Ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ａｎａｌｙｓｅｓ ａｒｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ａｎａｌｙｚｅ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｔｈｅ ｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ ｏｆｔｈｅ ｉｎｔｅｒｎａｌ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｐｒｉｍａｒｙ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｉｓ ｓｔｕｄｉｅｄ ｗｈｅｎ ｈｏｒｉｚｏｎｔａｌ ｏｒｉｅｎｔａｔｉｏｎ ｅｎｃｏｕｎｔｅｒｓ ｗｅａｋ ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ．Ａｎｄ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｉｓ ｃａｒｒｉｅｄ ｏｕｔ ａｎｄ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｃｏｍｐａｒｅｄ．
Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｆｒａｍｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｍｏｄｅｌ，ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｅ ｅｎｅｒｇｙ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｂｕｉｌｄ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｕｎｄｅｒ ｅａｒｔｈｑｕａｋｅ ｌｏａｄ，Ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｉｓ ｂａｓｅｄ Ｏｎ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ．
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签字日期：∞ｏ ３年』月Ｉ ｏ日
天津大学硕士学位论文
第一章 前言
第一章 前
言
１．１课题研究的意义
二、针对建立的方稳，采用多尺度法进行分折，｛！导到了结梅发生 虑共振黪条件，然爱磷究了结构在遭运ｘ方囱弱激励静翡况下，在 发生主共振时的动力学行为，并且利用数德分析方法得到了结构发生 主共振时的数值解，将熟与摄动解进行了比较。
三、采用多尺度法进行研究，得到了结梅在强激励下产生超谐和 翌渚共撅豹条件，努拆臻梅鲣予超谐帮耍溃共振露的ｊ｝线憔璐力学行 为，并且把多尺度法求得的摄动解同数德解进行比较。
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｍｏｔｉｏｎ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｃｏｕｐｌｉｎｇ
ｉｎｔｅｒｎａｌ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ
ｓｕｐｅｒｈａｒｍｏｎｉｃ莹ｅｓｏ弧ａ￥★ｅｅ ｓｕｂｈａｒｍｏｎｉｃ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ
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独创性声明
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ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｓｕｐｅｒｈａｒｍｏｎｉｃ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ａｎｄ ｓｕｂｈａｒｍｏｎｉｃ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ｉｓ ｓｔｕｄｉｅｄ，Ｔｈｅ
ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｎｕｍｅｆｉ穗ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｃｏｍｐａｒｅｄ，
Ｐｒｉｍａｒｙ ｌ℃ｓｏｎａｎｃｅ ａｎｄ ｓｕｐｅｒｈａｒｍｏｎｉｃ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ａｎｄ ｓｕｂｈａｒｍｏｎｉｃ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ａｒｃ
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（１）线性系统中的叠加原理对非线性系统鼹不适用的，也就是说，如作用
天津大学硬士学位论文
第一章 赛意
在非线性系统上有可以展成付氏级数的蠲期干扰力，其强追搬动的解不等于每 个谐波单独作用时解的叠加。
（２）在非线性系统中，对于平衡状态和周期振动的定常解一般有数个，必 缓疆究艇兹稳定性瓣鼷，方驻决定哪一个巍实嚣的过程中霹蔽蜜褒。
的意义。
天津大学硕士学位论文
｛。２匿涎终研究酶凌获
第一章 前富
非线性振动的理论最切是应用在机械系统的分析相研究之中。数主要的任 务是，研究各种不同振动系统的周期振动规律（振幅、频率、相位的变化规律， 这三个参数拣为振动懿三簦索）或求出罚期觞，强及疆究周颓鳃黪繇定条謦｛ 获工稷技术的角度来说，莛任务是研究隽减小系统躲振动或者有效利用振动， 使系统具有合理的结构形式和参数。
（５）非理想系统、臼同步系统不能线性化，必须研究非线性方程才能对振 动规律进行分析。
｛，４毒｝线性振动主要的研究方法
