常见不等式的解法(教师版)一、一元一次不等式 解下列关于x 的不等式1、2x+3>52、-2x+5<63、ax>14、不等式3(x +1)≥5x -9的正整数解是_________5、已知关于x 的不等式(3a -2)x +2<3的解集是41->x ,则a =______.二、一元二次不等式1、22x ≥ 2、2(1)2x -< 3、x 2+x -2≤4 4、若0＜a ＜1，则不等式(x -a )(x -a 1)＜0的解是______.a ＜x ＜a 15、已知不等式022>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ，则b a +的值为______.-146、不等式2x 2-3|x |-35>0的解为______..x <-5或x >57、方程实数根，有两个不相等的 0122=+++m x m mx )(则实数m 的取值范围是______.041≠->m m 且8、不等式02≤++n mx x 的解集是{}32≤≤-x x |，则m = __，n = __.-1;-69、函数的定义域为22--=x x x f )(______________{2≥x x 或}1-≤x10、对于任意实数x ，一元二次不等式(2m -1)x 2+(m +1)x +(m -4)＞0恒成立，则实数m 的取值范围是______. m ＞511、函数()f x =R ，则a 的取值范围是_________ 【0,8】1）标准化：移项通分化为()()f xg x>(或()()f xg x<)；()()f xg x≥(或()()f xg x≤)的形式，2）转化为整式不等式（组）()()0 ()()0()()00()0 ()()f xg xf x f xf xg xg xg x g x≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩；1. 不等式22231372x xx x++>-+的解集是 2. 不等式3113xx+>--的解集是3. 不等式2223712x xx x+-≥--的解集是 4. 不等式1111x xx x-+<+-的解集是5. 不等式229152x xx--<+的解集是 6. 不等式2232712x xx x-+>-+的解集是7. 不等式2121x xx+≤+的解集是 8. 不等式2112xx->-+的解集是9. 不等式23234xx-≤-的解集是 10. 不等式2212(1)(1)xx x-<+-的解集是答案1. 2. (-2，3)3. 4.5. 6. 7. 8. (1，2)9. 10.无理不等式一般是指在根号下含有未知数的不等式，今天我们主要研究在二次根号下含有未知数的简单的无理不等式的解法。

题型Ⅰ：⎪⎩⎪⎨⎧>⇒⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)()0)(()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型 例一 解不等式0343>---x x解：移项：343->-x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≥≥⇔⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-⇔2133434303043x x x x x x x ∴3≥x ∴不等式的解集是：{3|≥x x } 练习一：解不等式⑴0231≤---x x ⑵125->-x x解：⑴移项：231-≤-x x∴⎪⎩⎪⎨⎧≥≤⇒⎩⎨⎧-≥-≥-43112301x x x x x ∴143≤≤x ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤143|x x ⑵⎩⎨⎧<≥⇒⎩⎨⎧->-≥-2112501x x x x x ∴21<≤x ∴原不等式的解集为{21|<≤x x } 例二 解不等式 125->-x x解：原不等式的解集等价于下面两个不等式组解集的并集：Ⅰ：⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)1(2501025x x x x 或 Ⅱ：⎩⎨⎧<-≥-01025x x 解Ⅰ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≥≤22125x x x 解Ⅱ：⎪⎩⎪⎨⎧<≤125x x即：21<≤x 或 1<x ∴2<x ∴原不等式的解集为{2|<x x } 题型Ⅱ：⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型练习二：解不等式x x x 211322+>+-解：原不等式的解集等价于下面两个不等式组解集的并集：Ⅰ：⎪⎩⎪⎨⎧+>+-≥+≥+-222)21(1320210132x x x x x x 或 Ⅱ：⎩⎨⎧<+≥+-02101322x x x解Ⅰ：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≥≤≥02721211x x x x 或 解Ⅱ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<≤≥21211x x x 或 即：021<≤-x 或 21-<x ∴0<x ∴原不等式的解集为{0|<x x }四、含绝对值的不等式的解法 (一)、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。

a x >与a x <型的不等式的解法。

当0>a 时，不等式>x 的解集是__________________ 当0<a 时，不等式a x >的解集是________________ 不等式a x <的解集是________________ 不等式a x <的解集是________________例1 解不等式32<-x 答案为{}51<<-x x 。

