D( ) 表示单位能量间隔内粒子可能的量子态数，称为
态密度。如果粒子的自旋不为零，以上量子态数公式 需乘以2。
将
p 代入上式，可求得，在体积V内，在 到 2m d 的范围内，自由粒子可能的状态数为
1 4 V 2 4 V 2 p dp 2 m d (2 m ) h3 h3 3 1 2 V 3 (2m) 2 2 d h
例如
(1,0,0)
(1,0,0)
(0,1,0)
(0,1,0)
(0,0,1)
(0,0,1)
所以该能级为六度简并，而基态为非简并。
（2）在宏观体积下，粒子的动量值和能量值是准 连续的，这时往往考虑在体积V L3 内，在一定 的动量范围内的自由粒子量子态数。 求：V=L3内在Px到Px+dPx， Py到Py+dPy， Pz到Pz+dPz间的自由粒子的量子态数与态密度。
在V=L3内，符合上式的量子态数：
L 3 dn x dn y dn z ( ) dp x dp y dp z 2
dn x dn y dn z的含义为
V
dpx dp y dpz 中的量子态数。 2
3
采用球坐标系，用
p, , 代替 px , p y , pz
p x p sin cos p y p sin sin p z p cos
第十三章
统计物理的基本 概念 §2.1 粒子运动状态的经典描述
粒子是指组成物质系统的基本单元。 粒子的运动状态是指它的力学运动状态。 如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运 动状态的描述称为经典描述。 如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运 动状态的描述称为量子描述。
赣南师范学院物理系
§13.1
V 2 dn( p, , ) 3 p sin dpdd h
: 0 , : 0 2
积分：
可求得，在体积V内，动量大小在P到P＋dP的范围 内（动量方向为任意），自由粒子可能的状态数为
V dn( p) 3 h

0

2
0
p sin dpdd
2
4V 2 3 p dp h
2 nx 可知，px与nx是一一对应的，且 由 px L
相邻的两个nx之差为1，因此在Px到Px+dPx范围 内，可能的Px的数目为
dnx L 2 dp x
在V=L3内，Px到Px+dPx， Py到Py+dPy，Pz到 Pz+dPz间可能的Px， Py， Pz的数目为
L dnx dpx 2 L dny dpy 2 L dnz dpz 2
广义动量： p1 px mx p2 p y my p3 pz mz
q3 z
2 2 能量： 1 ( p x py p z2 )
2m
2、线性谐振子
质量为 m 的粒子在弹性力 f kx作用下，将在原 点附近作圆频率为 k m 的简谐振动，称为线性 谐振子。 自由度： 1 μ空间维数：2
将
p 代入上式，可求得，在体积V内，在 到 2m d 的范围内，自由粒子可能的状态数为
1 4 V 2 4 V 2 p dp 2 m d (2 m ) h3 h3 3 1 2 V 3 (2m) 2 2 d h
2
D( )d
2V 32 12 ( 2 m ) d 3 h
引言
一、粒子的状态经典描述
粒子的自由度数r 能够完全确定质点空间位置的独立坐标数目。 自由度为r的一个微观粒子的微观运动状态由2r 个广义坐标和广义动量确定。
广义坐标:
q1 , q2 , q3 ,qr
广义动量： p1 , p2 , p3 , pr
能量＝（ q1 , q2 , qr；p1 , p2 , pr）
由此2r个作为直角坐标构成的2r维空间称为μ空间
空间：（q1 , q2 , qr；p1 , p2 , pr）
μ空间中任何一点代表力学体系中一个粒子的一 个运动状态，这个点称为代表点。当粒子运动状态随 时间改变时，代表点相应地在μ空间中移动，描画出 一条轨迹。
二、实例 1、自由粒子
自由度： 3 μ空间维数：6 广义坐标: q1 x q2 y
1 n (n ) 2 n 0,1,2,
其中n是表征线性谐振子的运动状态和能量的量子数， 能量值是分立的。 线性谐振子的能级等间距，均为 。能级为非 简并。
二、自由粒子
一维自由粒子
考虑处于长度为 L 的一维容器中自由粒子的运动 状态。周期性边界条件要求粒子可能的运动状态， 其德布罗意波长 满足 2 L nx , nx 0,1, 2, 又：k x 2
8 V 2 D d 3 3 d hc
广义坐标: q x 能量：
广义动量： p mx
p2 1 m 2 x 2 2m 2
§13.2

相空间
p k
微观粒子具有波粒二象性（粒子性与波动性） 德布罗意关系：
微观粒子不可能同时有确定的动量和坐标， 说明微观粒子的运动不是轨道运动。微观粒子的 运动状态不是用坐标和动量来描述的，而是用波 函数或量子数来描述的。
p n 2m
2
2 2 2 px py pz
2m
2 m
2 2
2 2 2 nx ny nz
L3
（1）在微观体积下，粒子的动量值和能量值的分离 性很显著，粒子运动状态由三个量子数表征。
2 2 2 n n n 能量值决定于 x y z
2 2 2 2 2 2 nx n y nz 1 3 mL 有六个量子态与之对应，
kx L nx , nx 0, 1, 2,
代入德布罗意关系式： px kx
2 px nx L
因此，一维自由粒子的量子数：1个
2 2 px 2 2 2 nx nx 2m m L
nx
nx 0,1,2,
基态能级为非简并，激发态为二度简并。
三维自由粒子
考虑处于体积为 L3 的三维容器中自由粒子的运动状 态。 仿照一维粒子的情形，该粒子在三个方向动量的可能 值为
2 px nx L 2 py ny L 2 pz nz L
nx , ny , nz 0,1,2,
量子数：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ个
nx , ny , nz
能量的可能值为
2
2V D( )d 3 (2m) 3 2 1 2 d h
D( ) 表示单位能量间隔内粒子可能的量子态数，称为
态密度。如果粒子的自旋不为零，以上量子态数公式 需乘以2。
考虑到光子的自旋为1，自旋在动量方向的投影有两 个可能值，故以上量子态数应乘以2，因此，在体积 V内，在 到 d 的范围内，光子可能的状态数 为
微观粒子的运动状态称为量子态。量子态由 一组量子数来表征。这组量子数的数目等于粒子 的自由度数。 微观粒子的能量是不连续的,称为能级.如果一 个能级的量子态不止一个，该能级就称为简并的。 一个能级的量子态数称为该能级的简并度。如果 一个能级只有一个量子态，该能级称为非简并的。
实例
一、线性谐振子
圆频率为 的线性谐振子的能量可能值为