9.11 多面体与正多面体●知识梳理1.每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体.2.正多面体有且只有5种.分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.●点击双基1.一个正方体内有一个内切球面，作正方体的对角面，所得截面图形是A BC D答案：B2.正多面体只有_____________种，分别为________________.答案：5 正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体3.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1、BB 1的中点，则直线AM 与CN 所成的角的余弦值是_____________.解析：过N 作NP ∥AM 交AB 于点P ，连结C 1P ，解三角形即可.答案： 52 ●典例剖析【例1】 已知甲烷CH 4的分子结构是中心一个碳原子，外围有4个氢原子（这4个氢原子构成一个正四面体的四个顶点）.设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ，则cos θ等于A.－31B. 31C.－ 21D. 21解析：将正四面体嵌入正方体中，计算易得cos θ=332)22()3()3(222⨯⨯-+=－31（设正方体的棱长为2）. 答案：A【例2】 试求正八面体二面角的大小及其两条异面棱间的距离.解：如图，设正八面体的棱长为4a ，以中心O 为原点，对角线DB 、AC 、QP 为x 轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，－22a ，0）、B （22a ，0，0）、C （0，22a ，0）、P （0，0，22a ），设E 为BC 的中点，连结PE 、QE 、OE ，则∠PEQ =2∠PEO 即为所求二面角的平面角，∵OE =2a ，OP =22a ，∴tan ∠PEO =2，∠PEQ =2arctan 2.设n =（x ，y ，z ）是AB 与PC 的公垂线的一个方向向量，则有n ·AB =x +y =0，n ·PC =y －z =0，解得xyz AB C DOP QEn =（－1，1，1），所以向量BC =（－22a ，22a ，0）在n 上的射影长d =3||BC n =364a即为所求.特别提示由于正多面体中的等量关系、垂直关系比较多，所以便于建立直角坐标系，运用解析法处理.要注意恰当选取坐标原点，一般取其中心或顶点（如正四棱柱）.【例3】 三个12×12 cm 的正方形，如图，都被连结相邻两边中点的直线分成A 、B 两片〔如图（1）〕，把6片粘在一个正六边形的外面〔如图（2）〕，然后折成多面体〔如图（3）〕，求此多面体的体积.AB(1) (2) (3)解法一： 补成一个正方体，如图甲，V =21V 正方体-=21×123=864 cm 3.甲 乙解法二：补成一个三棱锥，如图乙，V =V 大三棱锥－3V 小三棱锥=864 cm 3. 思考讨论补形的方法可将不规则的几何体转化成规则的几何体，这是求多面体体积的常用方法. ●闯关训练 夯实基础1.每个顶点处棱都是3条的正多面体共有 A.2种 B.3种C.4种D.5种解析：正多面体只有5种. 答案：B2.如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则异面直线C 1O 与EF 的距离为_____________.A1E 答案： 42培养能力3.四面体的一条棱长是x ，其他各条棱长为1. （1）把四面体的体积V 表示为x 的函数f （x ）； （2）求f （x ）的值域； （3）求f （x ）的单调区间. 解：（1）设BC =x ，则S 到平面ABC 的垂足O 是△ABC 的外心，连结AO 并延长交BC于D ，则D 是BC 的中点，且AD ⊥BC ，求得AD =242x -，S ABC ∆=4x 24x -.设△ABC 的外接圆的半径为R ，求得R =241x-，SO =2243x x --， ∴V =31S ABC ∆·SO =12x23x -（0＜x ＜3）.