无轨迹。)无外面的绝对值则为半条双曲线， 左-右为右支，上-下为下支等。
一、基本知识概要： 1.双曲线的定义
第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线 l
的距离的比是常数 (e 1) 的动点的轨迹。即点集
P |
PF1 d1

e

1
=

条双曲线。
P |
PF2 d2
e 1

，一个比产生整
2.双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
x2 a2

y2 b2
1(a
0,b 0)
y 2 x 2 1(a 0,b 0) a2 b2
图
形
焦点
性 焦距 质 范围
对称性
F1(- c,0) ，F2( c,0)
F1（0,c)，F2（ o, c)
| F1F2|=2c a2 b2 c2一个Rt
利用共渐近线的双曲线系
x2 y2 k
或
a2 b2
y2
x2
k(k 0) 方程解题，常使解法简捷。
a2 b2
说明：
(4)双曲线的焦半径，当点P在右支（或上支） 上时，为 ex0 a, (ey0 a); 当点P在左支（或下 支）上时，为 (ex0 a),[(ey0 a)]; 利用焦半 径公式，解题简洁明了，注意运用。
| x | a, y R
| y | a, x R
关于x轴，y轴和原点对称
标准方程 图
x 2 y 2 1(a 0, b 0) a2 b2
y 2 x 2 1(a 0,b 0) a2 b2
形
顶点 （-a，0） （a，0） （0，-a）（0，a）
性轴
实轴长2a，虚轴长2b
焦准距 p a 2 , 准线间距= 2a 2 , 焦渐距= b。
c
c
说明：
(1)双曲线的两个定义是解决双曲线的性质问题和求 双曲线方程的两个有力工具，所以要对双曲线的两 个定义有深刻的认识。
(2)双曲线方程中的 a,b, c, e, p 与坐标系无关，只有
焦点坐标，顶点坐标，准线及渐近线方程与坐标系有 关，因此确定一个双曲线的标准方程需要三个条件：
r2 PF2 (ex a) r2 PF2 (ey a)
PF c a min
标准方程 图x 2 Fra biblioteky 2 1(a 0, b 0) a2 b2
y2 a2

x2 b2
1(a 0,b 0)
形
平面几何 性质
离心率
e c (e 1) ， e 大开口大 a
y 2 x 2 1(a 0,b 0) a2 b2
形
焦半径
P在右支上，
r1 PF1 ex a
P在上支上，
r1 PF1 ey a
r2 PF2 ex a
P在左支上，
r1 PF1 (ex a)
r2 PF2 ey a
P在下支上，
r1 PF1 (ey a)
【思维点拨】设方程，消参数。
例7：双曲线的实半轴与虚半轴的长的积为 3 ，
它的两个焦点分别为F1，F2，直线 l 过F2且与直 线F1F2的夹角为 ，且 tan 21 ， l 与线段
两个定形条件 a, b ，一个定位条件，焦点坐标或准
线，渐近线方程。
求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或 轨迹方程法。
说明：
(3)直线和双曲线的位置关系，在二次项系数 不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和 有关公式，求解问题的类型也相同。唯一不 同的是直线与双曲线只有一个公共点时，不 一定相切。
例3．（2002年全国，19）设点P到点M（－1， 0），N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距 离之比为2，求m的取值范围。
【思维点拨】本题考查了双曲线的定义、标准方程等 基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问 题的能力。解决此题的关键是用好双曲线的定义。
例4：已知双曲线
x2 a2
y2
2010届高考数学复习 强化双基系列课件
74《圆锥曲线－双曲线》
一、基本知识概要： 1.双曲线的定义
第一定义：平面内与两个定点 F1, F2 距离的差的 绝对值等于 2a(2a | F1F2 |) 的点的轨迹，即点集
P | PF1 PF2 2a 。( 2a F1F2 为两射线；2 a F1F2
(2) 与双曲线 x 2 y 2 1有公共焦点，且过 16 4
点 (3 2,2) 。
【思维点拨】利用共渐近线的双曲线系方程解题 简捷明了。要善于选择恰当的方程模型。
例2：在双曲线 x2 y 2 1上求一点P，使它到
16 9
左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。
【思维点拨】运用焦半径公式，解题简洁明了。
准线
质渐
近
x a2 c
x y 0 ybx
ab
a
y a2 c
x y 0 yax
ba
b
线
共渐近线的 双曲线系方程
x2 y2 k
a2 b2
y 2 x2 k(k 0) a2 b2
标准方程 图
x 2 y 2 1(a 0, b 0) a2 b2
重点、难点：深刻理解确定双曲线的形状，
大小的几个主要特征量，掌握定义，性质，掌 握直线与双曲线的位置关系。
思维方式：方程的思想，数形结合的思想；
待定系数法，参数思想等。
例1：根据下列条件，求双曲线方程：
(1) 与双曲线 x 2 y 2 1有共同渐近线，且过 点 (3,2 3) ；9 16
【思维点拨】利用第二定义得焦半径，可使问 题容易解决，中垂线过弦AC的中点，中点问题 往往把A、C的坐标代入方程，两式相减、变形， 即可解决问题。
例6．已知双曲线的焦点在轴上，且过点 A(1,0) 和 B(1,0) ，P是双曲线上异于A、B的任一点， 如果ΔAPB的垂心H总在此双曲线上，求双曲线 的标准方程。
b2
1的离心 e 1
2，
左、右焦点分别的为 F1, F2 ，左准线为 l1 ，能否
在双曲线的左支上找到一点P，使得 | PF1 |是P到
l 的距离 d 与 | PF2 | 的等比中项。
【思维点拨】利用定义及假设求出离心率的取 值是关键。
例5．如图，在双曲线的上支有三点，它们与点 F（0，5）的距离成等差数列。 （1）求 y1 y3的值 （2）证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点， 并求此点坐标