数学分析三习题答案【篇一：《数学分析》第三版全册课后答案 (1)】class=txt>------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------第页(共)------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------【篇二：数学分析三试卷及答案】lass=txt>一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。
111.求函数f(x,y)??在点(0,0)处的二次极限与二重极限.yx11解：f(x,y)，因此二重极限为0.……(4分)yx1111因为与均不存在，x?0yxy?0yx故二次极限均不存在。
……(9分)zxf(xy),yy(x),2. 设? 是由方程组?所确定的隐函数,其中f和f分别f(x,y,z)?0z?z(x)??dz数,求.dx解：对两方程分别关于x求偏导:dy?dzf(xy)xf(xy)(1)，??dxdx?……(4分)dydz?f?f?fz?0。
xydxdxdzfy?f(x?y)?xf?(x?y)(fy?fx)?解此方程组并整理得.……(9分) dxfy?xf?(x?y)fz3. 取?,?为新自变量及w?w(?,v)为新函数，变换方程2z2zzz。
2?x?x?y?xx?yx?y设??,??,w?zey （假设出现的导数皆连续）.22解：z看成是x,y的复合函数如下：wx?yx?y。
……(4分) z?y,w?w(?,?),??,??e22代人原方程，并将x,y,z变换为?,?,w。
整理得：2w2w2w。
……(9分) 2?4. 要做一个容积为1m3的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 解：设圆桶底面半径为r,高为h,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数: s表?2?rh?2?r2,约束条件: ?r2h?1。
……(3分)构造lagrange函数：f(r,h,?)?2?rh?2?r2??(?r2h?1)。
fr2h4r2rh0,令?……(6分) 2f?2?r??r??0.?hh? 由题意知问题的最小值必存在，当底面半解得h?2r，故有r?径为r?y3高为h?时，制作圆桶用料最省。
……(9分) 25. 设f(y)??e?xydx,计算f?(y).y2解：由含参积分的求导公式y3y322x2yf?(y)2edx2?x2e?xydx?3y2e?xyyyy2x2e?xydx?3y2e?y?2ye?yyy3275x?y32yex2yx?y2……(5分)72?y75?y51y3?x2y ?ye?ye?edx。
……(9分)222y?y2x2y2xy6. 求曲线?2?2??2所围的面积，其中常数a,b,c?0.b?c?axacos,解：利用坐标变换? 由于xy?0，则图象在第一三象限，从而可 y?b?sin?.?2以利用对称性，只需求第一象限内的面积。
,0,0。
……(3分) 2??则v?2??(x,y)d?d??2?2d??0?(?,?)1ab2sincosc0ab?d? ……(6分)ab2sin?cos?d?2?0ca2b2?2 ……(9分)2c.7. 计算曲线积分?3zdx?5xd?,z其中l是圆柱面x2?y2?1与平面y2ydl22，从z轴的正向看去，是逆时针方向. z?y?3的交线（为一椭圆）解：取平面z?y?3上由曲线l所围的部分作为stokes公式中的曲面?，定向为上侧，则?的法向量为cos?,cos?,cos0,。
……(3分)?由stokes公式得cos?cos?cos3zdx5xdy2ydzxyzl3z5x?2y?ds ……(6分)x2y21?2? ……(9分)x2y2z28. 计算积分??yzdzdx,s为椭球2?2?2?1的上半部分的下侧.abcs解：椭球的参数方程为x?asin?cos?,y?bsin?sin?,z?ccos?，其中,且2?(z,x) ?acsin2?sin?。
……(3分) ?(?,?)积分方向向下，取负号，因此，2322yzdzdx??d?bacsin?cos?sin?d2?02?,0……(6分)bac2?sin2?d2sin3?cos?d?2?4abc2……(9分)二。
. 证明题（共3题，共28分）xy322,x?y?0?249.（9分）讨论函数f(x)??x?y在原点(0,0)处的连续性、0,x2y20可偏导性和可微性.解：连续性：当x2?y2?0时，xy2x2?y4yyf(x)?2?y0，当?x,y0,0?， 424x?yx?y22从而函数在原点?0,0?处连续。
……(3分) 可偏导性：fx?0,0??lim f?0??x,0??f?0,0?xx00，fy?0,0??limf?0,0??y??f?0,0?y即函数在原点?0,0?处可偏导。
……(5分)y00，ffxfy3不存在，从而函数在原点?0,0?处不可微。
……(9分)10.（9分）（9分）设f?x,y?满足：（1）在d?x,y?x?x0?a,y?y0?b上连续，（2）f?x0,y0??0，（3）当x固定时，函数f?x,y?是y的严格单减函数。
