高等数学复习提纲同济大学下册IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】高等数学复习提纲一、考试题型1．填空题6题2．计算题8题二、知识点1．平面及其方程。
例题：一平面过点(101)且平行于向量a (211)和b (110)试求这平面方程解所求平面的法线向量可取为k j i k j i b a n 3011112-+=-=⨯=? 所求平面的方程为(x 1)(y 0)3(z 1)0即xy 3z 402．空间直线及其方程。
例题：求过点(203)且与直线⎩⎨⎧=+-+=-+-012530742z y x z y x 垂直的平面方程 解所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量即k j i k j i n 111416253421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-⨯-=? 所平面的方程为16(x 2)14(y 0)11(z 3)0即16x 14y 11z 650例题：求过点(312)且通过直线12354z y x =+=-的平面方程解所求平面的法线向量与直线12354z y x =+=-的方向向量s 1(521)垂直因为点(312)和(430)都在所求的平面上所以所求平面的法线向量与向量s 2(430)(312)(142)也是垂直的因此所求平面的法线向量可取为k j i k j i s s n 229824112521--=-=⨯=? 所求平面的方程为8(x 3)9(y 1)22(z 2)0即8x 9y 22z 5903．旋转曲面。
例题：将zOx 坐标面上的抛物线z 25x 绕x 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程解将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2z 25x例题：将zOx 坐标面上的圆x 2z 29绕z 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程解将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x 2y 2z 294.多元复合函数求导，隐函数求导。
例题：求函数xy e z =的全微分 解xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=∂∂+∂∂=例题：设zu 2ln v 而y x u =v 3x 2y 求x z ∂∂yz ∂∂ 解xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂31ln 22⋅+⋅=v u y v u 222)23(3)23ln(2yy x x y x y x -+-=? )2()(ln 222-+-⋅=v u y x v u 2232)23(2)23ln(2yy x x y x y x ----=? 例题：设ze x 2y 而x sin tyt 3求dtdz 解dtdy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=2223)2(cos t e t e y x y x ⋅-⋅+=-- )6(cos )6(cos 22sin 223t t e t t e t t y x -=-=--? 例题：设sin ye x xy 20求dxdy 解令F (xy )sin ye x xy 2则F x e x y 2F y cos y 2xyxyy e y xy y y e F F dx dy x y x 2cos 2cos 222--=---=-=? 例题：设x yy x arctan ln 22=+求dxdy 解令x y y x y x F arctan ln ),(22-+=则 22222222)()(11221y x y x x y xy y x x y x F x ++=-⋅+-+⋅+=? 22222221)(11221y x x y x xy y x y y x F y +-=⋅+-+⋅+=? yx y x F F dx dy y x -+=-=? 5.重积分（直角坐标，极坐标）。
例题：⎰⎰+Dd y x σ)(22其中D {(xy )||x |1|y |1}解积分区域可表示为D 1x 11y 1于是x d x ⎰-+=112)312(113]3232[-+=x x 38=? 例题：⎰⎰+Dd y x x σ)cos(其中D 是顶点分别为(00)(0)和()的三角形闭区域解积分区域可表示为D 0x 0yx 于是+--=0|)cos 2cos 21(πx x x dx x x ⎰-π0)cos 2cos 21(π23-=? 例题：利用极坐标计算下列各题(1)⎰⎰+D y xd e σ22，其中D 是由圆周x 2y 24所围成的闭区域解在极坐标下D {()|0202}所以)1()1(2124420202-=-⋅==⎰⎰e e d e d ππρρθπρ? (3)σd xy D arctan⎰⎰其中D 是由圆周x 2y 24x 2y 21及直线y 0yx 所围成的第一象限内的闭区域 解在极坐标下}21 ,40|),{(≤≤≤≤=ρπθθρD 所以 ⎰⎰⋅=4021πρρθθd d ⎰⎰==40321643ππρρθθd d ? 5．求曲顶柱体体积。
例题：求由曲面zx 22y 2及z 62x 2y 2所围成的立体的体积解由⎩⎨⎧--=+=2222262y x z y x z 消去z 得x 2+2y 2=62x 2y 2即x 2y 2=2故立体在x O y 面上的投影区域为x 2y 22因为积分区域关于x 及y 轴均对称并且被积函数关于xy 都是偶函数所以⎰⎰---=2202220)2(12x dy y x dx π6)2(82032=-=⎰dx x ?例题：计算以xOy 平面上圆域x 2y 2ax 围成的闭区域为底而以曲面zx 2y 2为顶的曲顶柱体的体积解曲顶柱体在xOy 面上的投影区域为D {(xy )|x 2y 2ax } 在极坐标下}cos 0 ,22|),{(θρπθπθρa D ≤≤≤≤-=所以 ⎰⎰≤++=ax y x dxdy y x V 22)(22πθθρρρθππθππ422cos 022442323cos 4a d a d d a ==⋅=⎰⎰⎰--? 6常数项级数的审敛法。
