E' = n1 cosθ1 − n2 cosθ2 E n1 cosθ1 + n2 cosθ2
(4.2-2) 式中 E、E' 分别为入射场强和反射场强。光在下界面发生全反射时，利用式(4.1-1) 和(4.2-1)可得
( ) ( ) cosθ2
(4.1-15) 4.1.5 禁区 如果入射角θ1增大到 90°，则光将沿z方向前进，此时导模的有效折射率N =
n1，传播常数 β = k0n1 ，这是导模最大可能的传播常数。对于组成波导的各层介
质都是线性的情况，N > n1或 β > k0n1 的区域为禁区，代表不存在模式的区域。 4.1.6 表面模 对于某些特殊结构的波导，如金属包层波导和非线性波导，会出现其有效
本章将应用射线光学的基本理论对三层平板波导加以分析，目的是对波导 的导波原理和与之相关的某些物理概念为读者给出直观的物理意义和清晰的理 解，并为以后运用波动光学理论分析各种结构光波导的模式特性打好基础。
§4.1 模式类型
我们把波导中所能传输的电磁场型称为波导的模式，在平板波导中存在两 种基本模式，一种称为 TE 模，另一种称为 TM 模。两种模式用光的电场和磁场 的偏振方向来定义比较直观。选择电场只沿平行于波导界面的方向偏振，此时电 场垂直于光的传播方向，是横向的，因而把这种模式称为横电模，英文为
现来研究三层平板波导，其横截面和相对介电常数分布如图 4-1 所示，光 沿垂直纸面的z方向传输，图中b为波导芯厚度，ε1、ε2、ε3分别为芯层、下包层 和上包层的相对介电常数，相应的折射率分别为n1、n2、n3，它们与相对介电常 数 的 关 系 为 ε1 = n12 、 ε 2 = n22 、 ε 3 = n32 。 为 了 分 析 方 便 ， 常 令 ε1 > ε 2 ≥ ε 3 ， 或
Transverse Electric Mode，取其字头称为 TE 模。选择磁场只沿平行于波导界面的 方向偏振，此时磁场垂直于光的传播方向，是横向的，因而把这种模式称为横磁 模，英文为 Transverse Magnetic Mode，取其字头称为 TM 模。根据模式的导波 性或辐射性，可进一步把模式分为导引模式和辐射模式，前者简称导模，而后者 简称辐射模。
n1 > n2 ≥ n3 。当上下包层为同一种介质时， ε 2 = ε3 ，此时为对称三层波导，当上
下包层为两种不同的介质时， ε2 ≠ ε3 ，此时为非对称三层波导。令光沿z方向传
输，光在y方向不受限制。下面我们对非对称三层波导进行分析，即 ε1 > ε 2 > ε 3 、
n1 > n2 > n3 。对于对称三层波导，只要在分析结果中令 n2 = n3 即可。
( ) ⎡
= exp⎢−
jθ1
−
n
2 2
12 ⎤ ⎥
⎢⎣
n1 cosθ1
⎥⎦
= exp(− j2φ12 )
(4.2-4) 上式表明，光在下界面发生全反射时，反射光和入射光之间产生一个相移−2φ12， 其中
( ) 2φ12
= 2 arctan
n12 sin 2 θ1 − n22 n1 cosθ1
arcsin n2 n1
= θ12
< θ1
(4.1-13) 由上式还可把产生导模的条件写为
n2 < N = n1 sinθ1 < n1
(4.1-14)
n 3
10
8
θ
1
n6 1
4
θ
2
1
n0
2
0
2
4
6
8
10
图 4-4 导模
上式两端同乘以真空中波数k0，产生空间辐射模的条件又可写为 k0n2 < β = k0 N < k0n1
θ2 和θ3也随之增大。当θ3增大到 90°时，光在上界面上发生全反射。如果入射角 θ1继续增大，使得θ2也增大到 90°时，光在下界面上也要发生全反射。光发生全 反射时的入射角称为临界角。由式(4.1-3)可得到光在下、上两个界面上发生全反 射时的临界角θ12、θ13分别为
θ 12
=
arcsin
n2 n1
( ) 2φ12 = 2 arctan
n12
sin
2
θ1
−
n
2 2
n1 cosθ1
12
= 2 arctan γ 2 γ1
= 2 arctan T2
(4.2-8) 同理，光在上界面发生全反射时的也要产生一个相移−2φ13，其中
( ) 2φ13
= 2 arctan
n12 sin 2 θ1 − n32 n1 cosθ1
4.1.1 折射定律和全反射 光在波导中传输时，从射线的角度来看，要不断地在波导的两个界面上发
生反射和折射，如图 1-2 所示。反射光的轨迹在芯层中是一个锯齿波。令入射角 为θ1，在下界面的折射角为θ2，在上界面的折射角为θ3。当入射角θ1较小时光在 上下两个界面上都不发生全反射，此时光在上下两个界面上的折射满足折射定律
折射率大于n1、传播常数大于 k0n1的情况。这种N > n1或 β > k0n1 的模式称为表面 模。
§4.2 全反射相移
光在波导界面上发生全反射时，入射角大于临界角。以下界面为例，有
arcsin n2 n1
= θ12
<θ1
或
n22 − n12 sin 2 θ1 < 0
(4.2-1) 下面我们分别讨论 TE 和 TM 模由全反射而引起的相移。
(4.2-7a)
( ) ( ) γ 2 = k0 N 2 − n22 1 2 = k0 n12 sin 2 θ1 − n22 1 2
(4.2-7b)
( ) ( ) γ 3 = k0 N 2 − n32 1 2 = k0 n12 sin 2 θ1 − n32 1 2
(4.2-7c) 代入式(4.2-5)则有
=
1 − sin 2 θ 2
1
2
=
⎜⎜⎝⎛1 −
n12 n22
sin 2 θ1 ⎟⎟⎠⎞1 2
=
1 n2
n22 − n12 sin 2 θ1 1 2
( ) = j n2
n12
sin 2 θ1
−
n
2 2
12
(4.2-3) 上式说明发生全反射时折射角θ2变为虚数。上式代入式(4.2-2)得到
( ) r = E' = n1 cosθ1 − j n12 sin 2 θ1 − n22 1 2 ( ) E n1 cosθ1 + j n12 sin 2 θ1 − n22 1 2