i
1
Y L
T
A
T M P O E ω t x
A
B
i
2
A
B
X
（1）次抛物线的基本公式
y x 2R
2
Q
l
h
x
B
竖曲线计算图示
（2）竖曲线要素计算
L R
R T1 T2 L/2 2
l2 h(竖距） 2R
T2 E 2R
为竖曲任意点至竖曲线起点的距
一、竖曲线要素的计算公式

1．竖曲线的基本方程式：设变坡点相邻两纵坡坡 度分别为i1和i2。抛物线竖曲线有两种可能的形式： （2）Y轴过抛物线起点。



三、高原纵坡折减
1.《规范》规定：H≧3000m 最大纵坡折减。折减后 若小于4%，则仍采用4%。
高原纵坡折减值

海拔高度H
折减值（％）
3000~4000 4000~5000 >5000 1 2 3
2．高原为什么纵坡要折减？ 在高海拔地区：发动机的功率下降 驱动力降低，爬坡能力下降。 冷却水易于沸腾破坏冷却系统。
一、竖曲线要素的计算公式


1．竖曲线的基本方程式：设变坡点相邻两纵坡坡 度分别为i1和i2。抛物线竖曲线有两种可能的形式： （1）Y轴过抛物线底（顶）部；
1 2 y x 2R
式中：R——抛物线顶点 处的曲率半径

A
B
1.竖曲线的几何要素
i1, i2 , i2 i1
几个参数： 前坡，后坡， 坡差
L R T 2 2
B
i2i
2
A

（3）竖曲线上任一点竖距h：
x2 x2 h PQ y P yQ i1 x i1 x 2R 2R
式中：x——竖曲线上任意点与竖曲线始点或终点的水平距离，
y——竖曲线上任意点到切线的纵距，即竖曲线上任意点 与坡线的高差。
L-x
ii2
2
h’ h
(4) 竖曲线外距E：
T12 上半支曲线x = T1时： E1 2R
下半支曲线x = T2时：
T2 2 E2 2R

由于外距是变坡点处的竖距，则E1 = E2 = E，
故 T1 = T2 = T
T2 E 2R 或 R 2 L T E 8 8 4
[例4-3]：某山岭区一般二级公路，变坡点桩号为k5+030.00， 高程H1=427.68m，i1=+5%，i2=-4%，竖曲线半径R=2000m。 试计算竖曲线诸要素以及桩号为k5+000.00和k5+100.00处 的设计高程。
注：宜设在直线段或大半径曲线上 曲线半径较小时，缓和坡段长度应增加。 回头曲线段不能作为缓和坡段。

八、平均纵坡 平均纵坡：一定长度的路段所克服的高差H与路线长 度L之比（连续升坡或降坡路段）。
i平 H L
《标准》规定： 二、三、四级公路： 越岭路线连续上坡(或下坡)路段： 相对H：200～500m时，i平≦5.5％； 相对H：>500m时， i平≦5％。 任意连续3km路段: i平≦5.5％。 城市道路:减少1.0%。 H>3000m以上地区:减少0.5%～1.0%。
路堤
路堑
第二节 纵坡设计

一、纵坡设计的一般要求 1．必须满足《标准》的各项规定。


2．纵坡设计应对沿线地面、地下管线、地质、水 文、气候和排水等综合考虑。

忽上忽下

3．满足行驶要求，纵坡应平顺，起伏不宜过大和频繁。
4．山岭重丘区：纵坡设计应考虑填挖平衡，移 挖作填。
5．平原微丘区：纵坡满足最小纵坡要求， 满足最小填土高度要求。 6．对连接段纵坡、交叉处前后的纵坡应平缓，
四、最小纵坡

最小纵坡：
各级公路在特殊情况下容许使用的最小坡度值。 最小纵坡值：0.3%，一般情况下0.5%为宜。
适用条件：排水不畅路段：长路堑、桥梁、隧道、设超高的 平曲线等。

当必须设计平坡（0%）或小于0.3%的纵坡时，边沟应作纵 向排水设计。

干旱少雨地区最小纵坡可不受上述限制。


（如大、中桥引道及隧道两端接线等）

7．充分考虑通道、农田水利等方面的要求。
二、最大纵坡

最大纵坡：纵坡设计时各级道路允许使用的最大坡度值。

影响因素： ① 汽车动力特性：汽车在规定速度下的爬坡能力。
上坡： 下坡：

②道路等级：等级高，行驶速度大，要求坡度阻力小。
③自然条件：海拔高程、气候（积雪寒冷等）。 纵坡度大小的优劣： 坡度大：行车困难：上坡速度低，下坡较危险。 山区公路可缩短里程，降低造价。

