第24届北京市高中力学竞赛决赛试题（北京四中杯）一、填空题（6小题，每小题9分，共54分）1. 如图1所示，一根长绳悬吊在定滑轮的两侧，体重相同的甲、乙两人分别抓住绳的一端，甲身体虚弱只能紧紧抓住绳不放，乙身体强壮能用力牵引自己沿绳向上爬行. 经过一段时间，乙上升的高度为h，在这段时间内甲上升的高度_______（填小于、等于或大于）h，原因是.2. 如图2所示，一个弹簧称上端固定，下端用一根竖直线向下拉弹簧秤，线下端固定，弹簧秤示数为4N. 如果弹簧秤下端悬吊一重为1N的重物，则弹簧秤示数为_____N，理由是____________________________________________.图1 图 2 图 33. 两个物体各重1m 和2m ,用不可伸长绳连接，此绳跨过一定滑轮，滑轮半径为r .如图3所示，开始时，两物体高度差h , 12m m ,不计滑轮质量和摩擦.由静止释放，问两物体达到同一高度所需时间____________.4. 如图4所示，从同一高度的A 、B 处垂下两根长度相同的绳，绳下端分别站有质量相同的甲、乙两人，甲旁的绳可认为不可伸长，乙旁的绳有明显的弹性，当两人分别沿绳爬到A 、B 处时，比较两人做功的多少的结论是________________,理由是______________________________________________________________.5. 我们可近似认为地球绕太阳做匀速圆周运动，月球绕地球做匀速圆周运动，它们的运动轨迹在同一个面上，以太阳为参考系，月球的运动轨迹可粗略画成如图5所示的虚线，这种画法______ （填正确或错误），理由 _____________________________________________.6. 如图6所示，长为L 的一段细线，一端固定在光滑水平面上的0点，另一端栓住一质量为m 的小物体. 开始时，物体距O 点为b ，b ﹤L ，给物体一个初速度0v ,θ已知. 当物体运动到距0点为L 时线绷紧，物体绕0点做半径为L 的圆周运动，此时线的张力等于 ____________.图 4图 5图 6 O二、计算题（共96分） 7. （15分）悬臂架的端部A 和C 处有套环，恰好套在铅垂的圆柱上，可以上下移动. 如果在AB 上作用铅垂力F ，如图7所示，当F离开圆柱较远时，悬臂架将被圆柱上的摩擦力卡住而不能移动.设套环与圆柱间摩擦系数均为μ,架重不计，求：悬臂架不至于被卡住时，铅垂力F离圆柱的最大距离x.图78.（18分）弹性球自高处h 自由落在水平地板上，球从地板上弹起又垂直落下，这样继续弹跳. 如果每次碰撞前瞬间速度v,碰后瞬间速度为'v vv'=-k (0﹤k ﹤1) . 求弹性球行走的路程？（空气阻力不计）9.（18分）一小球斜向上抛出，抛出的初速度与水平方向的夹角为Arrayθ，经过一段时间位移与水平方向夹角为α，速度与水平方向的夹角为β,不计空气阻力，则θ与α、β之间的关系表达式是什么？10.（20分）2011年3月11日日本发生9级大地震，地震引发海啸，导致福岛核电站发生核泄漏. 在核泄漏中，有四种放射性同位素是对人体比较有危险的：碘-131、铯-137、锶-90、钚-239. 它们放出高能量粒子会对人体造成伤害，导致人体细胞癌变. 人体细胞可以看作质量为M的小球，两细胞间的链接物可看作轻杆（设长度为l），如图8所示. 当质量为m的高能粒子以速度 垂直于链接物射向人体细胞，与细胞发生正碰并留在细胞里时，忽略人体其它任何影响，试求两细胞的运动规律和链接物受力大小.vm, M图811.（25分）有一颗质量为m 的小星体A . 围绕某质量为M ，半径为R 的大星体作半径为2R 的圆周运动. 从远处飞来一速度为RGMv、质量为2m 的星体B 与A 星迎面发生剧烈正碰后形成一个新的星体C . 假定碰撞前后位置未发生变化.（1）请通过计算判断新的星体C 是否会与大星体发生碰撞.（2）如果B 星从A 星背面恰好沿着A 星的运动方向追上它并发生上述碰撞，请通过计算判断C 是否会与大星体发生碰撞.第21届北京市高一物理竞赛（力学）决赛试题参考答案（北京四中杯）2008年6月1日一、填空题（共30分.第1小题4分；第2、3、4、6小题，每小题5分；第5小题6分） 1．lv 20． 解： 22320l mv l mv l mv += 2l v ω=2．()[]2222)(Rt R g m ββ++．3． πω22Rm ．解：θθ∆≈∆=∆T T F 2sin 2 R m T 2ωθ∆=∆ 4．3102.71.1⨯=月R ．解：地球：mg mg mv 1.1)60.050.0(212=+= 2地地R GM g = 小行星：3221.121021⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===-地星地星星星星星R R M M mg mv R mM G mva地星R R 1.12=m m R R 36107.2106.41.11.1⨯=⨯⨯==地星5．220S Sv h +；2222021h S S mv +；2222042Sh S h v ++．6． 