Mz= xFy
yFx
也称为力对轴的力矩。 ③有心力——始终指向某一固定点的力，该固定点 为力心。
有心力对力心的力矩为： 零。
3
海南大学－大学物理电子教案
角动量 angular momentum
定义：任取一点o, 建立坐标系oxyz，设质点A ，矢径为 ，则质点A对o点 的质量为m，速度为 v r 的角动量为：
从动量定理变换到角动量定理，只需将相应的量 变换一下，名称上改变一下。（趣称 头上长角， 尾部添矩）
17
海南大学－大学物理电子教案
dP F dt t
2
动量定理
F dt Δ P
t1
dL M dt t
2
角动量定理
M dt ΔL
t1
F 0 P 0
1.对定点的角动量 L Li ri Pi
i i
2.定理和守恒定律

i
Mi

i
M M i ri Fi ri f i
i
i
dLi dt
P2 r2 o
P 1
r1
i i ri fi 0 内力对定点的力矩之和为零
9
海南大学－大学物理电子教案
角动量守恒定律
dL 由角动量定理可知， M r F dt 若： M 0 （ 条件)
则：
即： L r mv 恒矢量
质点角动量守恒定律：
dL 0 dt
或
dL 0
（结论）
(constant vector)
质点系内的重要结论之三 (自证)
23
dL M外 dt
L Li
i
形式上与质点的角动量定理完全相同 内力对定点的力矩之和为零
只有外力矩才能改变系统的总角动量
M 0 L constvector .
角动量守恒定律
24
盘状星系
角动量守恒的结果
25
比较
动量定理
角动量定理
海南大学－大学物理电子教案
1.5 角动量变化定理和角动量守恒
1.5.1 质点的角动量
1.5.2 质点角动量变化定理 1.5.3质点系角动量变化定理和角动量守恒定律
1
海南大学－大学物理电子教案
1.5.1
力矩定义
质点的角动量
M0 r F
0
M
r F
φ
方向：由右手螺旋定则
大小： M 0 M 0 F r sin
两边积分：

t2
t1
M dt d L L2－L1 积分形式
8
L2 L1
海南大学－大学物理电子教案
Mdt dL
微分形式 式中
M dt

t2
t1
M dt L2－L1
13
海南大学－大学物理电子教案
行星绕太阳的运动
p
p
r p 常矢量 pd 常量


r
d
O
d r
表明行星在运动过程中，对太阳的角动量保持不变。
14
海南大学－大学物理电子教案
例10：证明关于行星运动的开普勒第二定律：行星 对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。
p p
积分形式
Mdt 称为外力矩在dt时间内的冲量矩

t2
t1
称为外力矩在t1——t2时间内的冲量矩
冲量矩是力矩的时间积累 物理意义： 质点（转动物体）所受合外力矩的冲
量矩等于在这段时间内质点（转动物体）角动量的
增量。 在应用角动量定理时，一定要注意等式两边的力矩 和角动量必须都是对同一固定点。
t2
Fdt ΔP
t1
dP F dt
dL M dt t
2
Mdt ΔL
t1
F 0 P 0
M 0 L 0
形式上完全相同，所以记忆上就可简化。 从动量定理变换到角动量定理，只需将相应 的量变换一下，名称上改变一下。 （趣称 头上长角 尾部添矩）


r
d
O
d r
15
海南大学－大学物理电子教案
证明： 以行星为研究对象，选太阳为参考点 L ＝常矢量 M 0 v
L mrsin
dt 1 dr r sin 2m 2 dt m dr rsin
L


m
r
r
dS L dt 2m
角动量守恒就是掠 面速度相等
16
dS 2m dt
掠面速度
海南大学－大学物理电子教案
比较
动量定理
角动量定理
dP F dt t
2
F dt Δ P
t1
dL M dt t
2
M dt ΔL
t1
F 0 P 0
M 0 L 0
形式上完全相同，所以记忆上就可简化。
若质点所受外力矩对某给定点o的力矩为零，则 质点对o的角动量保持不变。 (具有普遍意义，对m变的也适用）
10
海南大学－大学物理电子教案
讨论
1）角动量守恒定律的条件
M 0
动量不守恒
角动量守恒
2）动量守恒与角动量守恒
是相互独立的定律 如行星运动
3） 有心力(central force)：始终指向某一固定点的 力，该固定点为力心。
过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小。
求当半径缩为r时的角速度。
v r o r0 m
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海南大学－大学物理电子教案
v
r o r0
m
解：以小孔o 为原点， 绳对小球的拉力为 有心力，其力矩为零。 则小球对点的角动量守恒。
mvr = mv0r0 因：v = rω
2 ω 有：mr2 = mr0ω 0
质点对圆心O的角动量为（守恒量、非守恒量）？
大小不变 方向不变 方向不变 方向不变
L
L
O
r

v
m

v
r
6
海南大学－大学物理电子教案
dv 推导过程： 由牛顿第二定律 F m dt dv r 得: r F r m 两边叉乘 dt L r mv 对时间求导数。 将角动量定义式 dL d d( mv ) dr ( r mv ) r mv dt dt dt dt dv v mv 0 r m v mv dt v v sin 0 0 dv r m r F M dt
同一质点对于不同的参考点其角动量是不同的；
角动量也称动量矩，力矩也叫角力； 对轴的角动量和对轴的力矩； 动量是描述质点运动状态的物理量，角动量————— 描述质点转动状态的物理量 —————————————————
5
海南大学－大学物理电子教案
若质点m做半径为r的匀速圆周运动，质点对圆心
的角动量大小为—————— L rmv
L r p r mv
方向： 由右手螺旋定则确定
L
v

v

r
L
4
r
海南大学－大学物理电子教案
L r p sin mvr sin
大小：
L
r与P
围成面积
O
几点说明：
r m
v
角动量与参考点O的选择（有关、无关）：
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动量定理
t2
பைடு நூலகம்
Fdt ΔP
t1
dP F dt
dL M dt t
2
角动量定理
Mdt ΔL
t1
F 0 P 0
F P
t2
M 0 L 0
力矩或角力 角动量 或动量矩
力 动量
M L
t2
Fdt 力的冲量
L2 mv2 ( R l2 )
mv1( R l1 ) mv2 ( R l2 )
因角动量守恒，所以：
R l1 6378 439 8.10 6.30 ( km / s ) 于是： v2 v1 R l2 6378 2384
22
1.5.3 质点系角动量变化定理和角动量守恒定律
21
海南大学－大学物理电子教案
解：卫星在运行时只受地球对它的 引力，方向始终指向地心o,力的大 小只依赖于两点距离（这种力称为 有心力）。对于O点，力矩为零。 故角动量守恒 M 0 r F 0 卫星在近地点A1 的角动量： L1 mv1( R l1 )
卫星在远地点A2 的角动量:
t1
Mdt 力矩的冲量 t1 或冲量矩
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r0 2 则： ω= r2 ω 0
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海南大学－大学物理电子教案
例题12： 人造卫星绕地球沿椭圆轨道运动，地球中
心为椭圆的一个焦点，已知地球平均半径 R=6378 km，近地距离 l1=439 km , A1 点速度 v1=8.10 km , 远地距离 l2=2384 km , 求A2 点的速度v2 = ?
力的作用效果，不仅与力的大小有关、还与力 的方向和力的作用点有关。力矩是全面考虑这三要 素的一个重要的概念。
2
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关于力矩的讨论：