任务：研究纵断面线形的几何构成及其大小与长度。
依据：汽车的动力特性、道路等级、当地的自然地理条 件以及工程经济性等。

路线纵断面图构成：
地面线：根据中桩点的高程绘的一条折线； 设计线：路线上各点路基设计高程的连线。 变坡导线：变坡点间的连线

路线纵断面图构成：
地面线：根据中桩点的高程绘的一条折线； 设计线：路线上各点路基设计高程的连线。 变坡导线：变坡点间的连线 地面高程：中线上地面点高程。 设计高程：两种规定 公路： 城市道路：


设计高程 HS = HT - y1 = 426.18 - 0.90=425.18m
（凸竖曲线应减去改正值）
K5+100.00：位于下半支

①按竖曲线终点分界计算： 横距x2= Lcz – QD = 5100.00 – 4940.00＝160m


x2 2 1602 y2 6.40 2 R 2 2000 切线高程 HT = H1 + i1（ Lcz - BPD）
五、坡长限制

坡长：相邻变坡点间的长度
内容：最小坡长限制：任何路段 最大坡长：陡坡路段

1．最短坡长限制 《标准》规定，各级公路最短坡长不应小于9－15s行程。

120*9/3.6＝300m
2．最大坡长限制
最大坡长：汽车在坡道上行驶，当车速降低到某一最低允许 速度时所行驶的距离

《标准》规定各级公路最大坡长限制。

Rmin
V2 , 3.6
或 Lmin
V 2 3.6

2．时间行程不过短 最短应满足3s行程。
V V Lm in t 3.6 1.2 V 则 Rm in 1.2 L m in

3．满足视距的要求： 凸形竖曲线：坡顶视线受阻 凹形竖曲线：下穿立交
4. 凸形竖曲线主要控制因素：行车视距。
2．计算设计高程



K5+000.00：位于上半支 横距x1= Lcz – QD = 5000.00 – 4940.00＝60m 竖距 x12 602 y1 0.90 2R 2 2000 切线高程 HT = H1 + i1（ Lcz - BPD） = 427.68 + 0.05×(5000.00 - 5030.00) = 426.18m
H 台阶式 L
九、合成坡度
1.定义：由路线纵坡与横坡组合而成的坡度。 计算公式：
2 2 I ih i z
式中：I——合成坡度（%）； ih——超高横坡度或路拱横坡度（%）； iz——路线设计纵坡坡度（%）。

ih i I
2．合成坡度指标

（1）最大允许合成坡度值：
（2）最小合成坡度： Imin≧0.5%。 Imin＜0.5%时，应采取综合排水措施，以保证路面 排水畅通。

解：1．计算竖曲线要素 ω=i2- i1= - 0.04-0.05= - 0.09<0，为凸形。 曲线长 L = Rω=2000×0.09=180m 切线长
T L 180 90 2 2 T2 902 E 2.03 2R 2 2000


外
距

竖曲线起点QD＝（K5+030.00）- 90 = K4+940.00 竖曲线终点ZD＝（K5+030.00）+ 90 = K5+120.00




设计高程 HS = HT – y2 = 424.88 – 0.10 = 424.78m
二、竖曲线的最小半径


（一）竖曲线设计限制因素 1．缓和冲击 汽车在竖曲线上行驶时其离心加速度为:
v2 V2 V2 a , R R 13R 13a
根据试验，认为离心加速度应限制在0.5～0.7m/s2比较 合适。我国《标准》规定的竖曲线最小半径值，相当于 a=0.278 m/s2。

1 2 y x i1 x 2R
式中：R——抛物线顶点 处的曲率半径 ；

B
i2
i1——竖曲线顶 （底）点处切线的坡度。

A
2．竖曲线诸要素计算公式

（1）竖曲线长度L或竖曲线半径R： L = xA - xB
L R , R L


（2）竖曲线切线长T： 因为T = T1 = T2，则
= 427.68 + 0.05×(5100.00 - 5030.00) = 431.18m
竖距

设计高程 HS = HT – y2 = 431.18 – 6.40 = 424.78m
K5+100.00：位于下半支

②按变坡点分界计算： 横距x2= ZD – Lcz = 5120.00 – 5100.00 ＝20m x 22 202 竖距 y2 0.10 2R 2 2000 切线高程 HT = H1 + i2（ Lcz - BPD） = 427.68 - 0.04×(5100.00 - 5030.00) = 424.88m