s.t. Ax ~ b
x0
其中“~”表示某种弹性，意思 是“近似小于
等于”。Ax ~ b是由m个模糊集描述的， x以
界于0和1之间的某个隶属度使不 等式Ax b成
立。
设模糊集“Ax ~ b”的隶属函数为 Di ( x),
i 1,2,, m,为简单计，令 企业资料网企业管理资料库、法规
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普通线性规划其约束条件和目标函数都 是确定的，但在一些实际问题中，约束条件 可能带有弹性，目标函数可能不是单一的， 必须借助模糊集的方法来处理.
模糊线性规划是将约束条件和目标函数 模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的 线性规划问题，它的最优解称为原问题的模 糊最优解.
13
模糊线性规划的形式为
max f Cx
f 1.5 x1 x2 0 x3 0 x4 0 检验数中1.5，1均为正数，目标值非最优，需换 基。
换基：因为10 / 2 6 / 1,故2为主元素。
1.5 1 0 0 0
2 1 1 0 10
1 1 0 1 6
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10
1.5 1 0 0 0 2 1 1 0 10 1 1 0 1 6
Pj1 , Pj2 ,, Pjs 线性无关，则称向量组
B （Pj1 , Pj2 ,, Pjs） 为线性规划问题的一个 基。与基对应的变量
称为基变量，其 企业资余料网变 库企、业音管量乐理库资料称库、为法规非基变量。 6
定义4 基变量非零而非基变量 为零的向量称 为基础解。可行的基础 解称为基础可行解。
s.t . x≥0指x中的每
一个分量xj ≥0
x 0.
x
x2
b
b2
xn
b2 m
对于线性规划问题：
min f cx
Ax b( 0) s.t.x 0.
等价于如下标准形式：
max f cx
Ax b,
s.t .
x 0.
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3
而对于线性规划问题：
14
n
Di ( x) fi ( aij x j ) j 1
n
1,
aij x j bi
j 1
1
1 di
n
( aij x j
j 1
bi ), bi
n
aij x j
j 1
bi
di
n
0,
aij x j bi di
j 1
i 1,2,, n.
其中d i
(
0)是适当选择的弹性参数 企业资料网企业管理资料库、法规
max f cx
Ax b( 0) s.t.x 0.
可通过引入m个松弛变量xn+1 , …, xn+m，
将原问题化成如下标准形式：
max f cx
xn1
s.t
.
Ax xB (x, xB )
b, 0.
xB
xn2
xnm 4
而对于线性规划问题：
min f cx
Ax b( 0) s.t.x 0.
其中f
为普通线性规划
0
的最优值。
。
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15
若令D D1 D2 Dm，
则可用D来代表约束条件 Ax ~ b，即Ax ~ b的
m
的隶属函数为
D(
x)
i 1
Di
(
x).
当di 0(i 1,2,, m)时，D就退化为普
通约束，这时“~”成为“”。
将目标函数转化为约束 条件Cx
f
，在
0
原模糊约束下变成模糊 集Cx ~ f0 .
s.t. x1 x2 x4 6
x1
,
x2 ,
x3 ,
x4
0
解 首先确定约束方程系数矩阵是一个基：
x1 x2 x3 x4 f
1.5 1 0 0 0
2 1 1 0 10
1 1 0 1 6
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9
取单位向量作为基，对 应的基变量为x3，x4， 则x1，x2为非基变量。令 x1 x2 0，得基础 可行解x (0,0,10,6),目标函数值为
三、线性规划模型解的性质 1.线性规划问题的可行解 集为凸集；
一个凸集A中的点x，如果不能成为 A中 任何线段的内点，则称 x为A的极点。 2.可行解集中的点 x是极点的充分必要条件 是 x为基础可行解； 4.线性规划问题的最优解 必在某极点达到。
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7
二、线性规划问题的解法
0 1 / 4 3 / 4 0 7.5 1 1/2 1/2 0 5
0 1 / 2 1 / 2 1 1
检验数中1/4为正数，目标值非最优，需换基。 换基：
因为5 /(1 / 2) 1 /(1 / 2),故1 / 2为主元素。
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0 1 / 4 3 / 4 0 7.5 1 1/2 1/2 0 5
可通过引入m个松弛变量xn+1 , …, xn+m，
将原问题化成如下标准形式：
max f cx
xn1
s
.t
.
Ax (1)xB (x, xB ) 0.
b,
xB
xn2 xnm
5
二、线性规划模型解的有关概念 定义1 若x（0）满足约束条件，则称 x（0）是线 性规划问题的可行解。 定义2 使目标函数达到最大值 的可行解称 为最优解。 定义3 若系数矩阵A有s个列向量
0 1 / 2 1 / 2 1 1
0 0 0.5 0.5 8 1 0 1 1 4
0 1 1 2 2
检验数中没有正数，目标值最优，完成计算：
得到最优解为
x1 4, x2 2, x3 x4 0, f 8.
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§5.2 模糊线性规划
第5章 模糊线性规划
1
§5.1 普通线性规划
一、线性规划模型的基本形式
线性规划问题的数学模型是将实际问题转化
为一组线性不等式或等式约束下求线性目标函数
的最小(大)值问题ax f cx c = (c1 , c2 , … , cn )
A = (aij )m×n Ax b, x1 b1
1.图解法 2.单纯形法
根据性质3，最优解可以在基础可行解中 去找。为此，首先确定A中的一个基，然后， 由检验数是否为负来判断目标函数是否为最优。 如果不是，则要换基，直到检验数均为负或者 零为止。
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8
例 求解规划问题
max f 1.5 x1 x2
2 x1 x2 x3 10