第五章 质点的角动量 角动量守恒定理§5-1 质点的角动量 角动量定理一 质点的角动量我们已经知道，在讨论单个质点或质点系统（包括刚体）的平动运动时，线动量是很有用的物理量，例如，在碰撞中线动量是守恒的。

对于单个质点，线动量为v P m =对于质点系统，线动量为v P M =其中M 为系统的总质量而v 是质心的速度。

在转动运动中，什么量和线动量相类似呢？我们将这个量称之为角动量。

下面就单个质点这一特殊情况来定义角动量，以后推广到质点系统。

假设 有一质量为m 和线动量为P 的质点A ，这质点相对于惯性参考系的原点O 的位置矢量为r 如图()15-所示图 ()15-定义这个质点对原点0的角动量为v r p r L m ⨯=⨯= （5-1）讨论 1）其中r 是代表以给定点0为原点到质点的位置矢量2）其大小 θsin rmv L = 式中θ是r 与v 之间的夹角，它的方向垂直与r 与p 所组成的平面，并由右手螺旋法则确定,见图（5-1）3） 我们也可将L 的大小表示为 ()p r p r L ⊥==θsin 或 ()⊥==rp p r L θsin 式中的⊥r 为r 垂直于p 的分量，⊥p 为p 垂直于r 的分量，故角动量也可称为动量矩。

4）应当指出，质点的角动量与位置矢量r 和动量p 有关，也就是与参考点0的选择有关。

因此在讲述质点的角动量时，必须指明是对哪一点的角动量。

5） 在国际单位制中，角动量的量纲为12-T ML ，符号是kg ·sm 2，也可表示为J ·s二质点的角动量定理质点在运动时导致角动量L 随时间变化的根本原因是什么？由 v r L m ⨯= 对其两边微分则 (r L dt d dt d =×)v m =dtd r×r v +m ×()dt m d v 其中 dtd r=v 故 v ×=v m 0 ()F P v ==dt d dt m d得 r L=dtd ×F （5-2）即：质点m 对参考点o 的角动量随时间变化率dtd L等于位置矢量r 和质点所受的合外力F 的矢量积。

定义：力F 对于参考点o 的力矩,M 为从参考点o 到力的作用点A 的矢量r 和F 的矢量积，即r M =×F （5-3）由此定义可知，力矩是一个矢量，其大小Fd Fr M ==θsin 方向垂直于r 、F 所决定的平面，由右手螺旋法则确定。

图（5-2）由图（5-2）可以看出，力矩的方向和F 与r 的夹角有关即其中的θ角需要小于π。

由上述定义可知：质点m 对给定参考点o 的角动量变化率r L=dtd ×M F = （5-4） M ：质点所受的外力矩 F ：质点所受的合外力（5-4）称为质点的角动量定理的微分形式，如果各分力与o 点共面，力矩只存在正、反两个方向。

可设定顺时针为正向，用代数的方法求质点的合力矩。

质点的角动量定理也可用积分形式来表示 由M L=dtd ， dt d M L = ⎰=tt dt 0M ⎰LL L 0d =0L L - （5-5）讨论 1）⎰tt dt 0M 称为冲量矩, 0LL -为角动量的增量2）当 0=M 时，有00=-L L 即 o L L =物理意义：当质点不受力矩或合力矩等于零（向心力），质点的角动量前后不变。

例5-1 地球绕太阳的运动可以近似地看作为匀速圆周运动，求 地球对太阳中心的角动量。

解 已知从太阳中心到地球的距离m r 11105.1⨯=，地球的公转速度s mv 4100.3⨯=，而地球的质量为kg m 24100.6⨯=。

代入（5-1），即可的地球对于太阳中心的角动量的大小为)(107.22sin 100.3105.1100.6sin 24041124s m kg mvr L ∙⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==πθ例5-2 单摆的角动量大小为mvr L =，v 为变量。

在0=t 时从水平位置静止释放，求单摆至垂直位置时，此过程单摆所受的冲量矩大小？ 解 初角动量大小为000==r mv L ；时刻t 下摆至垂直位置，角动量大小为⊥⊥=mv L r 。

则此过程单摆所受的冲量矩大小等于gr mr r mv L L 20==-⊥。

例5-3 根据玻尔假设，氢原子内电子围绕核运动的角动量只可能是π2h 的整数倍，其中h是普朗克常数，它的大小为sm kg 2341003.6⋅⨯-。

已知电子圆形轨道的最小半径m r 1010529.0-⨯=，求在此轨道上电子运动的频率ν。

解 由于是最小半径，所以有πυπ222hmr mvr L ===于是)(1059.6)10529.0(101.941003.6415103123422Hz mr h ⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==---ππν 角动量只能取某一些分立的值，这种现象叫角动量的量子化。

它是原子系统的基本特征之一。

根据量子理论，原子中的电子围绕核运动的角动量L 由式)1(22+=l l L给出，式中π2h= ，l 是正整数（0，1，2，3，…）。

本题中玻尔关于角动量的假设还是量子力学的正确结果。

§5-2 质点的角动量守恒根据质点的角动量定理M L=dtd )(F r M ⨯= 如果 0=⨯=F r M 则 0=dtd L即： =L 常矢量当质点m 所受的合外力对某参考点o 的力矩M 为0时，质点对该点的角动量的时间变化率dtd L为零，即质点对该点的角动量L 守恒。