试证：存在??0，使得在xx?x0??上通过f?x,y??0定义了一个函数y?y(x)，且y?y(x)在??上连续。
证明：（i）先证隐函数的存在性。
由条件（3）知，f?x0,y?在?y0?b,y0?b?上是y的严格单减函数，而由条件（2）知f?x0,y0??0，从而由函数f?x0,y?的连续性得f?x0,y0?b??0， f?x0,y0?b??0。
现考虑一元连续函数f?x,y0?b?。
由于f?x0,y0?b??0，则必存在?1?0使得f?x,y0?b??0， ?x?o(x0,?1)。
同理，则必存在?2?0使得f?x,y0?b??0， ?x?o(x0,?2)。
取??min(?1,?2)，则在邻域o(x0,?)内同时成立f?x,y0?b??0， f?x,y0?b??0。
……(3分) 于是，对邻域o(x0,?)内的任意一点x，都成立固定此x，考虑一元连续函数f?x,y?。
由上式和函数f?x,y?关于y 的连续性可知，存在f?x,y?的零点y??y?b,y?b?使得f?x,y?＝0。
而f?x,y?关于y严格单减，从而使f?x,y?＝0的y是唯一的。
再由x的任意性，fx,y0?b?0， fx,y0?b?0。
证明了对??:?o(x0,?)内任意一点，总能从f?x,y??0找到唯一确定的y与x相对应，即存在函数关系f:x?y或y?f(x)。
此证明了隐函数的存在性。
……(6分)（ii）下证隐函数y?f(x)的连续性。
设x*是??:?o(x0,?)内的任意一点，记y*:?f?x*?。
对任意给定的??0，作两平行线y?y*??， y?y*??。
由上述证明知f?x*,y*0， f?x*,y*0。
由f?x,y?的连续性，必存在x*的邻域o(x*,?)使得f?x,y*0， f?x,y*0， ?x?o(x*,?)。
对任意的x?o(x*,?)，固定此x并考虑y的函数f?x,y?，它关于y 严格单减且f?x,y*0， f?x,y*0。
于是在?y*??,y*内存在唯一的一个零点y使f?x,y??0，即对任意的x?o(x*,?)，它对应的函数值y满足y?y*??。
这证明了函数y?f(x)是连续的。
……(9分)11111.（10分）判断积分??sindx在02上是否一致收敛，并给出证明。
0xx证明：此积分在02上非一致收敛。
证明如下：1作变量替换x?，则t11??110xsinxdx1t2sintdt。
……(3分)3不论正整数n多么大，当t??a?,a2n,2n时，恒有44??sint?。
……(5分)因此，a??1t2??a?a??1sintdt?dt……(7分)2?a?t2??a2??34?2n4??因此原积分在02上非一致收敛。
……(10分) 注：不能用dirichlet判别法证明原积分是一致收敛的。
原因如下：b1尽管对任意的b?1积分?sintdt一致有界，且函数2??关于x单调，但是当1t1x时，2??关于0,2?并非一致趋于零。
事实上，取t?n, 相应地取t11112?，则lim2lim1??1?0，并非趋于零。
1t??n??ntnnlimnnn??0，当??2?时。
4【篇三：数学分析3期末练习题三参考答案】1. 试求极限解2?xy?4.(x,y)?(0,0)xylimlim(x,y)?(0,0)(x,y)?lim(x,y)4 .lim2. 试求极限解由(x,y)?(0,0)lim1?cos(x2?y2)(x?y)e22x2y2.x2?y22sin1?cos(x2?y2)x2?y2lim?lim?x2y22222x2y2(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)x?y2(x?y)ee4()210?02 . 113. 试求极限lim(x?y)sinsin.(x,y)?(0,0)xy2解由于111111lim(x?y)sinsin?lim(xsinsin?ysinsin)(x,y)?(0,0)xy(x,y)?(0, 0)xyxy ,又 x?y,所以21111xsinsin?0limysinsin?0(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)xyxy， , lim所以11lim(x?y)sinsin?0(x,y)?(0,0)xy .xy24. 试讨论lim.(x,y)?(0,0)x2?y4解当点(x,y)沿直线y?x趋于原点时，y?x?0xy2x3lim2?lim2?0x?0x?y4x?0x?x4.当点(x,y)沿抛物线线x?y趋于原点时，2x?y?0 .因为二者不等，所以极限不存在.xy2y41lim2?lim?y?0x?y4y?0y4?y4225. 试求极限解由(x,y)?(0,0)limx2?y2?x?y?122.(x,y)?limlim(x,y)?(0,0)22=(x,y)?(0,0)lim1)?2uu,. xy.6. u?f(x?y,xy),f有连续的偏导数，求解令v?x?y,w?xy, 则ufvfwffyxvxwxvw ufvfwff xwyvywyvdz. 7. z?arctanxy,y?ex, 求dx解由dz1?(y?xy)2dx1?(xy)1ex(1?x)xx(exe)x222x1(xe)1xe.8. 求抛物面 z?2x2?y2在点 m(1,1,3)处的切平面方程与法线方程。