例题：判定下列级数的收敛性(1))4)(1(1 631521⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⋅+⋅n n 解因为145lim 1)4)(1(1lim 222=++=++∞→∞→n n n n n n n n 而级数∑∞=121n n 收敛故所给级数收敛 (2) 2sin 2sin 2sin 2sin 32⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n ππππ 解因为πππππ==∞→∞→n n n n n n 22sinlim 212sin lim而级数∑∞=121n n 收敛故所给级数收敛 (1) 23 2332232133322⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n n 解级数的一般项为n n n n u 23⋅=因为123123lim 322)1(3lim lim 111>=+⋅=⋅⋅⋅+=∞→++∞→+∞→n n n n u u n n n n n n n n n ? 所以级数发散(2)∑∞=123n n n解因为 131)1(31lim 33)1(lim lim 22121<=+⋅=⋅+=∞→+∞→+∞→nn n n u u n n n n n n n ?所以级数收敛(3)∑∞=⋅1!2n n n n n解因为 12)1(lim 2!2)1()!1(2lim lim 111<=+=⋅⋅++⋅=∞→++∞→+∞→e n n n n n n u u n n n n n n n n n n ? 所以级数收敛(3)∑∞=+112tan n n n π解因为 121221lim 2tan 2tan )1(lim lim 12121<=⋅+=+=++∞→++∞→+∞→n n n n n n n n n n n n n u u ππππ?所以级数收敛例题：判定下列级数是否收敛？如果是收敛的是绝对收敛还是 条件收敛？ (1) 4131211⋅⋅⋅+-+-解这是一个交错级数∑∑∞=-∞=--=-11111)1()1(n n n n n n u 其中n u n 1=因为显然u n u n +1并且0lim =∞→n n u 所以此级数是收敛的 又因为∑∑∞=∞=-=-1111|)1(|n n n n n u 是p 1的p 级数是发散的所以原级数是条件收敛的(2)∑∞=---1113)1(n n n n解∑∑∞=-∞=--=-111113|3)1(|n n n n n n n 因为131331lim 1<=+-∞→n n n n n 所以级数∑∞=-113n n n 是收敛的 从而原级数收敛并且绝对收敛7．幂级数。
例题：求下列幂级数的收敛域)1( 21222⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅++-nx x x n n ?解1)1(lim 1)1(1lim ||lim 22221=+=+=∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n 故收敛半径为R 1 因为当x 1时幂级数成为∑∞=-221)1(n n n 是收敛的当x 1时幂级数成为∑∞=+1211n n也是收敛的所以收敛域为[11] 解这里级数的一般项为12)1(12+-=+n x u n n n 因为212321|1232|lim ||lim x x n n x u u n n n nn n =+⋅+=++∞→+∞→由比值审敛法当x 21即|x |1时幂级数绝对收敛当x 21即|x |1时幂级数发散故收敛半径为R 1因为当x 1时幂级数成为∑∞=+-1121)1(n n n 是收敛的当x 1时幂级数成为∑∞=++-11121)1(n n n 也是收敛的所以收敛域为[11] 8．函数展开成幂级数。
例题：将下列函数展开成x 的幂级数并求展开式成立的区间(1)sin 2x 解因为x x 2cos 2121sin 2-=∑∞=-=02)!2()1(cos n n n n x x x () 所以∑∑∞=-∞=⋅-=--=1212022)!2(2)1()!2()2()1(2121sin n n n n n n n n x n x x x ()例题：将函数f (x )cos x 展开成)3(π+x 的幂级数 解3sin )3sin(3cos )3cos(]3)3cos[(cos ππππππ+++=-+=x x x x )( ])3()!12(3)3()!2(1[)1(211202+∞<<-∞++++-=+∞=∑x x n x n n n n n ππ5例题：将函数x x f 1)(=展开成(x 3)的幂级数 解∑=<-<---=-+=-+=n n n n x x x x x 0)1331( )33()1(313311313311 即∑=<<--=n n n n x x x 0)60( )33()1(311 例题：将函数231)(2++=x x x f 展开成(x 4)的幂级数 解2111231)(2+-+=++=x x x x x f 而∑∞=<++-=+--=++-=+0)1|34(| )34(31341131)4(3111n n x x x x x 即)17( 3)4(1101-<<-+-=+∑∞=+x x x n n n∑∞=<++-=+--=++-=+0)1|24(| )24(21241121)4(2121n n x x x x x ? 即)26( 2)4(2101-<<-+-=+∑∞=+x x x n n n因此∑∑∞=∞=+++++-=++=001122)4(3)4(231)(n n n n n n x x x x x f )26( )4)(3121(011-<<-+-=∑∞=++x x n n n n ? 注意复习书上习题 刘华。