“导数证明不等式问题”练习题答案
1.设L 为曲线C:ln x y x
=在点(1,0)处的切线. (I)求L 的方程;
(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C 在直线L 的下方.
解: (I)设ln ()x f x x =,则21ln ()x f x x
-'=.所以(1)1f '=.所以L 的方程为1y x =-. (II)令()1()g x x f x =--,则除切点之外,曲线C 在直线l 的下方等价于()0
g x >(0,1)x x >≠. ()g x 满足(1)0g =,且221ln ()1()x x g x f x x
-+''=-=. 当01x <<时,210x -<,ln 0x <,所以()0g x '<,故()g x 单调递减;
当1x >时,210x ->,ln 0x >,所以()0g x '>,故()g x 单调递增.
所以,()(1)0g x g >=(0,1x x >≠).
所以除切点之外,曲线C 在直线L 的下方.
又解:()0g x >即ln 10x x x
-->变形为2ln 0x x x -->,记2()ln h x x x x =--,则2121(21)(1)()21x x x x h x x x x x
--+-'=--==, 所以当01x <<时,()0h x '<,()h x 在(0,1)上单调递减;
当1x >时,()0h x '>,()h x 在(1,+∞)上单调递增.
所以()(1)0h x h >=.)
2.Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，； (Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．
解⑴证明：()2e 2
x x f x x -=+ ()()()22224e e 222x
x
x x f x x x x ⎛⎫-' ⎪=+= ⎪+++⎝⎭ ∵当x ∈()()22,-∞--+∞，时，()0f x '>
∴()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增
∴0x >时，
()2e 0=12x x f x ->-+， ∴()2e 20x x x -++> ⑵ ()()()24e 2e x x a x x ax a g x x ----'=
()
4e 2e 2x x x x ax a x -++=
()322e 2x x x a x x
-⎛⎫+⋅+
⎪+⎝⎭= [)01a ∈， 由(1)知，当0x >时，()2e 2x x f x x -=
⋅+的值域为()1-+∞，，只有一解． 使得2e 2
t t a t -⋅=-+，(]02t ∈， 当(0,)x t ∈时()0g x '<，()g x 单调减；当(,)x t ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调增 ()()()222e 1e e 1e 22
t t t
t t t a t t h a t t t -++⋅-++===+ 记()e 2t
k t t =+，在(]0,2t ∈时，()()()
2e 102t t k t t +'=>+，∴()k t 单调递增 ∴()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦
，．
3.设函数．
x x 2f (x)x 2
-=+e 0x >(2)20x x e x -++>[0,1)a ∈2x =(0)x e ax a g x x
-->（）()g x ()h a ()h a ()1x f x e -=-
（Ⅰ）证明：当时，； （Ⅱ）设当时，，求a 的取值范围． ,,,-1()1.1
()1,()= 1.0()0()+0()0()+()0()(0)=01.
-1().1
0()0.
0x x x x x x f x e x x g x e x g x e x g x g x x g x g x g x x g x g e x x x f x x x f x a x >≥
≥++=---≥≥∞≤≤∞∴=∴≥≥+∴>≥
+≥≥<>-解：（1）当时，当且仅当令则当时，，在[0,）是增函数；
当时，，在[0,）是减函数.
在处取到最小值，，即当时，（2）由题，此时当时，若,,,1,0,();110()()(),()()0.1
()()()()1()()()
10,(1)(),2
()()()(1)()()(21)()0.
()x x f x a ax ax x a h x axf x f x x f x h x ax h x af x axf x f x af x axf x ax f x a x x f x h x af x axf x a x f x f x a f x h x <≤++≥=+-≤
≤+=++-=-+-≤≤≤+≤-++-=-≤，则当时，令则当且仅当1当由（1）知在[,,()(0)=0().112,(),2()()()()()()()()(21)()
210()0,()(0)=0,().1
1.2x h x h f x ax a x f x h x af x axf x ax f x af x axf x af x f x a ax f x a x x h x h x h f x a ax a ∞≤≤+>≥=-+-≥-+-=---<<>∴>>+0,+)是减函数，，即当时由上知，当时，即综上，的取值范围是[0,]
4.已知函数.
x ＞-1()1
x f x x ≥+0x ≥()1
x f x ax ≤+()(1)ln 1f x x x x =+-+
（Ⅰ）若，求的取值范围；
（Ⅱ）证明： .
2,max 11()=ln 1(0).() 1.()1ln .
1()ln ,()=-1()(1)1,1,()ln -1ln +10.
01()(1)ln 1x f x x lnx x x x
xf x xlnx xf x x ax a x x g x x x g x g x g x
a a g x x x x x x f x x x x ++-=+>∴=+≤++≥-=-==-∴≥-∞=-≤∴-≤<<=+-+=，，，解：（1）由得，令则，可得即的取值范围是[-1,+).(2)由于（1）可知，当时，ln ln 10;
111(1)ln 1ln ln 1ln (ln 1)0.1()0.
x x x x x x x x x x x x x x x x
x f x +-+≤≥+-+=+-+=-+-≥-≥当时，综上，（） 5.设函数()f x =311x x
+
+，[0,1]x ∈. 证明：（I ）()f x 21x x ≥-+；（II ）34<()f x 32≤. 解：(Ⅰ)因为()()4
4
23111,11x x x x x x x ----+-==--+ 由于[]0,1x ∈，有411,11x x x
-≤++即23111x x x x -≤-++， 所以()2
1.f x x x ≥-+ (Ⅱ)由01x ≤≤得3x x ≤，
故()()()()312111333311222122x x f x x x x x x -+=+
≤+-+=+≤+++， 所以()32
f x ≤. 由(Ⅰ)得()221331244f x x x x ⎛⎫≥-+=-+≥ ⎪⎝
⎭， 又因为11932244f ⎛⎫
=> ⎪⎝⎭，所以()34f x >，综上，()33.42f x <≤ 2'()1xf x x ax ≤++a (1)()0x f x -≥。