(4) 若|a|=n,则an=e1。故(h(a))n=h(an)=h(e1)=e2。从而h(a)的阶也有限，且|h(a)| n。
设|h(a)|=m,则h(am)= (h(a))m= h(e1)=e2。因为h是单一同态，所以am=e1。即|a| m。
<G,*>是半群， 运算*满足结合律。
b*eR=(y*a)*eR=y*(a*eR)=y*a=b。
类似地，记方程y*a=a的唯一解为eL。即eL*a=a。
下证eL为关于运算*的左单位元。
对 b G，记方程a*x=b的惟一解为x。
<G,*>是半群， 运算*满足结合律。
eL*b=eL*(a*x)=(eL*a)*x=a*x=b。
由欧拉握手定理得 deg(v)=2|E|得 5n 2m。
又因为G=〈V,E,F〉是一个连通简单无向平面图，
所以对每个面f,deg(f) 3。
由公式 deg(f)=2|E|可得，2m 3k。
再由欧拉公式|V|-|E|+|F|=2可得2 m-m+ m= m
从而30 m,这与已知矛盾。
证明题
10
6.4
3
3
证明题
10
2.3；2.4
3
3
2
给定连通简单平面图G=<V,E,F>，且|V|=6, |E|=12, 则对于任意f F, d(f)=3。
答：因为|V|=6 3，且G=〈V,E,F〉是一个连通简单无向平面图，
所以对任一f F，deg(f) 3。
由欧拉公式|V|-|E|+|F|=2可得|F|=8。
再由公式 deg(f)=2|E|， deg(f)=24。
因为对任一f F，deg(f) 3，故要使上述等式成立， 对任一f F，deg(f)=3。
证明题
10
6.4
3
3
3
证明对于连通无向简单平面图，当边数e＜30时，必存在度数≤4的顶点。
答：若结点个数小于等于3时，结论显然成立。
当结点多于3 个时，用反证法证明。
记|V|=n,|E|=m,|F|=k。
假设图中所有结点的度数都大于等于5。
综上所述，<G,*>是一个群。
证明题
10
8.3
4
4
7
设<G,*>是一个群，H、K是其子群。定义G上的关系R：对任意a,b∈G，aRb存在 h∈H,k∈K, 使得b=h*a*k，则R是G上的等价关系。
答： a∈G，因为H、K是G的子群，所以e∈H且e∈K。令h=k=e,则a=e*a*a=h*e*k,从而aRa。即R是自反的。
a,b∈G，若aRb，则存在 h∈H，k∈K, 使得b=h*a*k。因为H、K是G的子群，所以h-1∈H且k-1∈K。故a=h-1*a*k-1,从而bRa。即R是对称的。
a,b,c∈G，若aRb,bRc,则存在 h,g∈H，k,l∈K, 使得b=h*a*k，c=g*b*l。所以c=g*b*l=g*(h*a*k)*l=(g*h)*a*(k*l)。因为H、K是G的子群，所以g*h∈H且k*l∈K。从而aRc。即R是传递的。
4
在一个连通简单无向平面图G=〈V，E，F〉中若|V| 3，则 |E| 3|V|－6。
答： |V| 3，且G=〈V，E，F〉是一个连通简单无向平面图，
d(f) 3， f F。
由公式 deg (f)=2|E|可得，2|E| 3|F|。
再由欧拉公式|V|-|E|+|F|=2可得|V|-|E|+ |E| 2。
及 k +k-2
故 k 2n-4。
证明题
10
6.4
3
3
6
在半群<G,*>中，若对 a,b G，方程a*x=b 和y*a=b都有惟一解，则<G,*>是一个群。
答：任意取定a G，记方程a*x=a的惟一解为eR。即a*eR=a。
下证eR为关于运算*的右单位元。
对 b G，记方程y*a=b的惟一解为y。
|E| 3|V|－6。
证明题
10
6.4
3
3
5
设G=<V,E>是连通的简单平面图，|V|=n 3，面数为k,则k 2n-4。
答：记|E|=m。因为G=<V,E>是连通的简单平面图，故每个面的度数都不小于3。从而由公式 deg(f)=2|E|可得3k 2m
再由欧拉公式|V|-|E|+|F|=2有
m=n+k-2
( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)
(P→（Q R）) ( P （Q R）)
( P Q) ( P R)
( P Q (R R)) ( P (Q Q) R)
( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)
( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)
它们有一样的主合取范式，所以它们等价。
答：(1) 因为h(e1) h(e1)=h(e1 e1)= h(e1)= e2 h(e1),所以h(e1)=e2。
(2) a∈G1，h(a) h(a-1)=h(a a-1)= h(e1)= e2,
h(a-1) h(a)=h(a-1 a)= h(e1)= e2,故h(a-1)=h(a)-1。
(3) c,d∈h(H), a,b∈H，使得c=h(a),d=h(b)。故c d=h(a) h(b)=h(a b)。因为H G，所以a b ∈H ，故c d∈h(H)。又c-1=(h(a))-1=h(a-1)且a-1∈H，故c-1∈h(H)。由定理5.3.2知h(H) G2。
综上所述，R是G上的等价关系。
证明题
10
4.4
3
3
8
设h是从群<G1, >到<G2, >的群同态，G 和G2的单位元分别为e1和e2，则
（1）h(e1)=e2；
（2） a G1，h(a-1)=h(a)-1；
（3）若H G1，则h(H) G2；
（4） 若h为单一同态，则 a G1，|h(a)|=|a|。
编号
题目
答案
题型
分值
大纲
难度
区分度
1
用先求主范式的方法证明(P→Q) (P→R) (P→（Q R）
答：先求出左右两个公式 的主合取范式
(P→Q) (P→R) ( P Q) ( P R)
( P Q (R R))) ( P (Q Q) R)
( P Q R) ( P Q R) ( P Q R) ( P Q R)
从而在半群<G,*>中, 关于运算*存在单位元，记为e。
现证G中每个元素关于运算*存在逆元。
对 b G，记c为方程b*x=e的惟一解。下证c为b关于运算的逆元。记d=c*b。 则b*d=(b*c)*b=e*b=b。
b*e=b,且方程b*x=b有惟一解， d=e。
b*c=c*b=e。从而c为b关于运算的逆元。