在研究结构的动力学行为时，当变形不再与外力成正比时，就需要考虑非 线性的因素。在考虑结构的非线性时，结构的运动方程中将会出现非线性项， 缓褥慕薅线装徽分方纛鹣方法不孬透臻，遽藏翥要采鬟葵线锻羧动熬理论来邃 行分析和研究。
随着经济的发展，大量多功能建筑物大量出现，核电站、人防工程之类的 重要工程应运而生，这些不规则结构往往有质量偏心或者刚度偏心，在地震（振） 作用下，这பைடு நூலகம்结构的水平位移与扭转位移相耦合。在强震（振）作用下，结构一般 处于弹塑性阶段，由于结构体系的非线性现象使水平位移和扭转位移的耦合现 象更为复杂，因此，非常有必要对此类反应进行深入的研究。
（３）在线性系绕中，壶于有疆逶酶存在自由的振动总怒被衰减掉，只有在 于扰力的作用下，才脊周期的定常解；而在非线性系统中，如自激振动系统， 在肖阻尼而无干扰力的时候，也有定常的周期的运动。
（４）在线性系统中，强追振动定常嬲的频率和干扰力的频率袒露；丽在菲 线稳系统中，在擎凝予貔力懿谨蕊下，冀强遍叛动定鬻簿孛，狳了有帮予撬力 同频的成分之井，述肖成倍数的频率成分存在。
本文通过非线性动力学理论揭示了滩线性结构不同于线性结构 的主共振以及超谐和亚谐共振现象，得到了一些有益的结论，这些结
论无疑为结搀撬震ｆ搦分手厅与结构破坏预测提供了理论依据。
关键词：结构振动非线性耦合主共振怒谐共振亚谐共振
墨鲨奎鲎篓圭堂壁堡奎
墨壅塑茎
一
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｔｈｅｏｒｉｅｓ ａｒｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｎａｌ
ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ｏｆ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｏｆ ｈｏｒｉｚｏｎｔａｌ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｏｒｓｉｏｎ ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎ．Ｔｈｅ ｗｏｒｋ ｏｆｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｉｎｃｌｕｄｅｓ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ａｓｐｅｃｔｓ：
天津大学 硕士学位论文 结构内共振动力学行为研究 姓名：骆兰月 申请学位级别：硕士 专业：结构工程 指导教师：姜忻良
20030101
天津大学硕士论文
中文摘要
摘
要
本文疲爰毫≥线性动力学瑾论磷究了缨梭毒｝线性藕合运动中静蠹 共振闻遂，主要的内容包括以下几个方颟：
一、以框架结构为模型，参考线性耦合运动的方程形式，利用拉 各朗Ｅｔ能量法建立了结构在地震（振）作用下的非线性耦合振动方程。
求解非线性系统时随机激励的响应有精确法和近似法两大类，但是由于 非线性微分方程除了极少数可以求出精确解之外，目前还没有遗用予各类方程 的避瘸鲍精确靛解辑法，嚣诧对各类｛｝线谯摄凌系统建立镌艨筑运戳方法或恣 棼线缝摄动理论分辑静烹要豹任务。理论分褥基本上沿着两个方向发展，一是 定爨方法（或解析法）；二是定性方法，主疆是集合方法。定蹙方法首先是建立 各种求解非线性方程的ｊ眨似解析法，如摄动法、等效线性化法、渐进法以及多 尺度法，根据求得的近似解板解去研究系统躲运动规律程振动特性。定性方法 基本．ｉ二蹩缀摇疆究微分方程零骞藜特瘴霹蒸褒穗空蠢戆积分熬线徽童定瞧豹分 析，并且据此判断系统瀚运动规律和振动特性。下面分别对精确法和近似法做 简鼹的介绍。
精确法又称福克～蒋朗克方法，只有当响应为马尔可夫过程时彳能应用。
天津大学硕士学位论文
第一章 前言
例如，非线性系统对高斯白噪声过程的响应即为马尔可夫过程，其转换概率密 度满足福克一普朗克方程。从理论上来讲，这个方程既适用于非平稳问题，也 适合于非线性的问题，是随机非线性问题中比较严密的一种方法。但是问题在 于，实际上除了简单的情况下，福克一普朗克方程的解是未知的，因此应用解 析方法求解较为复杂的随机振动问题是比较困难的。
Ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ａｎａｌｙｓｅｓ ａｒｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ａｎａｌｙｚｅ ｓｉｔｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｕｐｅｒｈａｒｒｎｏｎｉｃ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ
ｄｙｎａｍｉｃａｌ ａｎｄ ｓｕｂｈａｒｍｏｎｉｃ ｒｅｓｏｎａｎｃｅ ｕｎｄｅｒ ｓｔｒｏｎｇ ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ．Ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ
逐年寒，菲线瞧摄动静遐论遣被广泛魏应瑶疑缝橡分褥与设诗豹镁域。掇 如研究魂麓土与上部结梅之阙的菲线性动力攀稃为，如文献【３０］簿。
１．３非线性振动的特点
歇辍零ｌ疆、譬顿魏吉熬力学斡年代裁套久磷究掇动理论，拉务耀霾磐经系 统的研究过微小振动的理论。在振动理论发展的过程中，开始只局限于对线性 系统的研究。由于线性微分方程的理论早已发展成熟，而且简单明了，所以线 性振动的理论也很快达到了完善的地步。将振动系统进行线性化除了便于数学 隶解豹方便以努，更重要斡烧可敬解决许多豹工程溺题，并且可以褥裂满意豹 结栗。曩互楚由予以上的耩阂诲多科学研究工佟赣总是把研究的系统尽可艉豹线 性化，因而经常是无根据的禽弃非线性项，这样所得到的理论结果，不仅引起 数量上的误差而且有时还会导致根本性质上的错误。实践证明，不能用线性理 论代替一切振动系统的分橱。无论是理论分析的方法，还是振动道穆酌变化的 趣簿，转线性系统与线瞧系绫蠢善本质瓣嚣鞠。下瑟赍绥一下ｊ｝线筏系统戆凡 个重要的特点。
我国是一个地震多发的国家，结构在地震（振）时的安全性、稳定性对于保 障人民财产安全，维持人民的生活秩序有着十分重要的意义，因此国内外学者 对建筑结构的抗震性能进行了广泛的研究，并且取得了长足的进步。