【典例3】如图所示为一单摆的共振曲线，该单摆的摆长约为 多少?共振时单摆的振幅多大?共振时摆球的最大速度和最大 加速度各为多少?(g取10 m/s2)
【解题指导】
【标准解答】从共振曲线可知，单摆的固有频率f=0.5 Hz．
因为 f1
2
gl，所以 代l入4数g2据f2解, 得l≈1
m．从共振曲
线可知：单摆发生共振时，振幅Amax=8 cm.
n4
4.(2011·枣庄高二检测)如图所示是一个弹簧振子做阻尼振 动的振动图象,曲线上A、B两点连线与横轴平行,下列说法正 确的是( )
A.振子在A时刻的动能等于B时刻的动能 B.振子在A时刻的势能大于B时刻的势能 C.振子在A时刻的机械能等于B时刻的机械能 D.振子在A时刻的机械能大于B时刻的机械能
2.A、B两弹簧振子，A固有频率为f，B固有频率为4f，若它们 均在频率为3f的驱动力作用下做受迫振动，则( ) A．A的振幅较大，振动频率为f B．B的振幅较大，振动频率为3f C．A的振幅较大，振动频率为3f D．B的振幅较大，振动频率为4f 【解析】选B． A、B两弹簧振子都是受迫振动，谁的固有频 率接近驱动力的频率，谁的振幅就大，其频率都等于驱动力 的频率．
【解题指导】解题时注意,加配重杆的作用是改变机翼的摆长， 摆长改变,则机翼的固有频率改变,那么飞机机翼抖动减轻. 【标准解答】选D．飞机抖动的厉害是因为发生了共振现象， 想要解决这一问题需要使系统的固有频率与驱动力的频率差 别增大，在飞机机翼前缘处装置一个配重杆，改变的是机翼 的固有频率，故选项D正确．
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代入数据解得amax=0.8 m/s2
答案：1 m 8 cm 0.25 m/s 0.8 m/s2
【规律方法】分析、解决有关共振问题的方法 (1)在分析解答有关共振问题时,要抓住产生共振的条件:驱动 力的频率等于固有频率时产生共振,此时振动的振幅最大. (2)在解决有关共振的实际问题时,要抽象出受迫振动这一物理 模型,弄清驱动力频率和固有频率,然后利用共振的条件进行求 解.
二、自由振动、受迫振动和共振的比较
(1)受迫振动的振幅可以不变，但受迫振动的机械能 是不守恒的； (2)共振不是一种振动，它是受迫振动中的一种现象，当驱动 力的频率和振子的固有频率相等时，就会发生共振现象.
【典例2】铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的 间隙，匀速运行的列车经过轨端接缝处时，车轮就会受到一 次冲击．由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期 性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动．普通钢轨长为 12.6 m，列车固有振动周期为0.315 s．下列说法正确的是
【解题指导】在阻尼振动中,振动系统的动能和势能之和 减小.但在一段较短的时间内,动能和势能不一定都减小,关键 要分析动能与势能之间是如何转化的.
【标准解答】选A、D.单摆在振动过程中,因不断克服空气阻 力做功,使机械能逐渐转化为内能,选项A和D对;虽然单摆总的 机械能在逐渐减小,但在振动过程中动能和势能仍不断地相互 转化,动能转化为势能时,动能逐渐减小,势能逐渐增大,而势能 转化为动能时,势能逐渐减小,动能逐渐增大,所以不能断言后 一时刻的动能(或势能)一定小于前一时刻的动能(或势能),故 选项B、C不对.
3.如图所示，曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以 带动弹簧振子上下振动，开始时不转动摇把，而让振子自由 上下振动，测得其频率为2 Hz，然后匀速转动摇把，转速为 240 r/min，当振子振动稳定时，它们振动的周期为( )
A．0.5 s C．2 s
B．0.25 s D．4 s
【解析】选B．匀速转动摇把后，振子将做受迫振动，驱动力 的周期跟把手转动的周期是相同的，振子做受迫振动的周期 又等于驱动力的周期，其频率也等于驱动力的频率，与振子 自由上下振动频率无关．摇把匀速转动的转速为240 r/min= 4 r/s，所以驱动力的周期T= 1 =1 0s .25 s.
