拓扑学教案8
第三章 几种特殊类型的拓扑空间
说明：本章是将教材中“可数性公理”和“分离性公理”两张内容合并在一起，并且将连通性内容放在后面讲，它们之间是独立的。
在前面讨论中已经看到，在度量空间中某些熟知的性质 在一般拓扑空间中可能不存在，这说明：拓扑学借助度量空间中邻域概念作为公理时，它只概括了度量空间上的最基本性质，而不能概括全部性质，因此，人们提出了另外一些公理来弥补原有公理体系的不足。
本章介绍两个可数性公理和四个较常见的分离公理123,,T T T 和4T 公理。
§ 3-1 第一与第二可数公理
基、局部基对于确定X 上的拓扑，以及验证映射的连续性等都有重要意义。
而基、局部基中成员越少，讨论就越方便。
所以，我们试图通过对基或局部基成员加以限制，形成一类较简单的空间。
定义1 若拓扑空间的基或局部基是可数集族，则分别称可数基和可数局部基。
解释：此处可数是指基或局部基中成员数目是可数的，不是指成员本身是可数集。
定义2 拓扑空间X 在它的每一点处都有可数局部基，则称X 为满足第一可数性公理的空间，简称为1C 空间。
定义3 如果拓扑空间X 有可数基，则称X 为满足第二可数性公理的空间，简称为2C 空间。
例1 （1C 空间的例子）
结论：每个度量空间都是1C 空间（τ为度量诱导的拓扑）。
解释：因为，设(,)x X d ∈，记
1
{(,)}x B x n N n =∈B （注：1(,)B x n 为半径1
n
的球形邻域） 则x B 为x 的邻域族。
设U 是x 的任一邻域（即，以x 为内点的集合），则存在0ε>，使得(,)B x U ε⊂。
因此，x B 为x 处的局部基，且是可数的集族。
即X 是1C 空间。
例2 （非1C 空间的例子）
结论：设X 为不可数无穷集，{C
C A
A τ=是X 的可数子集}{}⋃∅ 为X 上的余可数拓扑，
(,)C X τ为拓扑空间，则X 不满足1C 公理。
解释：首先，对于x 的每一邻域x U （即C τ中的开集），C
x U 是可数集。
利用反证法。
现设x V 是点x 处的可数局部基，由于对X 中每一个异于x 的点y ，有{}C
y 是x 的邻域（因为，{}y 是X 的可数集），故必存在y x V ∈V 使得{}C
y V y ⊂，即{}C
y y V ⊂。
于是，异于x 的全体{}C
y x =，有
{}x x
C
C C
y
x
y x
U x V
U
≠∈⊂
⊂
V
在上式中，左侧{}C
x 是不可数集，而右侧是可数个可数集的并，仍是可数集，而不可能有
“可数集⊃不可数集”
故而是矛盾的，即说明x V 的可数局部基假设是错误的，即X 不满足1C 公理。
例3 （2C 空间的例子） 结论：实数空间R 是2C 空间。
解释：令B 为所有以有理数为端点的开区间构成的集族，可知B 是可数族，并且可以证明B 是
R 的基（留给同学自己证明）。
故R 满足第二可数公理。
例4 （非2C 空间的例子）
结论：设X 为不可数无穷集，(,)X τ是离散拓扑空间，则(,)X τ不是2C 空间。
解释：设 (,)X τ是离散拓扑空间，X 为不可数无穷集。
可知，所有单点集{}x 都属于τ。
又由于单点集不能表示成异于自身的其他τ中成员的并，故单点集必属于基B 中成员。
由于X 为不可数无穷集，则单点集不是可数的。
即，(,)X τ不是2C 空间。
定理1 2C 空间一定也是1C 空间。
事实上，若X 有可数拓扑基B ，则任意点x 有可数局部基{,}B B x B ∈∈B 。
分析： X 是2C ⇒X 是1C ； 反之，X 是1C ⇒X 是2C
X 不是1C ⇒X 不是2C ； 反之，X 不是2C ⇒X 不是1C
例如，任一离散空间X （X 是不可数集），对于每一x X ∈，单点集{}x 就是x 处的局部基（只含{}x 的一个成员，则是可数的），所以满足第一可数性公理；
又由例4知，X 不满足第二可数性公理。
定理2 可分的度量空间是2C 空间。
（注释：若X 存在可数稠密子集，称X 是可分的） 证明： 若(,)X d 是可分的度量空间，A 是它的一个可数稠密子集，记 1
{(,),B a a A n n
=∈B 为自然数}
则B 是一个可数的开集族。
因为a A ∈可数，1N n ∈可数，故1(,)a n
可数。
下面证明B 是(,)X d 的拓扑基。
