3、平面曲杆：轴线为一条平面曲线的杆件。
4、平面曲杆内力图规定
弯矩图：使轴线曲率增加的弯矩规定为正值；反之为负值。 要求画在曲杆轴线的法线方向，且在曲杆受压的一侧。 剪力图及轴力图：与平面刚架相同。
B
y
ql
ql 2 2
B FN(y)
M(y)
FS(y) q
y
ql
ql 2
2
例1 已知平面刚架上的均布载荷集度 q,长度l。
例1 作图示外伸梁的FS、 M图。
解：1、求支座反力
ΣMA=2q+6×30-60-4FB=0 FB=35 kN
ΣFy=2q+FA+FB-30=0 FA=-25 kN
2、画FS、M图 从左起，计算控制点的FS、 M 值。 由微分关系判断线形。
3、检查图形是否封闭。
q=10kN/mM=60kN·m 30kN
2、计算控制点的FS、M值， 由微分关系判断图形。
FS 0.5qa
O
0.5qa M qa 2/8
x 1.5qa
3、检查图形是否封闭。
O
特点：铰链传力不传力偶矩，与铰 相连的两横截面上，M = 0 , FS 不 一定为零。
0.5qa 2
qa2 x
2qa 2 2.5qa
2
材料力学 §4-6 平面刚架和曲杆的内力图
例2 图示简支梁受集中荷载F 作用。试作梁的剪力 图和弯矩图。
aF
b
A
B
x
C
FA
l
FB
解：1、求支反力
FA
=
Fb l
FB
=
Fa l
2、列剪力方程和弯矩方程
——需分两段列出
aF
A
x
C
FA
l
AC段
M(x)
A
FA
x
FS(x)
FS(x) =
− FB
=
−
Fa l
(a < x < l)
M
(x)
=
FB
(l
−
x)
3、计算控制点处FS、M 值； 4、依据微分关系判定控制点间各段 FS、M图的形 状，连接各段曲线。
材料力学
控制点处FS、M 值的计算方法：
¾ 利用特殊点的内力值（截面法）来定值； ¾ 利用剪力、弯矩与分布荷载间积分关系定值。
积分关系：
Q
dFs (x
dx
)
=
q(x
)
∫ ∫ ∴
Q2 Q1
dFs
(
x)
FB
=
Me l
(↓)
2、列剪力方程和弯矩方程
a
b
A
B
x
C
FA
l
FB
剪力方程无需分段：
FS ( x )
=
FA
=
Me l
(0
<
x
<
l)
M(x)
M(x)
A
B
FA
x
FS(x)
FS(x)
FB
弯矩方程——两段：
AC段： CB段：
M
(x)
Ax − M e
ex =−
M l
(0 ≤ x <
q=const.>0 FS>0 FS<0
q=const.<0 FS>0 FS<0
集中力(偶)
FS图 M图
突变 转折
无变化 突变
材料力学
三、简易法作内力图：
基本步骤： 1、确定梁上所有外力（求支座反力）； 2、根据载荷及约束力的作用位置，确定控制点；
控制点：端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值 点）等。
∑ Fy = 0 FS (x)+ ql / 2 = 0
FS (x) = −ql / 2 (0 < x < l)
∑ M (x) = 0 M (x)− qlx / 2 = 0
M (x) = qlx / 2 (0 ≤ x ≤ l)
B
ql 2
y
x
2
ql
ql 2 2 ql 2
＋
FN
ql 2
根据各段的内力方程画内力图
C
AD
BE
2 mFA 1m 3mFB 2m
FS/kN20
o
5 M/kN·m 20
15
o
30
x
x
45 60
例2 梁AC、CB在C 处铰接，试作内力图。
解：1、求支座反力
q
qa qa2
MB
研究AC 段： FA =qa/2
A
C
B
研究整体： FB =3qa/2
FA a
a a a FB
MB=qa(3.5a)+qa(2a) -4aFA-qa2=2.5qa2
a)可动铰支座
b)固定铰支座
c)固定端
FRx
MR
FR
FRx
FRy
FRy
材料力学
二、载荷的简化
(a)集中荷载
F1
集中力
M
集中力偶
(b)分布荷载
q(x)
任意分布荷载
q
均布荷载
材料力学
三、静定梁的基本形式
静定梁——仅用静力平衡方程即可求得反力的梁。
(a)悬臂梁
(b)简支梁
(c)外伸梁
超静定梁——仅用静力平衡方程不能求得所有反力的梁。
=
x2 q(x)dx
x1
∫ Fs2 − Fs1 =
x2 q(x)dx
x1
梁上任意两截面的剪力差等于两 截面间分布载荷图形的面积。
Q
dM (x)
dx
=
Fs
(x)
∫ ∫ ∴
M 2 dM (x) =
M1
x2 x1
Fs
( x)dx
∫ M 2 − M1 =
x2 x1
Fs
(
x)dx
梁上任意两截面的弯矩差等于 两截面间剪力图的面积。
2
dM (x) dx
=
Fs
(x)
dM 2(x) dx2
=
q(x)
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
q、Fs和M三者的微分关系：
dM 2 (x) dx 2
=
dFs ( x) dx
=
q(x)
材料力学
二、微分关系的应用---作Fs 图和 M 图（用于定形）
q FS图
M图
q=0 FS>0 FS<0
∑ M (y) = 0 M (y)+ qy ⋅ y / 2 − qly = 0
M (y) = qly − qy2 / 2 (0 ≤ y ≤ l)
B
ql 2
y
x
2
ql
ql 2 2
M(x)
B
FN(x)
ql 2
x FyS(x)
2
横杆CB：C点向左为 x
∑ Fx = 0
FN (x) = 0 (0 ≤ x ≤ l)
=
Fb l
x
M 2 (x)
=
Fa l
(l
−
x)
* 在集中力F
x
作用处，剪力 图有突变，突
变值为集中力
Fab 的大小；弯矩 l 图有转折。
x
材料力学
例3 图示简支梁在C点受矩为Me 的集中力偶作用。 试作梁的剪力图和弯矩图。
a
Me
b
A
C
B
FA
l
FB
解： 1、求支反力
∑MA =0
FA
=
Me l
(↑)
M e − FA × l = 0
e (l − x)
a)
(a
<
x
≤
l
)
3、作剪力图和弯矩图
a
b
A C
l
Me
Fs
l
M
Meb Mea
l
FS (x)
=
Me l
B M (x) = M e x (0 ≤ x < a)
l
M (x) = − M e (l − x)
l (a < x ≤ l)
* 集中力偶作 用点处剪力图
x 无影响，弯矩
图有突变，突 变值的大小等
=
Fa l
(l
−
x)
(a ≤ x ≤ l)
b
B
FB
FS (x )
=
Fb l
(0 < x < a)
M (x) = Fb x (0 ≤ x ≤ a)
l
M(x) CB段 B
FS(x)
FB
3、作剪力图和弯矩图
aF
b
A
x
C
FA
l
Fb
FS
l
Fb l
M
FS1 (x) =
Fb l
B
FS2
(x)
=
−
Fa l
FB
M1(x)
q(x)dx = dFs (x)
dFs (x) = q(x)
dx
剪力图上某点处的切线斜率等 于该点处荷载集度的大小。
材料力学
q(x)
M(x)
Fs(x)+dFs (x) A
Fs(x) dx M(x)+d M(x)
∑r
M A (Fi ) = 0 ,
[M (x) + dM (x)] - Fs (x)dx − M (x) − 1 q(x)(dx)2 = 0
=
30kN
⋅
m
FS2
FB
说明：
求截面FS和M 时，均按规定正向假设。