此关系称为质点的角动量守恒。

关于力矩等于零这一条件，应该指出的是由于0=⨯=F r M ，所以它既可能是质点的外力为零，也可能是外力并不为零，但是在任意时刻外力总是与质点对于固定点的矢径平行或反平行。

比如，质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。

如行星围绕太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定理。

例5-4有一人造地球卫星到地球中心的最大距离和最小距离分别是A R 和B R ，设卫星对应的角动量分别是A L 和B L ，动能分别是KA E ，KB E ，比较A L 和B L ，及KA E 和KB E 的大小。

解 由于卫星受地球对它的万有引力，所以它是过地球中心的，所以对于地球中心，引力矩为零，质点的角动量守恒。

B A L L = A A B B r mv r mv =∴ BAA B R R v v =222)(B A B A KB KA R R v v E E == 由于 B A R R 〉 KA KB E E 〉∴§5-3* 质点系的角动量定理一个质点系对某给定点的角动量定义为其中各质点对该定点的角动量的矢量叠加，即i i ii ii m v r L L ⨯==∑∑ （5-6）将上式对时间求导，即()[]∑∑∑⨯+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯+⨯==i i i i i i i i i i i i i i i i m m m dt d m dtd dt d dt d a r v v v r v r L L=[][]∑∑∑∑∑=+=⨯+⨯=⨯+ii iii i ii i i iiii外外内外内M M M F r Fr F r 0其中内力矩在求矢量和时成对相消，故得质点系的角动量定理的微分形式为：M M L==∑ii dt d 外 （5-7） M ：质点所受外力矩的矢量和结论1）一个质点系所受的和外力矩等于该质点系的角动量对时间的变化率（力矩和角动量都相对于惯性系中同一定点）。

这就是质点系的角动量定理。

2）由M M L==∑i i dt d 外；⎰⎰-==t t d dt 000LL L L L M ，若 0=M 则 0L L =或 =L 恒矢量，这表明，当质点系相对于某一定点所受的和外力矩为零时，该质点系相对于该定点的角动量将不随时间改变。

这就是一般情况下的角动量守恒定理。

例5-5 已知两人质量相等并且忽略滑轮和绳子质量及滑轮和转轴的摩擦，当一人用力向上爬而另外一人握住绳子不动，那么在滑轮两边的两人将1）两人同时到达终点线； 2）用力向上爬者先到终点线； 3）握住绳子不动者先到终点线； 4）以上结果都不对。

解：以1m 和2m 为质点系，忽略轮和绳子的质量以及滑轮和转轴之间的摩擦，由于21m m =系统受合外力矩为零，系统的角动量守恒。

即01122=-R v m R v m ，得 12v v = 不论体力强弱，两人等速上升。

若12m m ≠系统的和外力矩不为零，角动量不守恒。

可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。

本章提要1质点的角动量与角动量定理：对于惯性系中的某一定点， 力F 的力矩： F r M ⨯=质点的角动量： v r p r L m ⨯=⨯= 质点的角动量定理的微分形式：M F r L=⨯=dtd 积分形式：⎰⎰-==tt d dt 0LL LL L M其中M 为合外力矩，它和L 都是对同一给定点而言的。

2质点的角动量守恒定理：对某一给定点，质点受的外力矩为零时，则它对于给定点的L =常矢量。

3质点系的角动量及角动量定理 质点系的角动量： ii iiiim v r L L ⨯==∑∑质点系的角动量定理的微分形式：M M L==∑ii dt d 外积分形式 ：⎰⎰-==t t d dt 0LL LL L M其中M 为质点系所受外力矩的矢量和，（系统内的内力矩大小相等方向相反，矢量和为零）0L L -为质点系的角动量增量。

（M 和各质点的角动量均对同一给定点）4质点系的角动量守恒定理：当质点系对给定点所受的合外力矩为零时，其系统的角动量守恒。

即 0=M 则=L 恒矢量。

思考题5-1质量m 的质点作圆锥摆运动，质点绕0点在水平面内作匀速圆周运动的速率为v ，如图所示，试分析质点在运动过程中。

1）质点的动量是否守恒？2）质点对A 点的角动量等于多少，是否守恒？ 3）质点对oA 轴的角动量是否守恒？5-2 已知地球的质量为m ，太阳的质量为M ，地心与日心的距离为R ，引力常数为G ，地球绕太阳作圆周运动的轨道角动量为A ）GMR m ；B ）RGMmC ）RGMm D ）()R GMm25-3 作匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量是否守恒？对于通过圆心而与圆平面垂直的轴上的任一点，它的角动量是否守恒？对于哪一个给定点，它的角动量守恒？5-4 一个α粒子飞过一个金原子核而被散射，金原子核基本上未动如图。

在这一过程中，对金原子核中心来说，粒子的角动量是否守恒？为什么？粒子的动量是否守恒？Au5-5 质量为kg 05.0的小块物体，置于一个光滑水平桌面上。

有一绳子一端连接此物，另一端穿过桌面中心的小孔（）。

该物体原以s rad3的角速度在距孔m 2.0的圆周上转动。

今将绳从小孔缓慢往下拉，使该物体之转动半径减小为m 1.0，则物体的角速度=ω5-6 如图所示，钢球A 和B 质量相等，正被绳子牵着以s rad4的角速度围绕竖直的轴转动，二球与转轴间的距离都为cm 15。