E（uiu j） 0 i j
4、解释变量X（j j 1，2， ，p）与随机扰动项ui不相关，即Cov（X j，ui） 0
5、u服从正态分布，ui ~ N（0， 2）
6、无多重共线。设（X i1，X i2， ，X iP）为（X1，X 2， ，X P）的第i个观测值，
1
记：
X
1 1
X11 X12 X 21 X 22 X n1 X n2
Q Bˆ
2 X TY
2X T
XBˆ
0
Bˆ （X T X）1 X TY
计量经济学
求多元回归的步骤： 由样本值写出矩阵X，Y； 计算X T X，X TY，（X T X）1； Bˆ （X T X）1 X TY
例1，某厂利润Y（百万元）主要取决于A、B两种产品的销 售量X1（万吨）、X2（万吨），现有1981—1990年的数据， 求该厂利润Y随A、B两种产品销售量变化的回归方程。
X iP ˆ0
X iP X i1ˆ1
X iP X i2ˆ2
X
2 ip
ˆP
X iPYi
写成矩阵形式：
n
X i1 X
i2
X iP
X i1
Xi2
X2 i1
X i1 X i2
X i2 X i1
X
2 i2
X iP X i1
X iP X i2
X iP ˆ0
计量经济学
整理得：
nˆ0
X i1ˆ1
Xi2ˆ2
X ˆ1 X i1X i2ˆ2
X i2 X i1ˆ1
X
2 i2
ˆ2
X i1X iP ˆP X i2 X iP ˆP
X i1Yi X i2Yi
其中0为常数项， 1 ~ P 为解释变量X1 ~ XP 的系数，u为随机扰动项。 总体回归函数PRF给出的是给定解释变量X1 ~ XP 的值时，Y的期望
值：E ( Y | X1，X2，…，XP )。 假定有n组观测值，则可写成矩阵形式：
计量经济学
Y1 1 X11 X12 X1P 0 u1
X kn Yn X iPYi
计量经济学
( X T X ) Bˆ X TY
Bˆ ( X T X )1 X TY
Y1
其中，Y
Y2 Yn
也可直接对向量微分，求得结果：
ˆ0
Bˆ
ˆ1
ˆP
Min Q（Bˆ） ei2 eT e （Y XBˆ）（ T Y XBˆ）
YTY Y T XBˆ Bˆ T X TY Bˆ T X T XBˆ
Y2 Yn
1 1
X 21 X 22 X n1 X n2
X 2P X nP
1
P
u2
un
或： Y Xβ u
2.样本回归模型的SRF
SRF : Yi 0 1X i1 2 X i2 P X iP ei , i 1,2, , n
计量经济学
二、基本假定： 1、u零均值。所有的ui均值为0，E（ui）=0。 2、u同方差。Var（ui）=δ2，i=1，2，…，n
年份 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 Y 13.5 15 16.5 13 17.5 14 16 18 19 21 X1 3 3.5 4 2.5 4 3 4 4.5 5 6 X2 5 6 7 5 8 5 7 8 9 10
解:设定模型为: Yi=β0+β1Xi1+β2Xi2+ui
X1P
X2P
X nP
则：X为n （p 1）矩阵，且Rank（X） p 1
计量经济学 第二节 参数的最小二乘估计
一、参数的最小二乘估计
X11
如何由：
X 21 X n1
X12 X 22 X n2
X1P
X 2P X nP
ˆ 0，ˆ1，
，ˆ
P
计量经济学
Min Q（ˆ0，ˆ1， ，ˆP） （Yi Yˆi）2
Yi
X i1X iP X i2 X iP
ˆ1 ˆ1
X i1Yi
X
i 2Yi
X
2 ip
ˆP
X iPYi
计量经济学
容易证明：
n
X i1
X T X
X i2
X iP
X i1
Xi2
X2 i1
X i1 X i2
X i2 X i1
X
2 i2
u1
u12 u1u2 u1un
E uuT
u2 un
u1
u2
un
E
u 2 u1
unu1
u
2 2
unu2
u2un
u
2 n
2 0 0 0
0 0 0
2
0 0
0
2
0
0 0
2
2I
计量经济学
3、u无自相关，Cov（ui，u j） E{[ui Eui ][u j Euj ]}
X iP X i1
X iP X i2
X iP
X i1 X iP
X
i
2
X
iP
X
2 ip
1 1
X 21 X 22
X TY
X
31
X 32
X
k1
Xk2
1 X 23 X 33 X 3k
1 Y1
X 2n X 3n
Y2 Y3
Yi
X i1Yi
X
i 2Yi
计量经济学
第3章 多元线性回归模型
第一节：概念和基本假定 第二节：参数的最小二乘估计 第三节：最小二乘估计的基本性质 第四节：模型检验 第五节：预测
计量经济学
第一节 概念和基本假定
一、基本概念：
设某经济变量Y 与P个解释变量：X1，X2，…，XP存在线性依 存关系。
1.总体回归模型：
PRF : Yi 0 1X i1 2 X i2 p X ip ui , i 1,2, , n
（Yi
ˆ0
ˆ1 X i1
ˆP
X
）2
iP
由极值的必要条件有：
Q
ˆ0
2
（Yi ˆ0 ˆ1 X i1 ˆP X iP）（1） 0
Q
ˆ1
Q
ˆ P
2
2
（Yi ˆ0 ˆ1 X i1 ˆP X iP）（ X i1） 0
（Yi ˆ0 ˆ1 X i1 ˆP X iP）（ X iP） 0
XT
1 3
1 3.5
1 6
5 6 10
YT 13.5 15 21
n
X T X X i1
Xi2
X i1
X
2 i1
X i2 X i1
Xi2 10 39.5
Xi1Xi2 39.5 165.75
X
2 i2
70
292.5
70 292.5 518