【作业6】在一个部门的25个人中间，由于意见不
同，是否可能每个人恰好与其他5个人意见一致？ 分析：考虑一个图，其中顶点代表人，如果两个人 意见相同，可用边连接，所以每个顶点都是5度。 解：令 25 个人分别为 v1 v2 …v25 . 则 degv1 = degv2 =…= degv25 =5 degv1 + degv2 +…+degv25 =125 是奇数 但在任何图中, 度数为奇数的结点必定是偶数， 所以是不可能的。
【作业5】求出下列各图的补图？
测试题
【测试题1】
a)画出无向完全图K4 和K6 并求出它们的边数。 b)画出完全二部图K4,2 ,和K3,3 并求出它们的边数。
【测试题2】
a)判断下列各图是否是（1）图的生成图、导出图或补图？ b)画出（1）图的补图，并求出完全图K5的边数。
例：G1是无向图，deg(v1)=3，deg(v2)=1
G2是有向图，deg+(v1)=3，deg-(v1)=2，
deg(v1)=5，
v1 v2 v1
G2
v2
v3
G1
d(v1)＝3(注意，环提供2
度)， v2是悬挂顶点，
v4
【作业4】求下列各图顶点的度数
【注意】d-(a)＝4，d+(a)＝1
(环e1提供出度1，提供入度1) d(a)＝4+1＝5。
【说明】无向完全图：每一条边都是无向边不
含有平行边和环，每一对顶点间都有边相连。
完全图举例
K5
3阶有向完全图
4阶有向完全图
n阶无向完全图的边数为：
n(n-1)/2
【作业2】画出无向完全图K3 ,K4 和K6 并求出
它们的边数。
（3）二部图与完全二部图
【二部图】；设无向图 G＝<V,E> ，若能将 V 分 成 V1 和 V2 ， (V1∪V2＝V,V1∩V2＝ ) ，使得 G 中 的每条边的两个顶点一个属于 V1，另一个属 于V2，则称G为二部图。 【完全二部图】若G是简单二部图，V1中每个顶 点均与V2中所有顶点相邻，则称G为完全二部 图，记为Kr,s，其中r＝|V1|，s＝|V2|。 完全二部图Kr,s的边数为r×s。
试求此图所有边的和。 （ 2） 已知图G=<V,E>的所有边的和为75，试求此 图所有顶点度数之和。 （3）如果图G=<V,E>的所有顶点度数之和为129， 是否能构成图论中的图？
【定理2】 在任何图中, 度数为奇数的结点
必定是偶数个。
【证明】：设G中奇数度结点集合为V1,偶数度结点集
合为V2，则有： deg(v)+ deg(v) = deg(v) =2|E| vV1 vV2 v V 由于 deg(v)是偶数之和必为偶数，而2|E|是偶数， vV2 故得 deg(v)是偶数，而各个deg(vi) (viV1 )是奇数， vV1 这就要求偶数个deg(vi)求和，即|V1|是偶数。
【定理1】 设G＝<V,E>为任意无向图，V＝ {v1,v2,…,vn}， n |E|＝m，则
d (v ) 2 m
i 1 i
证明 因为每条边必关联两个结点，而一条边 给予关联的每个结点的度数为1。因此在每个图 中，结点度数总和等于边数的两倍。
【作业5】
（1） 已知图G=<V,E>的所有顶点度数之和为108，
上海
(2)哥尼斯堡有七坐桥:A，B，C，D为陆地。
C
A
B
D
（3）某一城市的交通枢纽如图所示： 当4号线通行时，1，2和3号线均不能通行， 但5号线不受影响； 当5号线通行时，1号和2号线不能通行，但3 号和4号线不受影响。
5
1 2 4
3
顶点的度数
【定义1】在在无向图中，图G=<V，E>，vV，
(2) 给定有向图D=<V,E>，其中 V＝{a,b,c,d}， E＝{<a,a>,<a,b>,<a,b>,<a,d>,<c,d>,<d,c>,<c,b>}。
(1) (2)
【作业2】画出列各图。
(1)G=<V，E>是无向图，其中V={V1，V2，V3，V4，V5，V6}，E={e1， e2 ，e3 ，e4 ，e5 ，e6 }， e1=(V1，V3)，e2=(V1，V4)，e3=(V3，V4)，e4=(V3，V6)，e5=(V4， V5)，e6=(V5，V6)
离散数学
第3章 图论
无向图和有向图
【定义】一个无向图是一个有序的二元组<V，E>,记
作G=<V，E>, ，其中 （1）V≠称为顶点集，其元素称为顶点。 （2）E称为边集，其元素称为无向边，简称边。 【定义】 一个有向图是一个有序的二元组<V，E>， 记作D=<V，E>，其中 （1）V≠称为顶点集，其元素称为顶点。 （2）E为边集，它是笛卡儿积V×V的多重子集， 其元素称为有向边，简称边。
【测试题】
【测试1】画出下列各图。
(1) 给定无向图G＝<V,E>，其中 V＝{v1,v2,v3,v4} E={(v1,v1),(v1,v2),(v2,v3),(v2,v3),}.