提示：只要证明X 上的任何开集U 及x U ∈，总存在a A ∈（可数稠密集）和自然数n ，使得1(,)x B a U n
∈⊂。
（如右图所示）
取0ε>，使得(,)B a U ε⊂，取2
n ε
>，a A ∈，使得1
(,)d x a n
<
，则1(,)x B a n
∈。
若1()(,)y y x B a n ≠∈，则1(,)d a y n <
，由三角不等式，有2
(,)d x y n
ε<<，从而(,)y B x ε∈（说明：1
(,)B a n
不仅是x 的局部基，而且是其中任何点的局部基，即是X 的基成员）。
于是
1(,)(,)B a B x U n
ε⊂⊂ 而1(,)B a n
∈B ，即B 是X 的可数基。
定义4 设:f X Y →为拓扑空间X 到Y 中的映射。
如果X 中每一开集（闭集）在f 下的象都是Y 中的开集（闭集），则称f 为开映射（闭映射）。
注释：f 是开映射，意味着1f -是连续的。
定理3 设X ，Y 为拓扑空间，:f X Y →为在上的连续开映射。
若X 是1C （或2C ）空间，则Y 也是1C （或2C ）空间。
证明略。
定理说明：可数性公理是拓扑不变性质。
问 题：在上的连续开映射，是同胚吗？
（缺少一一对应，同胚是开映射，反之不然）
定理4 1C （或2C ）空间的子空间仍是1C （或2C ）空间。
定理4 若12,,,n X X X 是1C （或2C ）空间，则12n X X X ⨯⨯⨯ 也是1C （或2C ）空间。
上述几个定理均不证明，只做解释：
定理4 称为可遗传性；定理5称为可乘性。
有上述定理，我们自然会得出如下结论：
“n 维欧氏空间n E 的任一子空间均满足第一和第二可数公理” 因为，1E 是2C 空间，由定理1知也是1C 空间； 又由定理5，111n E E E E =⨯⨯⨯ 也是2C 空间（1C 空间）；再由定理4，故有此结论。
●（以下为重要结论） 下面的讨论可以看出，在1C 空间中的序列性质与微积分（实分析）中序列的性质有较多相似之处。
定理6 设X 为拓扑空间，且在点x X ∈处有可数局部基，则点x 有可数局部基12{,,}V V 满足条件12n V V V ⊃⊃⊃⊃ 。
证明： 设点x 的可数局部基为12{,,}U U ，令
12,
1,2,i i V U U U i =⋂⋂⋂=
显然，12{,,}V V 是x 的可数邻域族，且满足12n V V V ⊃⊃⊃⊃ 。
下面仅需证明它是x 的局部基。
因为，对于x 的任一邻域U ，由于12{,,}U U 是x 的局部基，故存在j U U ⊂。
于是
12j j j V U U U U U =⋂⋂⋂⊂⊂
即j V U ⊂，故12{,,}V V 是x 的局部基。
定理7 设A 是1C 空间X 的子集，则点x X ∈为A 的聚点{}A x ⇔-中有序列收敛于x 。
证明：
（⇐充分性） 设序列{}i i N x ∈在{}A x -中，且lim i i
x x =。
由序列收敛的定义有，若U 是x 的
任一邻域，则存在n N ∈，使得当i n >时，所有的i x U ∈（且{}i x A x ∈-）。
于是({})U A x ⋂-≠∅，
故x 是A 的聚点。
（⇒必要性）设x 是A 的聚点，由于x 处有可数局部基，由定理6，设12{,,}V V 是点x 的局部基，并满足条件12n V V V ⊃⊃⊃⊃ 。
因为x 是A 的聚点，于是，对于1,2,i ∀= ，由于({})i V A x ⋂-≠∅。
任取({})i i x V A x ∈⋂-，序列{}i i N x ∈在{}A x -中。
于是，对于x 的每一邻域U ，存在n N ∈，使得n V U ⊂，从而当1i i n V V V U -⊂⊂⊂⊂ 。
于是i n >时，所有i x U ∈，即lim i i
x x =。
定理8 设X ，Y 为拓扑空间，X 满足公理1C ，x X ∈，映射:f X Y →在点x 处连续⇔若
X 中序列{}i i N x ∈收敛于x ，则Y 中序列{()}i i N f x ∈收敛于()f x 。
定理9 设X ，Y 为拓扑空间，X 满足公理1C ，则映射:f X Y →连续⇔若X 中序列{}i i N x ∈收敛于x X ∈，则Y 中序列{()}i i N f x ∈收敛于()f x 。
上述两个定理的证明可详见教材，证略。
定理8说明在点x 处收敛的充要条件，定理9说明f 连续的充要条件。