（2）f （x ）=12x23x -=121 )3(22x x -⋅=12149)23(22+--x ，∵0＜x 2＜3，∴f （x ）∈（0，81）. （3）∵当x =26时，f （x ）取得最大值， 又∵0＜x ＜3，∴f （x ）的单调递增区间是（0，26］，递减区间是［26，3）. 4.（文）已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，O 为AC 与BD 的交点，M 为DD 1的中点.1A （1）求证：直线B 1O ⊥平面MAC （2）求二面角B 1—MA —C 的大小.（1）证明：∵BB 1⊥平面ABCD ，OB ⊥AC ， ∴B 1O ⊥AC .连结MO 、MB 1，则MO =3，B 1O =6，MB 1=3. ∵MO 2+B 1O 2=MB 12，∴∠MOB 1=90°. ∴B 1O ⊥MO .∵MO ∩AC =O ，∴B 1O ⊥平面MAC .（2）解：作ON ⊥AM 于点N ，连结B 1N . ∵B 1O ⊥平面MAC ，∴AM ⊥平面B 1ON . ∴B 1N ⊥AM .∴∠B 1NO 就是二面角B 1—MA —C 的平面角. ∵AM =5，CM =5，∴AM =CM .又O 为AC 的中点，∴OM ⊥AC .则ON =OA sin ∠MAO =532⋅=56.在Rt △B 1ON 中，tan ∠B 1NO =ONOB 1=5， ∴∠B 1NO =arctan 5，即所求二面角的大小为arctan 5.说明：本题的两问是递进式的，第（1）问是为第（2）问作铺垫的.第（2）问中构造二面角的平面角的方法是典型的三垂线法.（理）在边长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 与C 1D 1的中点. （1）求证：四边形A 1ECF 是菱形； （2）求证：EF ⊥平面A 1B 1C ；（3）求A 1B 1与平面A 1ECF 所成角的正切值. （1）证明：取A 1B 1的中点G ，连结C 1G 、GE .∵A 1G ∥FC 1且A 1G =FC 1，∴A 1GC 1F 是平行四边形.∴A 1F ∥C 1G .同理C 1G ∥CE .∴A 1F ∥CE .由勾股定理算得A 1E =A 1F =CE =CF =25a ，∴四边形A 1ECF 是菱形. （2）证明：连结C 1B ，∵E 、F 分别为AB 与C 1D 1的中点，∴C 1F =BE .又C 1F ∥BE ， ∴C 1FEB 为平行四边形.∴C 1B ∥EF .而C 1B ⊥B 1C ，∴EF ⊥B 1C.又四边形A 1ECF 是菱形，∴EF ⊥A 1C .∴EF ⊥面A 1B 1C . （3）解：由（2）知，EF ⊥平面A 1B 1C ，又EF ⊂平面A 1ECF ，∴平面A 1B 1C ⊥平面A 1ECF .∴B 1在平面A 1ECF 上的射影在线段A 1C 上.∴∠B 1A 1C 就是A 1B 1与平面A 1ECF 所成的角.∵A 1B 1⊥B 1C ，在Rt △A 1B 1C 中，tan ∠B 1A 1C =111B A CB =2.∴A 1B 1与平面A 1ECF 所成角的正切值为2.探究创新5.（2003年烟台诊断性测试）（B ）正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，且AC 与BD 交于点O ，E 为棱DD 1的中点，以A 为原点，建立空间直角坐标系A —xyz ，如图所示.y1（1）求证：B 1O ⊥平面EAC ； （2）若点F 在EA 上且B 1F ⊥AE ，试求点F 的坐标； （3）求二面角B 1—EA —C 的正弦值. （1）证明：由题设知下列各点的坐标： A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），E （0，2，1），B 1（2，0，2）. 由于O 是正方形ABCD 的中心， ∴O （1，1，0）.∴B 1 =（－1，1，－2），=（2，2，0），AE =（0，2，1）. ∴B 1·=（－1，1，－2）·（2，2，0）=－1·2+1·2－2·0=0，B 1·=（－1，1，－2）·（0，2，1）=－1·0+1·2－2·1=0.