(二)、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩去掉绝对值再解。

例2.解不等式22x xx x >++。

解:原不等式等价于2xx +＜0⇔x(x+2)＜0⇔-2＜x ＜0。

(三)、平方法:解()()f x g x >型不等式。

例3、解不等式123x x ->-。

解:原不等式⇔22(1)(23)x x ->-⇔22(23)(1)0x x ---<⇔(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0⇔(3x-4)(x-2)<0 ⇔423x <<。

(四)、零点分段法：即通过合理分类去绝对值后再求解。

例4 .解不等式125x x -++<。

解:当x ＜-2时，得2(1)(2)5x x x <-⎧⎨---+<⎩解得：23-<<-x当-2≤x ≤1时，得21,(1)(2)5x x x -≤≤⎧⎨--++<⎩解得：12≤≤-x当1>x 时，得1,(1)(2) 5.x x x >⎧⎨-++<⎩ 解得：21<<x综上，原不等式的解集为{}23<<-x x 。

(五)、几何法：即转化为几何知识求解。

例5 对任何实数x ，若不等式12x x k +-->恒成立，则实数k 的取值范围为 ( )(A)k<3 (B)k<-3 (C)k ≤3 (D) k ≤-3分析:设12y x x =+--，则原式对任意实数x 恒成立的充要条件是min k y <，于是题转化为求y 的最小值。

解:1x +、2x -的几何意义分别为数轴上点x 到-1和2的距离1x +-2x -的几何意义为数轴上点x 到-1与2的距离之差，如图可得其最小值为-3，故选（B ）。

（六）、巩固练习 1、设函数)2(,312)(-++-=f x x x f 则＝ ;若2)(≤x f ，则x 的取值范围是 .2、不等式121≥++x x 的实数解为 ．3、若不等式62<+ax 的解集为()1,2-，则实数a 等于 （ ）.A 8 .B 2 .C 4- .D 8-4、()1对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是 ；()2对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是 ； ()3若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a 的取值范围是 ；5、不等式x x 3102≤-的解集为（ ）.A {|2x x ≤≤ .B {}|25x x -≤≤ .C {}|25x x ≤≤ .D {}|5x x ≤≤6、解不等式：221>-+-x x7、方程x x x x x x 323222++=++的解集为 ，不等式xxx x ->-22的解集是 ； 8、不等式x 0)21(>-x 的解集是（ ）.A )21,(-∞ .B )21,0()0,( -∞ .C ),21(+∞ .D )21,0(9、不等式1|1|3x <+<的解集为（ ）..A (0,2) .B (2,0)(2,4)- .C (4,0)- .D (4,2)(0,2)--（参考答案）1、 6 ； ∅ ；2、)23,2()2,(----∞ 3、C4、⑴ 3<a ； ⑵ 4>a ； ⑶ 7>a ；5、C6、⎭⎬⎫⎩⎨⎧><2521x a x x 或 7、{}023>≤<-x x x 或；{}02<>x x x 或 8、C 9、D2x常见不等式的解法(学生版)一、一元一次不等式 解下列关于x 的不等式1、2x+3>52、-2x+5<63、ax>14、不等式3(x +1)≥5x -9的正整数解是_________5、已知关于x 的不等式(3a -2)x +2<3的解集是41->x ,则a =______.二、一元二次不等式1、22x ≥ 2、2(1)2x -< 3、x 2+x -2≤4 4、若0＜a ＜1，则不等式(x -a )(x -a 1)＜0的解是______.5、已知不等式022>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ，则b a +的值为______.6、不等式2x 2-3|x |-35>0的解为______.7、方程实数根，有两个不相等的 0122=+++m x m mx )(则实数m 的取值范围是______.8、不等式02≤++n mx x 的解集是{}32≤≤-x x |，则m = __，n = __.9、函数的定义域为22--=x x x f )(______________10、对于任意实数x ，一元二次不等式(2m -1)x 2+(m +1)x +(m -4)＞0恒成立，则实数m 的取值范围是______.11、函数()f x =R ，则a 的取值范围是_________1. 不等式22231372x xx x++>-+的解集是 2. 不等式3113xx+>--的解集是3. 不等式2223712x xx x+-≥--的解集是 4. 不等式1111x xx x-+<+-的解集是5. 不等式229152x xx--<+的解集是 6. 不等式2232712x xx x-+>-+的解集是1. 2. (-2，3)3. 4.5. 6.无理不等式一般是指在根号下含有未知数的不等式，今天我们主要研究在二次根号下含有未知数的简单的无理不等式的解法。