2.从功能关系来看 当驱动力频率越接近物体的固有频率时，驱动力与物体运动一 致的次数越多，驱动力对物体做正功越多，振幅就越大．当驱 动力频率等于物体固有频率时，驱动力始终对物体做正功，使 振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服 阻尼作用损耗的能量时，振幅才不再增加．
3.利用共振解决问题 (1)在分析解答有关共振问题时，要抓住产生共振的条件分析： 驱动力的频率等于固有频率时产生共振，此时振动的振幅最 大． (2)在解决有关共振的实际问题时，要抽象出受迫振动这一物 理模型，弄清驱动力频率和固有频率，然后利用共振的条件 进行求解．
【标准解答】选A、B、D．对于受迫振动，当驱动力的频率与
固有频率相等时将发生共振现象，所以列车的危险速率v= L
T
=40 m/s，A正确．为了防止共振现象发生，列车过桥时需要
减速，B正确.由v=L 知L增大时，T不变，v变大，D正确．
T
三、共振的进一步分析
1.从受力角度来看 振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力 对它起加速作用，使它的振幅增大，驱动力的频率跟物体的 固有频率越接近，使物体振幅增大的力的作用次数就越多， 当驱动力频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使 物体的振幅增加，从而使振幅达到最大．
A．三个摆的周期和振幅相等 B．三个摆的周期不等，振幅相等 C．三个摆的周期相等，但振幅不等 D．三个摆的周期和振幅都不相等 【解析】选C.三个摆的振动都是受迫振动，所以振动的频率
都与驱动力的频率相同，三者的频率相同，由f= 1 1
T 2 l g
知，2的频率与驱动力的频率相同，振幅最大．而1和3的振幅
【典例】在飞机的发展史中有一个阶段，飞机上天后不久， 飞机的机翼(翅膀)很快就抖动起来，而且越抖越厉害．后来 人们经过了艰苦的探索，利用在飞机机翼前缘处装置一个配 重杆的方法，解决了这一问题．在飞机机翼前装置配重杆的 目的主要是( ) A．加大飞机的惯性 B．使机体更加平衡 C．使机翼更加牢固 D．改变机翼的固有频率
() A．列车的危险速率为40 m/s B．列车过桥需要减速，是为了防止列车发生共振现象 C．列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的 D．增加钢轨的长度有利于列车高速运行
【解题指导】(1)火车轮每过一根钢轨就会振动一次，所 以通过一根钢轨的时间就是火车实际振动的周期； (2)“列车固有振动周期为0.315 s”表示火车的实际周期必 须与之不相等.
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/282021/2/28Februar y 28, 2021
二、非选择题 7.小球做受迫振动如图所示，一个竖直圆盘转动时,固定在圆 盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动,T形支架的下 面系着一个弹簧和小球组成的振动系统,小球浸没在水中.当 圆盘静止时,让小球在水中振动,其阻尼振动的频率约为3 Hz. 现使圆盘以4 s的周期匀速转动,经过一段时间后,小球振动达 到稳定,它振动的频率是多少?
(3)图象法解决问题直观方便，利用共振图线可以找出最大振 幅，以及振动的固有频率或固有周期，然后再利用周期公式 进行分析，如图所示.
(1)当驱动力的频率与固有频率相差越大时，振动的 振幅就越小；当驱动力的频率与固有频率相等时，振幅最大； (2)从受迫振动的振幅与频率的关系图象中可以得到振动的固 有频率，在计算中可以利用这一条件．
一、阻尼振动与无阻尼振动的比较
(1)阻尼振动的振幅不断减小，能量不断减少，但阻尼 振动的频率不变，其频率为固有频率，由系统本身决定； (2)无阻尼振动是一种理想情况，也叫简谐振动.实际中的振动 都会受到阻力的作用，当阻力较小时，可认为是简谐运动.
【典例1】一单摆在空气中振动,振幅逐渐减小.下列说法正确 的是( ) A.机械能逐渐转化为其他形式的能 B.后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能 C.后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能 D.后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能
设单摆的最大偏角为θ，摆球所能达到的最大高度为h，由机
械能守恒定律得
1 2
mvmax2=mgh又h=l(1-cosθ)
，当θ很小时
1-cosθ=2sin2
2
A2 max 2l 2
解得 vm axAlm ax gl0.25m/s
摆球在最大位移处加速度最大，有mgsinθ=mamax，即
amax
gsingAmax l
3.根据规律特点,用大家熟悉的成语去比拟,会收到意想不到的 效果: (1)自由振动:江山易改,本性难移. (2)受迫振动:寄人篱下,身不由己. (3)共振:情投意合,心随你动.
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/2/282021/2/28Sunday, February 28, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/2/282021/2/282021/2/282/28/2021 2:29:33 PM
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/2/282021/2/282021/2/28Feb-2128-Feb-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/2/282021/2/282021/2/28Sunday, February 28, 2021
【解析】当圆盘转动时,通过小圆柱带动T形支架上下振动,T 形支架又通过弹簧给小球一周期性的作用力使其做受迫振动, 所以小球振动的频率应等于驱动力的频率,即T形支架的振动 频率,而T形支架的频率又等于圆盘转动的频率,故小球振动的 频率 f= 1 H1 z=0.25 Hz.