都没有抱起对方，甲对地压力变为N 600，乙对地的压力变为N 650．二、计算题（共70分） 7．（12分）解： 设物体先翻倒，两者同时发生若先滑后翻倒若未滑先翻倒若,2,,2,,2,,22200m axm ax m ax m ax abf f a bf f a bf f mg f abmgf abmg F Fa bmgmg N F f ==<<>>=====-=-μμμμ 另解：假设先滑动，滑动翻倒同时发生时，先翻倒时，未翻倒时，当,22,22,22000abbd a bbd abbd a N Fad Nf mg N f F Fa Nd ==>><<===⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-μμμμμ8．（12分）解：1)()(a m M g m M F +=+-μ S a v t 12= 2112t Sa =2Ma Mg F =-μ 其中：3=mM12t S v t = 3ma mg =-μ所以：144ma mg F =-μ 233ma mg F =-μ 3a g =-μ解出： g t Sg a a μμ+=+=21122 且：3a g =-μ 停止时： 1232t S t a =所以：gt S t μ122=212122422'gt S g t S S μμ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=g t S g t S g t S g t S t t S S 21224123212121142342)2(212'μμμμ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++= 241232122144''g t S gt S S S S μμ+=-=∆ 其中：s t 101= m S 200=计算：m S 1600=∆9．（12分）解：（1）飞船圆运动 hR v m h R Mm G +=+2020)( 发射m 20100)(v m m mv v m -+=发射后Rm m M Gv m m h R m m M G v m m )()(21)()(2102300220---=+--- R v m m h R v m m 3020)()()(-=+-解得： )2)((201h R h R GMRm m m h R GM m m v ++--+=（2） 3232)(22'h R T h R T +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 0)(2v h R T +=π 所以：GMh R T t 2)2(22'3+==π10．（16分）()gM m v gM m g Mm v g M m v t a t a t v D gMm v t v gt Mmv v v t a v t a v gM mg a gm mga mgf m M M m M M m m M m μμμμμμμμμμμ)1(21)1()1(21)1(2121)1(')1('1202222020220000+=++-+=-+=+==+=+==-===== s m D M m g v /25)1(20=+=⇒μ sm D M m g v mgDmM M M v mgD M m v M M m Mv mgD V M m Mv VM m Mv /25)1(22)()()(2121)(2121)(0222202202200=+=⇒=+-=++-=+-+=μμμμ解：由动量守恒，()ta a v v t v v t tt ta v s m a s m a s m v M m M m M m )(225)12(54)12(542520064825.285.21/625.025.041,/5.2,/2252200220220--=--=±=-±=--=-=⨯-===取m S sm V V mgL MV mv MV MV mv MV L mh m S s t s m 45/25212121)(1,41M m 0.2525.145,5.0/25)12(2522512222120210==-=--+========--求出另解：由动量守恒：舍去，若落地时，μμ11．（18分）()()()mL L a aL a aL a L L mgL mgL mgL mgL mgL mgL mv L v mgL mgL mv v mg f 44.62a 2aL L s L :33220.0120.01,L ,20.0,45,cos sin cos sin sin cos cos sin ,2sin cos 21,,,1cos sin 21,,cos 22121111112111211=++====+-====+-=+=-+==-==总路程距离为在第二次碰撞后上滑的按同样的道理可知质点得代入并以值代表上式符号右边的数用有上两式得则有若上滑的最大路程为开始沿斜面上滑以速度撞后质点与斜面挡板发生碰则有的速度为一次到达斜面最底端时若质点从斜面最高点第摩擦力为：面滑动过程中，受到的如图所示，质点在沿斜μθθμθθμθθθμθμθθθμθμθθμ草 稿 纸。