(2) 给定有向图D=<V,E>，其中 V＝{a,b,c,d}， E＝{<a,a>,<a,b>,<a,b>,<a,d>,<c,d>,<d,c>,<c,b>}。
(2)G=<V，E>是有向图，其中V={V1，V2，V3，V4}，E={<V3， V1>，<V3，V2>，<V1，V1>，<V1，V2>， <V4，V1>，<V3，V4>，<V4，V3>} (3)G=<V，E>是有向图， V={V1，V2，V3，V4}， E={<V1，V1>，(V1，V3)，<V3，V1>，<V1，V2>，(V4，V2)}
图论中的图用小圆圈（或实心点）表示顶点，用顶点 之间的连线表示无向边，用有方向的连线表示有向边 说明 。点没有大小之分，线没有长短之分。 图论中的图如果有n个顶点，称此图为n阶图。
【作业1】画出下列各图。
(1) 给定无向图G＝<V,E>，其中 V＝{v1,v2,v3,v4,v5} E={(v1,v1),(v1,v2),(v2,v3),(v2,v3),(v2,v5),(v1,v5),(v4,v5)}.
此图所有边的和。
【测试5】在一个部门的20个人中间，由于意见不同，是否
可能每个人恰好与其他5个人意见一致？
特殊的图
（1）简单图：不含平行边和环的图称为简单图。
【作业1】判断下列各图哪些是简单图？
（4）
（3）
（2）完全图
完全图：在简单图G=<V，E>中，若每一对顶点
间均有边相连，则称该图为完全图。有n个顶 点的无向完全图记为Kn。
【测试2】将下列现实问题转化为图论中的图
某一城市的交通枢纽如图所示： 当4号线通行时，1，2和3号线均 不能通行，但5号线不受影响； 当5号线通行时，1号和2号线不 能通行，但3号和4号线不受影响。
5
4
1
2 3
【测试3】求下列各图顶点的度数
【测试4】已知图G=<V,E>的所有顶点度数之和为96，试求
成为完全图的添加边组成的图，称为G的相对于完全图的补 图，或简称为G的补图，记为G‵。即G=<V，E1>，G‵=<V， E2>，其中E2={(u，v)u，vV，(u，v)E1}。
v1 v5 v2 v3 (a)完全图K5 v4 v2 v3 (b)图G v4 v1 v5 v1 v5
v2
v3 v4
(c)图G的补图G’
【说明】：
(1)很多现实问题可以转化为图论中的图模型。 (2)为了建立图论中的一个图模型，需要决定顶 点和边分别代表什么。 (3)在一个图论中的图模型中，边经常代表两个 顶点之间的关系。
【作业3】将下列现实问题转化为图论中的图
（1）已知铁路交通图如下：
北京 天津 济南 郑州 徐州
连云港
青岛
南京 武汉
生成子图及导出子图举例
在上图中，设G为(1)中图所表示， 取V1＝{a,b,c}，则V1的导出子图G[V1]为(2)中图所示。
取V2＝{a,b,c,d}，则图(3)为G为的生成子图。
【作业4】判断下列各图哪些是无向完全图K6的生成
子图以及K6的导出子图？
（5）相对于完全图的补图
【定义】：给定一个简单图G，由G中所有顶点和所有能使G
【作业3】画出完全二部图K3,2 ,和K4,5 并求出
它们的边数。
（4）子图
设两个图(同为无向图或同为有向图)G＝<V,E>， G＝<V ,E>为若V V且E E，则称G是G的子 图，G为G 的母图，记作G G。 a)若V V或E E，则称G 为G的真子图。 b)若V ＝V，则称G 为G的生成子图。 c)设G＝<V,E>为一图，V1V且V1≠，称以V1为 顶点集，以G中两个端点都在V1中的边组成边集 E1的图为G的V1导出的子图，记作G[V1]。
与顶点v关联的边数称为该顶点的度数，记为 deg(v)。
【注意】孤立顶点的度数为0。度数为奇数的顶点 称为奇度顶点；度数为偶数的顶点称为偶度顶点。
出度与入度
【定义2】在有向图中，vV，
以v为终点的边数称为该结点的入度，记作deg+(v);
以v为始点的边数称为该结点的出度，记作deg-(v)。