∴O B 1⊥AC ，O B 1⊥AE . ∴B 1O ⊥平面ACE .（2）解：设点F 的坐标为F （0，y ，z ），则B 1 =（－2，y ，z －2）， ∵F B 1⊥AE ，∴F B 1·AE =（－2，y ，z －2）·（0，2，1）=2y +z －2=0.①又∵点F 在AE 上，∴ =λ（λ∈R ）. 又AF =（0，y ，z ），∴（0，y ，z ）=λ（0，2，1）=（0，2λ，λ）.于是⎩⎨⎧.==λλz y ,2②由①②可得λ=52，y =54，z =52， ∴F （0，54，52）.（3）解：∵B 1O ⊥平面EAC ，B 1F ⊥AE ，连结OF ，由三垂线定理的逆定理得OF ⊥AE ， ∴∠OFB 1即为二面角B 1—EA —C 的平面角.∵|B 1|=222)2(1)1(-++-=6， 又B 1=（－2，54，－58）， ∴|F B 1|=222)58()54()2(-++-=556.在Rt △B 1OF 中，sin ∠B 1FO 11=630. 故二面角B 1—EA —C 的正弦值为630. ●思悟小结1.割补法是求多面体体积的常用方法.2.理解多面体、正多面体、凸多面体的概念，熟悉五种正多面体. ●教师下载中心 教学点睛学习本节要使学生理解多面体、正多面体的概念. 拓展题例【例1】 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线CD 1和BC 1所成的角是 A.60° B.45° C.90° D.120°解析：连结D 1A 1、AC ，知△ACD 1是等边三角形，且D 1A ∥BC 1，所以BC 1与CD 1所成的角是60°.答案：A【例2】 边长为a 的正三角形，要拼接成一个正三棱柱且不剩料，应如何设计?（在图中用虚线画出）B 解：设O 为△ABC 的中心，连结、OB 、OC 的中点分别为A 1、B 1、C 1，过A 1、B 1、C 1分别向三边作垂线，则所得三个矩形即为三个侧面，三个角上的小四边形拼在一起即为上底面.【变式】 △ABC 若为一般三角形，又如何拼接？【例3】 如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱A 1B 1和B 1C 1的中点.A A1（1）求二面角B 1—BF —E 的大小（2）求点D 到平面BEF 的距离.（3）能否在棱B 1B 上找到一点M ，使DM ⊥面BEF ？若能，请确定点M 的位置；若不能，请说明理由.解：（1）过B 1作B 1G ⊥BF 于G ，连结EG ，则由EB 1⊥面B 1BCC 1，可知EG ⊥BF .A A1∴∠B 1GE 是二面角B 1—BF —E 在Rt △BB 1F 中，B 1B =a ，B 1F =2a， ∴BF =2121F B B B +=25a ， B 1G =BF F B B B 11⋅=a aa 252⨯=55 a . 在Rt △B 1GE 中，B 1E =2a，B 1G =55a ，∴tan ∠B 1GE =G B E B 11=a a552=25.∴∠B 1GE =arctan25. 故二面角B 1—BF —E 的大小为arctan25. （2）连结B 1D 1与EF 交于N ， 则EF ⊥B 1D 1.又BB 1⊥EF ，∴EF ⊥面BB 1D 1D .又EF ⊂面BEF ，∴面BEF ⊥面BB 1D 1D ，且面BEF ∩面BB 1D 1D =BN . 过D 作DH ⊥BN 于H ，则DH ⊥面BEF . ∴DH 的长即为点D 到面BEF 的距离. 在矩形BB 1D 1D 中， 易证△BDH ∽△NBB 1，∴1BB DH =BN DB ，DH =BN DB BB ⋅1=a a a 4232⨯=34a .故点D 到面BEF 的距离为34a . （3）在平面BB 1D 1D 中，延长DH 交BB 1于M ，由（2），DH ⊥面BEF ， ∴DM ⊥面BEF . 由△BDM ∽△B 1BN ，有N B BM 1=1BB BD， ∴BM =11BB NB BD ⋅=a aa 422⨯=2a . 则M 为BB 1的中点.故在棱BB 1上可找到点M ，使DM ⊥面BEF ，此时M 为BB 1的中点.。